羅蘭

(廣州大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,數(shù)學(xué)與交叉科學(xué)廣東普通高校重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,廣東廣州 510006)

帶有Gilbert阻尼項(xiàng)的Landau-Lifshitz鐵磁鏈方程解的最佳衰減率

羅蘭

(廣州大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,數(shù)學(xué)與交叉科學(xué)廣東普通高校重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,廣東廣州 510006)

主要研究帶有Gilbert阻尼項(xiàng)的Landau-Lifshitz鐵磁鏈方程的柯西問(wèn)題.當(dāng)初值的一階導(dǎo)數(shù)適當(dāng)小時(shí),基于加權(quán)能量估計(jì),證明了強(qiáng)解的整體存在性并且給出了解的最優(yōu)的L2和L∞衰減估計(jì).

Landau-Lifshitz方程;Gilbert阻尼;鐵磁性;整體適定性;衰減估計(jì)

1 引言

本文主要研究了具有Gilbert阻尼項(xiàng)的一維Landau-Lifshitz鐵磁鏈方程的柯西問(wèn)題,方程形式如下:

其中未知函數(shù)u是向量值函數(shù),代表磁鐵的自選量,α1是Gilbert阻尼常數(shù)(參見(jiàn)文獻(xiàn)[1-2]).

方程(1)主要刻畫(huà)了能量守恒和自旋量的變化規(guī)律.Landau和Lifshitz首次推導(dǎo)出方程組(1)(參見(jiàn)文獻(xiàn)[3]).從那時(shí)起,物理學(xué)家和數(shù)學(xué)家開(kāi)始關(guān)注這一重要模型,并且取得許多重要的研究結(jié)果.文獻(xiàn)[1]系統(tǒng)地介紹了模型(1)的物理背景和數(shù)學(xué)研究進(jìn)展.由自旋場(chǎng)的模的有限性以及Gilbert阻尼常數(shù)的非負(fù)性,有如下限制條件:

在給出主要定理之前,首先介紹模型(1)的相關(guān)的物理和數(shù)學(xué)研究工作.方程(1)對(duì)于理解非平衡態(tài)的鐵磁場(chǎng)起到至關(guān)重要的作用,因此有必要通過(guò)對(duì)模型(1)的數(shù)學(xué)理論研究來(lái)驗(yàn)證一些重要的物理現(xiàn)象.當(dāng)空間維數(shù)為1且α1=0時(shí),方程(1)轉(zhuǎn)化成可積系統(tǒng)從而具有孤立子解.文獻(xiàn)[4-9]系統(tǒng)地研究了孤立子解的存在性、相互作用、無(wú)窮守恒律、逆散射問(wèn)題以及與非線性薛定諤方程的相互關(guān)系,也可以參見(jiàn)相關(guān)研究文獻(xiàn)[10-13].當(dāng)初值屬于維黎曼流形上的Sobolev空間時(shí),文獻(xiàn)[1]證明了高維方程組(1)弱解的整體存在性.對(duì)于二維情形,他們能夠得到更好的正則性和解的唯一性.文獻(xiàn)[8-9,14]系統(tǒng)地研究方程組(1)的解的性質(zhì)以及解與緊致黎曼流形上的調(diào)和映照的緊密聯(lián)系.另外,在一些具體的物理情形,必須考慮磁場(chǎng)和電場(chǎng)效應(yīng),文獻(xiàn)[10]首先研究方程組(1)與Maxwell方程組的耦合組.文獻(xiàn)[15]也系統(tǒng)地研究了這類耦合組.關(guān)于模型(1),也有許多數(shù)值模擬結(jié)果[1112].

本文將證明Landau-Lifshitz方程組柯西問(wèn)題(1)-(4)強(qiáng)解的整體存在性.另外,還將證明解漸近趨于常狀態(tài),并且給出最優(yōu)的衰減估計(jì).主要定理敘述如下:

定理1若初值u0滿足條件(3)-(4).那么柯西問(wèn)題(1)-(4)具有唯一的強(qiáng)解滿足:u(x,t)-ˉu∈Hs(R).而且當(dāng)t→+∞時(shí)具有如下最優(yōu)衰減估計(jì):

通過(guò)解的局部存在性定理和一致加權(quán)能量估計(jì),可以證明上述定理.由于方程組(1)解的局部存在性定理是經(jīng)典結(jié)果,為了敘述的簡(jiǎn)潔性不再贅述,將在下一節(jié)中詳細(xì)介紹一致加權(quán)能量估計(jì).所有的能量估計(jì)都是基于以下先驗(yàn)假設(shè):

首先假設(shè)(5)式成立,然后基于此先驗(yàn)假設(shè)可以證明‖u-ˉu‖H2被初值‖u0-ˉu‖H2控制.因此,由初值條件(4)和Sobolev不等式可得(5)式成立.在第二節(jié)中,將詳細(xì)推導(dǎo)方程組(1)解的先驗(yàn)估計(jì).在第三節(jié)中,將推導(dǎo)最佳L2(R)和L∞(R)衰減估計(jì).在接下來(lái)的推導(dǎo)中,為了方便起見(jiàn),對(duì)于向量值函數(shù)u,將其L2(R)范數(shù)記為‖u‖,將其L∞(R)范數(shù)記為‖u‖∞.

2 先驗(yàn)估計(jì)

在本節(jié)中,將給出解的一致先驗(yàn)估計(jì),而這些估計(jì)足以證明解的整體存在性和解的衰減率估計(jì).首先有如下的L2估計(jì).

引理1假設(shè)(3)-(4)式成立.則

其中用到了(15)式.這樣,就能夠得到更高階導(dǎo)數(shù)的估計(jì).然后與本節(jié)所得到的關(guān)于解的一致估計(jì)和解的局部存在性結(jié)果結(jié)合起來(lái),就可以得到柯西問(wèn)題(1)-(4)強(qiáng)解的整體存在性和唯一性.下面來(lái)推導(dǎo)主要定理中關(guān)于解的漸近估計(jì).

3 最優(yōu)衰減率

基于上節(jié)中得到的一致估計(jì),將在本節(jié)給出方程(1)的解的衰減率估計(jì),并且從證明過(guò)程中可以看出這個(gè)衰減率是最優(yōu)的.

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Optimal rate of decay for solutions for the Landau-Lifshitz equation with Gilbert damping for ferrom agnetism

Luo Lan
(School of Mathem atics and In form ation Science,Key Laboratory of Mathem atics and Interdiscip linary Sciences of Guangdong Higher Education Institutes,Guangzhou University,Guangzhou 510006,China)

In this paper we study the Cauchy prob lem for the im portant Landau-Lifshitz equation with Gilbert dam ping for ferrom agnetism.W e estab lish the global existence of strong solution and at the sam e tim e we give some decay estimates of solutions which are indeed optimal.Our analysis is based on the a priori weighted energy estimatemethods.And only the smallness of the first derivatives of the initial data is assumed.

Landau-Lifshitz equation,Gilbert dam ping,ferrom agnetism,global existence,optical decay rates

O29

A

1008-5513(2012)03-0313-16

2012-04-10.

國(guó)家自然科學(xué)基金(11126021).

羅蘭(1962-),碩士,講師,研究方向：應(yīng)用數(shù)學(xué).

2010 MSC:35A 01,35B40,35G35,35Q80