吳夢旋，劉慶博，任順清

（哈爾濱工業(yè)大學(xué)空間控制與慣性技術(shù)中心，黑龍江 哈爾濱 150080）

軸端無通孔時三軸轉(zhuǎn)臺相交度測試方法

吳夢旋，劉慶博，任順清

（哈爾濱工業(yè)大學(xué)空間控制與慣性技術(shù)中心，黑龍江 哈爾濱 150080）

為解決中環(huán)軸沒有通光孔時如何測量三軸轉(zhuǎn)臺軸線相交度的問題，在內(nèi)環(huán)軸上三軸交匯中心附近設(shè)置一靶標(biāo)，再利用齊次變換法推導(dǎo)出靶標(biāo)在基準(zhǔn)坐標(biāo)系下的坐標(biāo)，它是三軸相交度、三軸角位置以及靶標(biāo)在內(nèi)環(huán)軸坐標(biāo)系下的偏移量的函數(shù)，據(jù)此設(shè)計三軸相交度誤差的測量方法。利用經(jīng)緯儀觀測靶標(biāo)，計算出靶標(biāo)坐標(biāo)的變化量，從而實現(xiàn)三軸相交度的測量，并進行相關(guān)的誤差分析。分析結(jié)果表明：實測相交度滿足測量精度要求，測量結(jié)果具有有效性。該測量方法可避免在沒有通光孔的中環(huán)軸旋轉(zhuǎn)至某些特殊角度時經(jīng)緯儀視線被擋住的情況，使得測量更加方便。

軸線相交度；齊次變換；三軸轉(zhuǎn)臺；經(jīng)緯儀

0 引 言

三軸轉(zhuǎn)臺的相交度是其重要的精度指標(biāo)，在研制過程中都有一項三軸相交度的技術(shù)指標(biāo)要求，一般情況下三軸相交度要求在φ0.5mm的球內(nèi)。但在GJB 1801——1993《慣性技術(shù)測試設(shè)備試驗方法》中卻沒有此項指標(biāo)的檢測方法。目前在三軸轉(zhuǎn)臺的制造加工中，三軸相交度的指標(biāo)是由工藝來保證的，特別是中框和內(nèi)框為長方形結(jié)構(gòu)的三軸轉(zhuǎn)臺，是由加工裝配來保證的，沒有進行實際測量。雖然理論上加工工藝能保證這項指標(biāo)，但畢竟沒有具體的測量數(shù)據(jù)，難以判定此項指標(biāo)是否合格。因此，國內(nèi)三軸轉(zhuǎn)臺的研制單位對三軸相交度的檢測方法也進行了相關(guān)研究，對不同結(jié)構(gòu)形式的三軸轉(zhuǎn)臺的三軸相交度提出相應(yīng)的檢測方法。目前常用的測量方法有細(xì)絲法[1]、打表法[2-3]、經(jīng)緯儀加芯軸法[4]、激光跟蹤儀和靶鏡測量法[5]、十字靶標(biāo)法[6]、基于CCD的測量方法[7-8]以及準(zhǔn)直望遠鏡法[9]等。

在這些方法中，常常遇到軸線旋轉(zhuǎn)到某些特殊角度時測量儀器的視線被框架擋住的情況，而在這些特殊角度下一般需要中環(huán)軸有通孔才能通過觀測儀器觀察到基準(zhǔn)點的坐標(biāo)值。實際情況并非軸端都有通孔，目前關(guān)于此項研究并未見相關(guān)文獻報道。為了解決在軸端無通孔時相交度的測量問題，本文基于文獻[1]中介紹的細(xì)絲法測三軸相交度的方法，對其算法進行改進，從而實現(xiàn)了在軸端無通孔時也可測量三軸轉(zhuǎn)臺的相交度。

