趙文定,王思慧,范周游,程恩澤，周惠君,高文莉

(南京大學(xué) 物理學(xué)院，江蘇 南京 210093)

理想流體的法拉第波模態(tài)

趙文定,王思慧,范周游,程恩澤，周惠君,高文莉

(南京大學(xué) 物理學(xué)院，江蘇 南京 210093)

研究了理想流體的法拉第波模態(tài). 由法拉第波的振幅方程給出了穩(wěn)定條件下的色散關(guān)系，利用參量共振方程得到了在亞簡(jiǎn)諧條件下本征波矢的取值范圍. 引入幾何模型，在一定實(shí)驗(yàn)條件下，可以簡(jiǎn)單而直觀地預(yù)測(cè)模態(tài)及其花紋圖案. 解釋了不同模態(tài)的競(jìng)爭(zhēng)情況，對(duì)比分析了相圖關(guān)系的理論預(yù)測(cè)結(jié)果,幾何模型的預(yù)測(cè)與實(shí)驗(yàn)及理論計(jì)算結(jié)果相符合.

法拉第波；亞諧振；色散關(guān)系；Mathieu方程；幾何模型

法拉第波是日常生活中常見(jiàn)的現(xiàn)象，如圖1所示，當(dāng)裝有液體的剛性容器受到垂直振動(dòng)激勵(lì)時(shí)，在其自由液面上會(huì)產(chǎn)生出穩(wěn)定的波紋形狀，這種現(xiàn)象被稱為法拉第現(xiàn)象[1]. 至今，人們對(duì)法拉第波，尤其是在理想流體下的法拉第波進(jìn)行過(guò)多方面的研究.

圖1 法拉第波實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象

Rayleigh[2]做了類似的實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)表面波的頻率是垂直激勵(lì)頻率一半，并發(fā)現(xiàn)與驅(qū)動(dòng)參量有關(guān)，但是沒(méi)有給出數(shù)學(xué)上的解釋. 1954年，Benjanmin和Uresell共同給出了理想流體法拉第波在小振幅下的理論解析解[3]，他們從流體Eular 方程導(dǎo)出振幅公式，發(fā)現(xiàn)理想流體在小振幅的情況下滿足Mathieu方程，并指出表面波的響應(yīng)頻率可能存在亞簡(jiǎn)諧共振、簡(jiǎn)諧共振、超諧共振等.

關(guān)于法拉第波的非線性行為，Gollub和Meyer[4]在實(shí)驗(yàn)中很清晰地觀察到2個(gè)模式競(jìng)爭(zhēng)的情況. Ockendon[5]從理論上研究了分岔結(jié)構(gòu)，并且定性地研究了線性阻尼的影響. Miles[6]則提出在單模態(tài)下利用哈密頓函數(shù)表述和線性近似來(lái)求解法拉第波. Ciliberto和Gollub[7]為了解釋觀察到的混沌行為，提出了動(dòng)力系統(tǒng)的振幅模型方程，并通過(guò)數(shù)值積分得到了具有周期或者混沌的解. 基于前人的工作Umeki 和Kambe[8]通過(guò)數(shù)值計(jì)算給出了相平面上的周期和混沌軌道. 未查到將激勵(lì)參量等條件和實(shí)空間中的波紋形狀聯(lián)系的文獻(xiàn).

本文回顧了理想流體法拉第波的理論解，提出了法拉第波的色散關(guān)系，進(jìn)而在亞簡(jiǎn)諧條件下利用參量共振給出了本征值km的范圍. 提出用于預(yù)測(cè)法拉第波表面花紋形態(tài)的幾何模型，并且解釋了實(shí)驗(yàn)中出現(xiàn)的多模態(tài)競(jìng)爭(zhēng)現(xiàn)象. 我們認(rèn)為：法拉第波的表面振動(dòng)是由若干個(gè)本征振動(dòng)疊加而成的，而且本征振動(dòng)模態(tài)對(duì)應(yīng)的本征值在參量共振允許范圍之內(nèi). 我們提出的幾何模型將本征波矢km和實(shí)空間下花紋圖案聯(lián)系起來(lái). 通過(guò)對(duì)不同驅(qū)動(dòng)參量下的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的定性分析，給出了關(guān)于參量頻率f、振幅A的相圖以及理論預(yù)測(cè)和實(shí)驗(yàn)值的擬合圖像，實(shí)驗(yàn)結(jié)果與理論預(yù)測(cè)結(jié)果基本符合.

