陳曉靚

“代數式”的前世今生

陳曉靚

如果說人類是生物進化的產物，那么代數式就是數學進化的一個重要組成部分.用字母表示數是數學發(fā)展過程中一次質的飛躍，是人類一項創(chuàng)造性的成就，是認識和思維上的巨大提升.德國數學家萊布尼茲說過：“符號的巧妙和利用符號的藝術，是人們絕妙的助手，因為它以驚人的形式節(jié)省了思維.”俄國數學家羅巴切夫斯基也說過：“利用了符號，數學上的每一個論斷，它所要描述的東西可以更快地被別人所了解.”既然用字母表示數如此重要，那么我們有必要來了解一下代數式的進化史.其發(fā)展歷史大致可以分為三個時期.

一、代數式的萌芽期

人類最初完全沒有數量的概念，但人類發(fā)達的大腦對客觀世界的認識已經達到更加理性和抽象的地步.這樣，在漫長的生活實踐中，由于記事和分配生活用品等方面的需要，才逐漸產生了數的概念.比如“結繩記事”是地球上許多相隔很近的古代人類共同做過的事.我國古書《易經》中也有“結繩而治”的記載.傳說古代波斯王打仗時也常用繩子打結來計算天數.用利器在樹皮上或獸皮上刻痕，或用小棍擺在地上計數也都是古人常用的辦法.這些辦法用得多了，就逐漸形成數的概念和記數的符號.隨著不同先進文明的不斷崛起，人們記錄數字的方法也得到了很大程度的發(fā)展.其中最具有代表性的就是羅馬數字和阿拉伯數字.實際上，羅馬數字的符號一共只有7個：I（代表1）、V（代表 5）、X（代表10）、L（代表50）、C（代表100）、D（代表500）、M（代表1000）.這7個符號位置上不論怎樣變化，它所代表的數字都是不變的.它們按照一定規(guī)律組合起來，就能表示任何數.而阿拉伯數字1、2、3、4、5、6、7、8、9、0起源于古印度，是國際上通用的十進制數碼，也是同學們最為熟悉的數字.可是不管是古羅馬人還是古印度人，沒有一個數學家意識到可以用一個字母來代表一類數，直到一個偉大數學家的出現.

二、代數式的發(fā)展期

公元3世紀，被譽為古希臘代數學鼻祖的丟番圖在其著作《算術》中首次用字母“ζ”來表示未知數.丟番圖是最早在數學中運用一套符號的人，這使得代數式的思維和數學更加緊湊.在其之前，人們在表示自然數、奇數、偶數等一些特殊數時，只能用冗長的文字語言或者解釋來表示這些數.丟番圖創(chuàng)造性地用詞頭的字母作為縮寫符號來簡化代數式.例如，他用希臘文“冪”的頭兩個字母表示未知數的平方，用希臘文“立方”的頭兩個字母表示未知數的立方等.這里，我們把丟番圖的“ζ”改成x，一起來看看丟番圖著作《算術》中的一個經典題目.“已知兩數的和與差求這兩個數.”丟番圖的解法是：“假設兩數和為100，差為40，較小數為x，則較大數為40+x，則2x+40=100，故得x=30，而較大數為70.”很明顯，丟番圖當時已經運用字母解決了一個一元一次方程的問題.由此可見，丟番圖讓代數學前進了一大步.但是由于種種原因，丟番圖不知道可以用字母來表示任意一個數.可見，代數式的進化歷史并非如我們想象得那么一帆風順，呈直線式發(fā)展.在古代，由于信息渠道的閉塞，數學思想的傳播是極受限制的.無論如何，在用字母表示數這件事上，丟番圖之后一千多年間，人們沒有任何進步，直到另一個偉大數學家的出現.

三、代數式的成熟期

“獨上高樓，望盡天涯路.”16世紀法國偉大的數學家，代數式真正的創(chuàng)造人韋達終于實現了歷史性的突破，他在《分析引論》中使用字母來表示未知數以及已知數.韋達在書中寫道：“本書將輔以某種技巧，通過符號來區(qū)分未知量和已知量.”韋達將這種新的代數稱為“類的算術”，以區(qū)別于舊的“數的算術”.一旦用字母來表示任何數，在韋達的筆下便出現了我們所熟悉的代數恒等式：完全平方公式與平方差公式，那就是A2±2AB+B2=（A±B）2，（A+B）（A-B）=A2-B2.在用字母表示數后，代數學告別了舊時代，插上了新翅膀，在人類文明的天空自由地飛翔起來.韋達之后另一個偉大的法國數學家笛卡爾改用拉丁字母表中最后的幾個字母x、y、z等表示未知數，用前面的字母a、b、c等表示已知數，還將一個數x的立方、平方寫成x3、x2，這些符號一直沿用到今天.1693年，英國數學家沃利斯正式在代數中使用這些符號，就實現了代數式的完全符號化.另外，這里提到的笛卡爾正是站在韋達這位巨人的肩膀上，后來成為了著名的平面直角坐標系的創(chuàng)立者.

“用字母表示數”，這在今天學過代數的同學們看來乃是一件稀松平常的事情.當年，中國第一部符號代數教材《代數術》的翻譯者李善蘭和偉烈亞力所創(chuàng)“代數”一詞，正是“用字母表示數”之義.但是我們追溯代數式的歷史，竟是如此的漫長，不得不讓我們感受到數學的博大精深.正是那些偉大的數學家點亮了人類文明的光燭，使得我們學習和使用代數式是如此的簡單和方便，我們應該感激并幸福著.

（作者單位：江蘇省無錫市梅里中學）