1 三軸相交度定義及相應(yīng)坐標(biāo)系的建立

1.1 三軸相交度的定義

如圖1所示，左圖是夸大了的三條軸線及相交度的示意圖，三軸相交度分為外環(huán)軸與中環(huán)軸的相交度o0o1，中環(huán)軸與內(nèi)環(huán)軸的相交度內(nèi)環(huán)軸與外環(huán)軸的相交度三軸相交度的最大直徑球的直徑定義為

圖1 三軸相交度示意圖

1.2 坐標(biāo)系的建立

如圖2所示，為三軸轉(zhuǎn)臺的結(jié)構(gòu)及測試系統(tǒng)示意圖。將一細(xì)絲固定于三軸轉(zhuǎn)臺的內(nèi)環(huán)軸線上，使外環(huán)軸、中環(huán)軸和內(nèi)環(huán)軸處于不同的角位置，將經(jīng)緯儀與中環(huán)軸線等高，用經(jīng)緯儀測量細(xì)絲上某點的水平角的變化，為了便于用齊次變換法推導(dǎo)坐標(biāo)之間的位姿關(guān)系，建立如下坐標(biāo)系：

圖2 測試系統(tǒng)示意圖

1）外環(huán)軸套坐標(biāo)系o0-x0y0z0固聯(lián)在軸套上，原點o0為外環(huán)軸與中環(huán)軸軸線的公垂線與外環(huán)軸軸線的交點，o0y0軸為外環(huán)軸軸線，o0x0指東，o0-x0y0z0組成左手坐標(biāo)系。

圖3 外環(huán)軸軸套坐標(biāo)系及外環(huán)軸坐標(biāo)系

3）中環(huán)軸軸套坐標(biāo)系o1-x1y1z1固聯(lián)在中環(huán)軸軸套上，如圖4所示，原點o1為外環(huán)軸與中環(huán)軸軸線的公垂線與中環(huán)軸軸線的交點，o1x1軸與中環(huán)軸軸線一致，o1-x1y1z1組成右手坐標(biāo)系，設(shè)的距離為Δz0，即外環(huán)軸與中環(huán)軸的軸線相交度。中環(huán)軸軸套坐標(biāo)系相對于外環(huán)軸坐標(biāo)系的齊次變換陣為

圖4 中環(huán)軸坐標(biāo)系的變換過程

5）內(nèi)環(huán)軸軸套坐標(biāo)系o2-x2y2z2固聯(lián)在內(nèi)環(huán)軸軸套上，如圖5所示。原點o2為內(nèi)環(huán)軸與中環(huán)軸軸線的公垂線與內(nèi)環(huán)軸軸線的交點，Δz1為內(nèi)環(huán)軸與中環(huán)軸的軸線相交度，o2y2軸與內(nèi)環(huán)軸軸線一致，o2-x2y2z2是在的基礎(chǔ)上平移Δz1形成，它相對于中環(huán)軸坐標(biāo)系的齊次變換陣為

圖5 內(nèi)環(huán)軸坐標(biāo)系的變換過程

2 靶標(biāo)點在基準(zhǔn)坐標(biāo)下的變化量

設(shè)在內(nèi)環(huán)軸坐標(biāo)系內(nèi)靶標(biāo)點的坐標(biāo)為（rx，ry，rz），經(jīng)三軸轉(zhuǎn)動坐標(biāo)變換后其在基準(zhǔn)坐標(biāo)系下的坐標(biāo)為根據(jù)坐標(biāo)系之間的位姿關(guān)系和式（1）～式（6），則靶標(biāo)點在齊次坐標(biāo)變換前后坐標(biāo)的關(guān)系為Rot（y0，α）Trans（0，0，Δz0）Trans（Δx1，0，0）

從齊次變換的幾何意義可知，f（α，β，γ）表示三軸轉(zhuǎn)臺的外環(huán)軸、中環(huán)軸和內(nèi)環(huán)軸分別處于α、β和γ角時細(xì)絲上的被測點在外環(huán)軸套坐標(biāo)系下的x坐標(biāo)值。