1 理論分析

1.1 理想流體理論回顧

通常描述理想流體法拉第波的流體力學(xué)方程為[3]

γρ?2ξ?x2+?2ξ?y2+?φ?tz=0-[g-Fcos (Ωt)]ξ=0,

(1)

其中，g為重力加速度，F(xiàn)cos (Ωt)為振臺(tái)垂直振動(dòng)的加速度，ρ為液體密度，γ為表面張力系數(shù)，ξ為豎直方向上位移，φ為流勢(shì). 對(duì)于圓柱容器，根據(jù)邊界條件可知，振幅方程可由貝塞爾函數(shù)Sl,m作為基底做無(wú)窮級(jí)展開(kāi)：

ξ(x,y,t)=∑∞0al,m(t)Sl,m(x,y),

(2)

其中,l和m是本征值序數(shù)，為了簡(jiǎn)化只使用m表示，x和y為平面坐標(biāo)，t為時(shí)間，al,m為含時(shí)的調(diào)幅因子(后簡(jiǎn)化寫(xiě)為am)，Sl,m(x,y)是在邊界條件下確定的特征函數(shù). 代入方程(1) 中可以得出對(duì)系數(shù)有如下要求:

(3)

其中,h為液體深度，km為用基底(如Bessel函數(shù))表達(dá)振幅時(shí)對(duì)應(yīng)的本征值.

本文重點(diǎn)研究亞簡(jiǎn)諧下法拉第波的穩(wěn)定性以及激勵(lì)參量與模態(tài)和波紋形狀的關(guān)系.

1.2 色散關(guān)系和本征模態(tài)

方程(2)中的Sl,m給出了法拉第波的本征模態(tài)，當(dāng)實(shí)驗(yàn)參量滿足該模態(tài)被激發(fā)的條件時(shí)，該模態(tài)被激發(fā).

法拉第波出現(xiàn)穩(wěn)定模態(tài)的色散關(guān)系應(yīng)該不含時(shí)間項(xiàng)，由方程(3)可知對(duì)應(yīng)的色散關(guān)系為

(4)

法拉第波中穩(wěn)定模態(tài)與連續(xù)流體介質(zhì)中的表面波具有相同的色散關(guān)系，因此波速為

(5)

波長(zhǎng)為

λm=2πcω=2πkm.

(6)

式(4)～(6)給出了一定頻率的法拉第波對(duì)應(yīng)的波長(zhǎng)和波速，km具有波矢的意義.

當(dāng)頻率和外激勵(lì)滿足一定條件時(shí)，本征模態(tài)會(huì)被激發(fā)，由此可以導(dǎo)出相應(yīng)的花紋，以下從參量共振方程的穩(wěn)定性出發(fā)，導(dǎo)出亞簡(jiǎn)諧條件下法拉第波模態(tài)被激發(fā)的條件.

1.3 法拉第波的亞簡(jiǎn)諧參量共振

為了描述法拉第波在外激勵(lì)下的響應(yīng)，尤其是發(fā)生共振的條件，考慮時(shí)間響應(yīng)，把方程(3) 改寫(xiě)為

(7)

方程(7)具有Mathieu方程的形式，以下分析它描述的參量共振的條件[9].

從Mathieu方程的穩(wěn)定性相圖分析中可知，該方程的解應(yīng)該存在于不同的參量共振區(qū)域，即亞簡(jiǎn)諧、簡(jiǎn)諧或超簡(jiǎn)諧共振. 在實(shí)驗(yàn)中觀察到出現(xiàn)最多的是亞諧振情況，也就是說(shuō)Ω=2ω0，同樣從理論預(yù)測(cè)中可以得到亞諧振的穩(wěn)定區(qū)域?qū)?huì)大于諧振或超諧振區(qū)域，因此僅在亞諧振情況下求解該問(wèn)題.

