文/鄧革周

圓在生活中的應(yīng)用

文/鄧革周

圓是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，其相關(guān)知識(shí)在生活中的應(yīng)用廣泛，現(xiàn)舉數(shù)例加以說明.

一、足球射門問題

例1在足球比賽場(chǎng)上，甲、乙兩名隊(duì)員互相配合向?qū)Ψ角蜷TMN進(jìn)攻．當(dāng)甲帶球沖到A點(diǎn)時(shí)，乙隨后沖到B點(diǎn)，如圖1所示，此時(shí)甲是自己直接射門好，還是迅速將球回傳給乙，讓乙射門好呢？為什么？（不考慮其他因素）

分析：誰射門好，關(guān)鍵看這兩個(gè)點(diǎn)各自對(duì)球門MN的張角的大小，張角越大，射中的機(jī)會(huì)就越大．

解：迅速回傳乙，讓乙射門較好．在不考慮其他因素的情況下，如果兩個(gè)點(diǎn)到球門的距離相差不大，要確定較好的射門位置，關(guān)鍵看這兩個(gè)點(diǎn)各自對(duì)球門MN的張角的大小，張角越大，射中的機(jī)會(huì)就越大.

如圖1所示，∠A＜∠MCN=∠B，即∠B＞∠A，也就是B處對(duì)MN的張角較大，在B處射中的機(jī)會(huì)要大些．

點(diǎn)評(píng)：本題考查同弧所對(duì)的圓周角相等的應(yīng)用.

圖1

二、扳手張開問題

例2如圖2，正六邊形的螺帽邊長(zhǎng)為a，這個(gè)扳手的開口b至少應(yīng)是（用含a的代數(shù)式表示）（）

解：如圖3，連接OC，OD，過點(diǎn)O作OH⊥CD于點(diǎn)H，則∠COD=60°，△OCD是等邊三角形.

由等腰三角形三線合一可知，

點(diǎn)評(píng)：本題考查正多邊形和圓的知識(shí)，構(gòu)造一個(gè)由半徑、半條邊、邊心距組成的直角三角形，熟練運(yùn)用銳角三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵．

圖2

圖3

三、雨刷掃過的面積問題

例3當(dāng)汽車在雨天行駛時(shí)，司機(jī)為了看清楚道路，要啟動(dòng)前方擋風(fēng)玻璃上的雨刷器．圖4是某汽車的一個(gè)雨刷器轉(zhuǎn)動(dòng)的示意圖，雨刷器桿AB與雨刷CD在B處固定連接（不能轉(zhuǎn)動(dòng)），當(dāng)桿AB繞A點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)90°時(shí)，雨刷CD掃過的面積如圖4所示，現(xiàn)量得：CD=80cm，∠DBA=20°，AC=115cm，DA=35cm，試從以上信息中選擇所需要的數(shù)據(jù)，求出雨刷掃過的面積．

解：由題意可知△ABD≌△AB′D′，△ACD≌△AC′D′，

大扇形半徑AC=115cm，小扇形半徑AD=35cm，且圓心角都為直角，所以雨刷CD掃過的面積為

圖4

答：雨刷掃過的面積為3000πcm2．

點(diǎn)評(píng)：雨刷CD掃過的面積就是一個(gè)大扇形面積與小扇形面積的差，需分清楚哪些數(shù)據(jù)是有用的，哪些是沒用的．根據(jù)扇形的面積公式計(jì)算．

四、車輛直角拐彎問題

例4車輛轉(zhuǎn)彎時(shí)，能否順利通過直角彎道的標(biāo)準(zhǔn)是：車輛是否可以行使到和路的邊界夾角是45°的位置（如圖5中②的位置），例如，圖6是某巷子的俯視圖（從上方往下看），巷子路面寬4m，轉(zhuǎn)彎處為直角，車身為矩形ABCD，當(dāng)CD與DE、CE的夾角都是45°時(shí)，連接EF，交CD于點(diǎn)G，若GF的長(zhǎng)度至少能達(dá)到車身寬度，則車輛就能通過.

（1）試說明長(zhǎng)8m，寬3m的消防車不能通過該直角彎；

（2）為了能使長(zhǎng)8m，寬3m的消防車通過該彎道，可以將轉(zhuǎn)彎處改為圓?。ǚ謩e是以O(shè)為圓心，以O(shè)M和ON為半徑的?。?，具體方案如圖9，其中OM⊥OM′，請(qǐng)你求出ON的最小值．

圖5

圖6

圖7

圖8

圖9

解：（1）消防車不能通過該直角彎．

理由如下：如圖8，作FH⊥EC，垂足為H，

∴消防車不能通過該直角彎.

（2）如圖9，若C、D分別與M′、M重合，則△OGM為等腰直角三角形，

設(shè)ON=x，連接OC，在Rt△OCG中，

OG=x+3，OC=x+4，CG=4，由勾股定理得OG2+CG2=OC2，

即（x+3）2+42=（x+4）2，解得x=4.5．

答：ON至少為4.5m．

點(diǎn)評(píng)：本題考查垂徑定理的應(yīng)用.把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題并構(gòu)造出等腰直角三角形是解題的關(guān)鍵．

五、井蓋直徑測(cè)量問題

例5如圖10，現(xiàn)需測(cè)量一井蓋（圓形）的直徑，但只有一把角尺（尺的兩邊互相垂直，一邊有刻度，且兩邊長(zhǎng)度都長(zhǎng)于井蓋半徑）．請(qǐng)配合圖形，用文字說明測(cè)量方案，寫出測(cè)量步驟．（要求寫出兩種測(cè)量方案）

圖10

圖11

解：解法一：如圖11（1），把井蓋卡在角尺間，可測(cè)得AB的長(zhǎng)度，記井蓋所在圓的圓心為O，連接OB、OC，由切線的性質(zhì)得OB⊥AB，OC⊥AC，又AB⊥AC，OB=OC，則四邊形ABOC為正方形，那么井蓋半徑OC=AB，這樣就可求出井蓋的直徑，直徑為2AB.

解法二：如圖11（2），把角尺頂點(diǎn)A放在井蓋邊緣，記角尺一邊與井蓋邊緣交于點(diǎn)B，另一邊交于點(diǎn)C（若角尺另一邊無法達(dá)到井蓋的邊上，把角尺當(dāng)直尺用，延長(zhǎng)另一邊與井蓋邊緣交于點(diǎn)C，度量BC的長(zhǎng)即為直徑.

解法三：如圖11（3），把角尺當(dāng)直尺用，量出AB的長(zhǎng)度，取AB中點(diǎn)C，把角尺頂點(diǎn)與C點(diǎn)重合，一邊與CB重合，讓另一邊與井蓋邊緣交于D點(diǎn)，延長(zhǎng)DC交井蓋邊緣于E，度量DE長(zhǎng)度即為直徑.

解法四：如圖11（4），把井蓋卡在角尺間，記錄B、C的位置，把角尺當(dāng)作直尺用，可測(cè)得BC的長(zhǎng)度.記圓心為O，作OD⊥BC，D為垂足，由垂徑定理得BD=DC=BC，且∠BOD=∠COD.由作圖知∠BOC=90°，∴∠BOD=×90°=45°，在Rt△BOD中，BO=，這樣就可求出井蓋的半徑，進(jìn)而求得直徑.

點(diǎn)評(píng)：這是一個(gè)方案設(shè)計(jì)的開放性問題，綜合性強(qiáng)，設(shè)計(jì)方法靈活，要充分利用所給工具的特征，并結(jié)合圓的相關(guān)知識(shí)選擇測(cè)量方法.