3 測試原理

3.1 經(jīng)緯儀觀測靶標(biāo)點的位置變化

根據(jù)式（8）可得：

令g（α，β，γ）=f（α，β，γ）-f（0，0，0），則經(jīng)簡單變形可得：

式中g(shù)（α，β，γ）表示三軸轉(zhuǎn)臺的外環(huán)軸、中環(huán)軸和內(nèi)環(huán)軸分別處于α、β和γ角時細(xì)絲上的被測點在外環(huán)軸坐標(biāo)系下的x坐標(biāo)值與三軸均處于0°位置時坐標(biāo)值的差。

根據(jù)式（12）～式（14），將外環(huán)軸、中環(huán)軸和內(nèi)環(huán)軸分別處于相應(yīng)的位置，經(jīng)緯儀對準(zhǔn)細(xì)絲時，讀出經(jīng)緯儀的水平角，就可計算出相應(yīng)的相交度Δx1、Δz1和Δz0。

3.2 實驗方案設(shè)計

當(dāng)三軸轉(zhuǎn)臺的外環(huán)軸、中環(huán)軸和內(nèi)環(huán)軸分別處于α、β和γ角時，經(jīng)緯儀瞄準(zhǔn)細(xì)絲上的靶標(biāo)點，讀出經(jīng)緯儀水平角的讀數(shù)為θ（α，β，γ）。據(jù)此方法用經(jīng)緯儀測量細(xì)絲水平角的變化，再測量經(jīng)緯儀三軸交匯點到三軸轉(zhuǎn)臺三軸交匯點的距離l，根據(jù)以下公式就可計算靶標(biāo)點在外環(huán)軸軸套坐標(biāo)系的o0x0方向的變化量：

再根據(jù)式（12）～式（14），就可計算出外環(huán)軸和內(nèi)環(huán)軸的軸線相交度Δx1、內(nèi)環(huán)軸與中環(huán)軸的軸線相交度Δz1和外環(huán)軸與中環(huán)軸的軸線相交度Δz0。其中，式（13）和式（14）中的α角可根據(jù)實際經(jīng)緯儀的位置進行選取，即使中環(huán)軸軸端無通光孔，也可實現(xiàn)相交度測量。當(dāng)然，有通光孔時，可取α=90°，Δx1/tanα趨于0，sinα趨于1，Δz1和Δz0的測量精度更高。所以，在可視情況下，α越接近90°時，精度越高。

4 測試實例

本次測得經(jīng)緯儀三軸交匯點到三軸轉(zhuǎn)臺三軸交匯點的距離為l=1748mm。按表1和表2所測量的數(shù)據(jù)，根據(jù)公式（15）計算每點相對于初始位置在o0x0方向的位移。

根據(jù)表1和表2數(shù)據(jù)及式（12）～式（15）計算可得外環(huán)軸和內(nèi)環(huán)軸的軸線相交度Δx1=-0.263mm，內(nèi)環(huán)軸與中環(huán)軸的軸線相交度Δz1=0.005mm，外環(huán)軸與中環(huán)軸的軸線相交度Δz0=-0.041mm，測量實物圖如圖6所示。

表1 三軸處于不同位置時經(jīng)緯儀的水平角讀數(shù)θ（α，β，γ）（1）

表2 三軸處于不同位置時經(jīng)緯儀的水平角讀數(shù)θ（α，β，γ）（2）

5 誤差分析

一般慣導(dǎo)測試用三軸轉(zhuǎn)臺的測角誤差＜5″，部分誤差＜1″，在測量相交度時，可以忽略不計。根據(jù)式（15）和誤差的獨立作用原理，則被測點的相對位移的不確定度為