設(shè)Ω=2ω0+Δω(Δω?ω0)，代入式(7)， 得：

(8)

觀察式(8)，可以期望方程有如下形式的解:

am(t)=a(t)cosω0+12Δωt+

b(t)sinω0+12Δωt,

(9)

將式(9)代入式(8)中并利用和差化積公式得

cosω0+12Δωt+d2bdt2-bω0Δω-b12Δω2+

(10)

由于主要考慮亞諧振的情況，那么忽略3ω0+12Δω的部分以及二階小量，同時(shí)方程要求對(duì)于任意時(shí)刻t都成立，所以可以得到如下方程組：

12qω0-Δωa+2dbdt=0,

2dadt+12qω0-Δωb=0.

再將a=a0elt,b=b0elt代入方程組得到：

12qω0-Δωa0+2lb0=0,

2la0+12qω0-Δωb0=0.

若要a0和b0有非零解，要求

l2=1412qω02-(Δω)2,

(11)

l為實(shí)數(shù)，可知在亞簡(jiǎn)諧下發(fā)生參量共振所要求的條件是

2ω0-12qω0<Ω<2ω0+12qω0.

(12)

f1(F,Ω)

(13)

由于式(13)沒(méi)有解析解，其數(shù)值解見(jiàn)圖2,2條曲線分別為km上下限隨頻率變化圖像，圓點(diǎn)分別為(3,10)(4,8)模態(tài).

圖2 (13)式數(shù)值解

1個(gè)波矢km對(duì)應(yīng)于1個(gè)本征模態(tài)的基底Sm,n. 由不等式(13)及圖2可得知在激勵(lì)參量F和Ω一定的條件下，波矢km的取值存在一定的范圍，所以一定條件下可能出現(xiàn)多模態(tài)共存現(xiàn)象. 例如，圓柱容器直徑D=10 cm，水深h=1 cm，激勵(lì)頻率f=34.8 Hz，振幅A=0.01 m，觀察到(m,n)=(3,10),(4,8)2種振動(dòng)模態(tài)，如圖2所示，其本征函數(shù)Sm的本征值km分別為22.0和24.2. 由不等式(13) 解出的km范圍為22.4～24.8，實(shí)驗(yàn)結(jié)果與理論預(yù)測(cè)范圍基本吻合.

實(shí)空間中觀察到的花紋是單個(gè)或多個(gè)本征振動(dòng)模態(tài)疊加的結(jié)果，以下引入幾何模型以便直觀地表達(dá)法拉第波花紋和激勵(lì)條件等實(shí)驗(yàn)參量之間的聯(lián)系.

1.4 法拉第波的幾何模型

根據(jù)式(2)，液體豎直方向位移包含2部分：隨時(shí)間變化調(diào)幅因子是am(t)，其空間分布由基底函數(shù)Sm,n(x,y)決定. 對(duì)于圓柱容器單模態(tài)，它的解是Bessel 方程相應(yīng)的花紋圖案隨時(shí)間的振蕩調(diào)制. 因此可以通過(guò)模態(tài)的函數(shù)圖像得出實(shí)空間對(duì)稱軸和波峰個(gè)數(shù)等.

例如，在圓柱容器直徑D=4.6 cm，水深h=0.5 cm，頻率f=20 Hz條件下，對(duì)應(yīng)解的本征函數(shù)是貝塞爾函數(shù)S1,3，其二維圖像如圖3所示，有3個(gè)對(duì)稱的波峰和波谷.

在圖3中液體的豎直方向上的位移高度是通過(guò)顏色來(lái)表示的，紅色說(shuō)明高于水平面的波峰，而藍(lán)色則是低于水平面的波谷，深淺說(shuō)明振幅大小. 在相同的條件下得到的實(shí)驗(yàn)結(jié)果見(jiàn)圖3(c)，與理論預(yù)測(cè)結(jié)果一致.

(a)模擬波峰

(b)俯視圖

(c)實(shí)驗(yàn)結(jié)果圖3 計(jì)算機(jī)模擬3個(gè)波峰及實(shí)驗(yàn)結(jié)果

下面引入幾何模型，描述波峰的數(shù)量以及對(duì)稱性，同時(shí)推測(cè)一定條件下法拉第波呈現(xiàn)何種模態(tài). 將km對(duì)應(yīng)的波長(zhǎng)為直徑的圓形作為波峰圓，Bessel函數(shù)在徑向上有m個(gè)零點(diǎn)，其間隔是波長(zhǎng)，而在圓周方向上會(huì)以2π/n作周期重復(fù)，即在圓周方向上有n個(gè)波峰(n次旋轉(zhuǎn)軸). 因此可以假設(shè)波峰排布滿足以下規(guī)則：

1)排布方式圍繞中心有n次對(duì)稱軸.

