吉林師范大學(xué) 姜惠元

淺論求數(shù)列極限的方法

吉林師范大學(xué) 姜惠元

極限理論是數(shù)學(xué)分析中的核心理論，貫穿于數(shù)學(xué)分析的始末，并且在后續(xù)的相關(guān)學(xué)科中有著廣泛應(yīng)用。本文對(duì)數(shù)列極限的相關(guān)問題進(jìn)行研究，簡(jiǎn)要列舉了求解不同類型的數(shù)列極限的相關(guān)方法。

數(shù)列極限；極限方法；求極限

極限概念在數(shù)學(xué)分析中是一個(gè)較為重要的數(shù)學(xué)概念，幾乎所有后續(xù)概念都是由極限概念完成相關(guān)定義的。數(shù)列極限又是極限思想的基礎(chǔ)，它在實(shí)際生活中的應(yīng)用十分廣泛，在高等數(shù)學(xué)中有著重要的地位。

一、數(shù)列極限的基本理論

一般地，數(shù)列{xn}以a為極限的定義如下：設(shè){xn}是一個(gè)數(shù)列，a是一個(gè)常數(shù)，如果對(duì)任意給定的正數(shù)ε，總存在某個(gè)自然數(shù)N，使得當(dāng)n＞N時(shí)，都有|xn-a|＜ε，則稱數(shù)列{xn}當(dāng)n趨向于無(wú)窮大時(shí)存在極限（或數(shù)列{xn}收斂），極限為a。記作或者xn→a（n→∞），這時(shí)也稱數(shù)列{xn}收斂于a。

二、求數(shù)列極限的方法

求解數(shù)列的極限是極限知識(shí)的基礎(chǔ)部分，也是高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基石。本文主要列舉數(shù)列通項(xiàng)公式an的幾種簡(jiǎn)單方式并進(jìn)行分析，對(duì)求解數(shù)列極限提供方法。

1．?dāng)?shù)列{an}的一般項(xiàng)an為簡(jiǎn)單解析式

當(dāng)數(shù)列的一般項(xiàng)an的解析式給出時(shí)，我們可以先觀察其是否具備幾個(gè)解析式的四則運(yùn)算關(guān)系，之后應(yīng)用四則運(yùn)算法則，從而求解。

其次，當(dāng){an}的一般式an為簡(jiǎn)單解析式時(shí)，可以觀察解析式中是否含有已知的特殊形式的極限，應(yīng)用特殊極限的相應(yīng)數(shù)值進(jìn)行代換，這樣的特殊極限也有很多，如

此類的特殊極限在計(jì)算過程中應(yīng)用十分頻繁，應(yīng)給予高度重視。

2．?dāng)?shù)列{an}的一般項(xiàng)具有遞推關(guān)系

當(dāng)數(shù)列{an}的一般項(xiàng)an具有附近幾項(xiàng)的推理關(guān)系時(shí)，可以轉(zhuǎn)換為遞推關(guān)系的形式，應(yīng)用單調(diào)有界定理或者應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法來(lái)求解數(shù)列極限的相關(guān)問題。

解：容易看出，xn+1=應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法。

設(shè)x=k時(shí)，xk＜xk+1（k為自然數(shù)）成立，因此2+xk＜2+xk+1，或者即xk+1＜xk+2（k為自然數(shù)）。因而，{xn}是嚴(yán)格單調(diào)遞增的數(shù)列。

下證{xn}有上界：當(dāng)n=1時(shí)，有x1=＜2，

設(shè)n=k時(shí)，xk＜2成立，則有xk+1==2，由歸納法可知，對(duì)于有xn＜2，即數(shù)列{xn}有上界。

根據(jù)單調(diào)有界定理可知，數(shù)列{xn}收斂。

有a2=2+a，解此方程得a1=2，a2=-1。

但 由于xn＞0，根據(jù)極限的保號(hào)性定理可知a不能為負(fù)數(shù)。

極限概念有著深刻的思想性，它包含著事物的無(wú)限運(yùn)動(dòng)以及變化的過程，體現(xiàn)了從近似到精確、由量變到質(zhì)變的辯證思維。極限方法是辯證法在數(shù)學(xué)上的應(yīng)用，它解決了“曲與直”、“近似與精確”的矛盾，是客觀世界中由量變到質(zhì)變的一種反映。本文介紹了數(shù)列極限的定義，對(duì)數(shù)列極限有了初步的認(rèn)識(shí)，同時(shí)通過對(duì)簡(jiǎn)單類型極限的研究，歸納了求解不同類型數(shù)列極限的相關(guān)方法。

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