圖6 測量實物圖

式中：σl——經(jīng)緯儀三軸交匯中心至測量點的距離的測試不確定度；

σθ（α，β，γ）——經(jīng)緯儀的測試不確定度。

從表1和表2可得|θ（α，β，γ）-θ（0，0，0）|max=1′21″，l用卷尺測量即可，取σl=2mm，σθ（α，β，γ）=2″=9.70×10-6rad，在前面實驗中已經(jīng)測得l=1 748 mm，將這些值代入式（16）得σg（α，β，γ）=17μm。假設(shè)各次測量互不相關(guān)，根據(jù)式（12）～式（14）及誤差獨立作用原理得：

細(xì)絲的直徑小于50 μm，經(jīng)緯儀對準(zhǔn)細(xì)絲中心的不確定度小于σd=10μm，則可得故可得所測試的相交度結(jié)果為Δx1=（-263±48）μm，

6 結(jié)束語

本文針對三軸轉(zhuǎn)臺中環(huán)軸軸端沒有通光孔的情況，設(shè)計了三軸相交度的測試方法。利用齊次變換法推導(dǎo)了內(nèi)環(huán)軸上三軸交匯中心附近靶標(biāo)位置在三軸角位置變化時的表達式，給出了三軸相交度的誤差分離公式，且對三軸轉(zhuǎn)臺相交度進行了實測和誤差分析，證明了該方法的有效性，該方法無需擬合多點來構(gòu)造三條回轉(zhuǎn)軸線，也不需要用到激光跟蹤儀等高成本設(shè)備，更具有普遍性。

[1]任順清，曾慶雙，楊齊慧.細(xì)絲法測量三軸轉(zhuǎn)臺的軸線相交度[J].中國機械工程，2002，13（15）：56-59.

[2]任順清，陳世家，李玉華.用打表法測量三軸轉(zhuǎn)臺的軸線相交度[J].工具技術(shù)，2003，37（2）：49-51.

[3]王玉田.打表法測量臥式三軸轉(zhuǎn)臺相交度的方法[J].機械研究與應(yīng)用，2013，26（6）：185-186.

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[9]郭益德.兩種用準(zhǔn)直望遠鏡測量三軸轉(zhuǎn)臺的軸線相交度測量方法的比較[C]∥中國慣性技術(shù)學(xué)會測試專業(yè)委員會第八次學(xué)術(shù)交流會論文集.北京：中國慣性技術(shù)學(xué)會測試專業(yè)委員會，2003：77-81.

（編輯：李妮）

Method for measuring axis line intersection of three-axis turntable without luminous hole at the ends of shaft

WU Mengxuan，LIU Qingbo，REN Shunqing
（Space Control and Inertial Technology Research Center，Harbin Institute of Technology，Harbin 150080，China）

The paper aims to find out ways to measure axis line intersection of three-axis turntable when its middle axis has no luminous hole.Firstly，fix a target on the inner axis in the vicinity of the intersecting center of three axis lines.Secondly，deduce the target’s coordinates under the reference coordinate system with the homogeneous transformation method.The coordinate is the function of the offset of three axis intersection，three axis angular positions and the target in the inner axis coordinate system and then the method for the measurement of three axis line intersection error is designed on this basis.A theodolite is used to align with the target and the variable quantity of the target’s coordinates are calculated，in which way the three-axis line intersection is measured and the relevanterrorisanalyzed.The analysisresultsshow that practically measured axis line intersection meets the requirements of measurement accuracy and proves the effectiveness of this method.This measurement method prevents the sight of the theodolite to be blocked when the inner axis without luminous holes rotates to certain angle，simplifying the measurement.

axis line intersection；homogeneous transformation；three-axis turntable；theodolite

A

：1674-5124（2017）01-0013-04

10.11857/j.issn.1674-5124.2017.01.003

2016-08-23；

：2016-09-18

十二五預(yù)研項目（51309050202）

吳夢旋（1993-），男，湖北仙桃市人，碩士研究生，專業(yè)方向為慣性組合測試方法。