2)每層的波峰個(gè)數(shù)相同.

3)在選取不同模態(tài)時(shí)盡可能滿足面積利用率較大，即波峰圓占據(jù)容器大部分面積.

根據(jù)容器直徑和波峰圓的面積可以計(jì)算出密排時(shí)的波峰個(gè)數(shù)N，N是實(shí)際波峰個(gè)數(shù)的上限. 按照軸向?qū)ΨQ性和徑向排布規(guī)則的要求，可以將N因數(shù)分解為滿足N≈m×n的若干組(m,n)，對(duì)應(yīng)于可能出現(xiàn)的模態(tài).

以圓柱容器中單層排布為例，如圖4所示，不同排布模式下排成1層所需要的最小容器直徑D是不同的，其滿排直徑分別為D3=43+63R,D4=4R,D5=4Rsin 3π10+2R,D6=6R，等等. 波峰圓半徑R為波長(zhǎng)一半. 當(dāng)排布直徑和容器直徑接近時(shí)，該模態(tài)將可能被觀察到.

(a)(1,3)模態(tài) (b)(1,4)模態(tài) (c)(1,5)模態(tài)圖4 單層情況下對(duì)于不同n值的排布直徑

對(duì)于多層排列，以S(2,6)為例，同樣符合上述規(guī)則，如圖5所示.

圖5 (2,6)模態(tài)的示意圖

當(dāng)一定實(shí)驗(yàn)條件下只存在1個(gè)模態(tài)時(shí)，該振動(dòng)模態(tài)是穩(wěn)定的. 如果同時(shí)存在多種模態(tài)，會(huì)出現(xiàn)模態(tài)之間競(jìng)爭(zhēng)，甚至出現(xiàn)混沌.

2 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

圖6是實(shí)驗(yàn)裝置圖，包括振動(dòng)平臺(tái)、連接PASCO 波形驅(qū)動(dòng)器、盛放液體的圓柱容器. 在振臺(tái)上鑲嵌有鋼針，用于限位和測(cè)量振幅. 圖像由Casio 高速攝相機(jī)(EXZR 200)記錄.

(a)實(shí)驗(yàn)裝置

(b)振臺(tái)與容器圖6 實(shí)驗(yàn)儀器

2.1 單層下波峰個(gè)數(shù)

表1是根據(jù)幾何模型計(jì)算的波峰個(gè)數(shù)和實(shí)驗(yàn)結(jié)果的對(duì)照. 考慮到不同對(duì)稱軸的情況下面積占用率是不同的，在計(jì)算時(shí)引入等效密排面積對(duì)容器面積做了修正:

S′=αS,

(14)

其修正系數(shù)α是多邊形與外接圓面積的比值. 表1表明:幾何模型預(yù)測(cè)的波峰數(shù)和實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合.

表1 理論預(yù)測(cè)波峰個(gè)數(shù)N和實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比表

2.2 模態(tài)競(jìng)爭(zhēng)與共存

在法拉第波的實(shí)驗(yàn)中，經(jīng)常有不同模態(tài)交替出現(xiàn)的情況，稱之為模態(tài)競(jìng)爭(zhēng)現(xiàn)象，例如表1 中在激勵(lì)頻率為23 Hz 時(shí)，(1,6)和(1,8)模態(tài)共存. 接下來(lái)以實(shí)例對(duì)模態(tài)競(jìng)爭(zhēng)情況進(jìn)行分析.

(a)(3,10) (b)(4,8)圖7 f=34.8 Hz, A=1 cm時(shí)，交替出現(xiàn)(3,10)和 (4,8)模態(tài)的實(shí)驗(yàn)圖像

實(shí)驗(yàn)中，在振臺(tái)頻率f=34.8 Hz、振幅A=1 cm時(shí),觀察到2個(gè)模態(tài)(3,10)和(4,8)交替出現(xiàn)(圖7). 由背景照射光反射規(guī)律，可以大致推斷出各個(gè)亮紋(亮度大約一致)所包圍的連通閉合區(qū)域構(gòu)成1個(gè)波峰圓. (因?yàn)榕臄z和入射光角度等原因，波峰圓的形狀有變形且明暗不一致.)

在實(shí)驗(yàn)參量下，利用式(2)和(3)計(jì)算，同樣可以得到2個(gè)模態(tài)(3,10)和(4,8)的理論圖像(圖8)，與實(shí)驗(yàn)圖像相符合.

(a)(3,10) (b)(4,8)圖8 (3,10)和(4,8)模態(tài)對(duì)應(yīng)的計(jì)算模擬圖像

接下來(lái)驗(yàn)證幾何模型，根據(jù)圖2給出的范圍推算出的可能波長(zhǎng)，再按照幾何模型的規(guī)則預(yù)測(cè)模態(tài)，同樣可以得到2個(gè)模態(tài)(3,10)和(4,8)在該條件下存在. 在水深遠(yuǎn)小于波長(zhǎng)且激勵(lì)振幅較小時(shí)，同時(shí)忽略表面張力項(xiàng)，式(4)退化為淺水波公式，可以簡(jiǎn)化對(duì)于法拉第波的描述方式.

圖9是改變激勵(lì)頻率和振幅得到的相圖，其中數(shù)據(jù)點(diǎn)是實(shí)驗(yàn)結(jié)果，實(shí)線是理論計(jì)算結(jié)果，混沌和競(jìng)爭(zhēng)沒(méi)有明確的分界，圖中的虛線是示意. 表明了2個(gè)模態(tài)各自單獨(dú)存在和共存的條件以及形式. 在頻率較小時(shí)出現(xiàn)穩(wěn)定的(3,10)單模態(tài)，當(dāng)頻率較大時(shí)(4,8)單模態(tài)穩(wěn)定存在，在中間頻率段存在2個(gè)模態(tài)的競(jìng)爭(zhēng)，且激勵(lì)振幅增大時(shí)會(huì)出現(xiàn)混沌現(xiàn)象.

圖9 (3,10)(4,8)模態(tài)對(duì)應(yīng)的相圖

3 結(jié)束語(yǔ)

由法拉第波的振幅方程給出了穩(wěn)定條件下的色散關(guān)系，利用參量共振方程得到了在亞簡(jiǎn)諧條件下本征波矢km的取值范圍. 提出了幾何模型，在一定實(shí)驗(yàn)條件下，可以簡(jiǎn)單而直觀地預(yù)測(cè)模態(tài)及其花紋圖案，幾何模型的預(yù)測(cè)與實(shí)驗(yàn)及理論計(jì)算結(jié)果相符合.

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[責(zé)任編輯：任德香]

Vibrating modes of Faraday waves in ideal fluid

ZHAO Wen-ding, WANG Si-hui, FAN Zhou-you, CHEN En-ze, ZHOU Hui-jun, GAO Wen-li

(School of Physics, Nanjing University, Nanjing 210093, China)

The Faraday wave patterns and corresponding vibrating modes in ideal fluid were studied theoretically and experimentally. The dispersion relation had been got by deriving the amplitude equations of Faraday waves. The range of eigenvalue was also calculated based on the parametric resonance theory. To predict possible patterns in real space, a geometric model on the basis of experimental parameters was proposed, which could intuitively predict the different wave patterns and the conditions of mode competitions. The experimental phase diagram was also analyzed. A good agreement between the measured and theoretical results was obtained.

Faraday waves; sub-harmonic resonance; dispersion relation; Mathieu equations; geometric model

2016-05-29；修改日期：2016-09-01

南京大學(xué)國(guó)家級(jí)創(chuàng)新計(jì)劃(No.G201510284029)

趙文定(1995-)，男，上海人，南京大學(xué)物理學(xué)院2013級(jí)本科生.

指導(dǎo)教師：王思慧(1964-)，女，北京人，南京大學(xué)物理學(xué)院教授，博士，主要從事基礎(chǔ)物理理論與實(shí)驗(yàn)教學(xué)研究.

O353

A

1005-4642(2017)01-0013-06

“第9屆全國(guó)高等學(xué)校物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)研討會(huì)” 論文