文︳湖南大學(xué)子弟小學(xué)數(shù)學(xué)組瀟湘數(shù)學(xué)教育工作室

“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”教學(xué)研究報(bào)告

文︳湖南大學(xué)子弟小學(xué)數(shù)學(xué)組瀟湘數(shù)學(xué)教育工作室

一、問題

計(jì)算是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的主要內(nèi)容之一，是學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)和生活的必備技能。計(jì)算教學(xué)包括計(jì)算概念的建立、計(jì)算法則的探究與運(yùn)用以及計(jì)算技能的訓(xùn)練等。兩位數(shù)乘兩位數(shù)是人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材三年級(jí)下冊(cè)的內(nèi)容，是在學(xué)生學(xué)習(xí)了筆算多位數(shù)乘一位數(shù)的基礎(chǔ)上進(jìn)行教學(xué)的。這一內(nèi)容是第一學(xué)段學(xué)生學(xué)習(xí)的最為復(fù)雜的計(jì)算知識(shí)，也是讓一線老師感到頭疼難教的內(nèi)容之一。老師們認(rèn)為，學(xué)生在計(jì)算兩位數(shù)乘兩位數(shù)時(shí)，由于基礎(chǔ)不夠扎實(shí)、計(jì)算習(xí)慣不好、感知不完善、對(duì)算理理解不到位等，導(dǎo)致錯(cuò)誤率比較高。那么，教師該采取什么樣的手段或者方法，幫助學(xué)生突破學(xué)習(xí)中的難點(diǎn)，切實(shí)提高計(jì)算技能呢？我們數(shù)學(xué)組針對(duì)這一內(nèi)容進(jìn)行了教學(xué)研究。

（一）教學(xué)實(shí)踐中的問題

為了更好地了解學(xué)生的學(xué)情，我們選取了三（1）班49名學(xué)生進(jìn)行了兩位數(shù)乘兩位數(shù)（不進(jìn)位）的學(xué)習(xí)前測(cè)。

表1：前測(cè)題

表2：前測(cè)分析

從前測(cè)看，對(duì)于檢驗(yàn)兩位數(shù)乘兩位數(shù)的知識(shí)儲(chǔ)備的計(jì)算題，大部分學(xué)生已經(jīng)基本掌握。對(duì)于兩位數(shù)乘兩位數(shù)的計(jì)算題，有42.9%的學(xué)生能利用乘法意義找到答案，只有8.2%的學(xué)生能正確運(yùn)用豎式計(jì)算。學(xué)生列豎式計(jì)算時(shí)出現(xiàn)的錯(cuò)誤五花八門，表現(xiàn)出的最主要困難，首先是“誰(shuí)”和“誰(shuí)”乘的問題，其次是第二層積的對(duì)位問題。

同時(shí)，我們對(duì)相關(guān)教師進(jìn)行了問卷調(diào)查與訪談。從調(diào)查的結(jié)果中我們發(fā)現(xiàn)，部分老師認(rèn)為計(jì)算教學(xué)關(guān)鍵是要形成技能，評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)是要會(huì)做，但對(duì)算理理解關(guān)注不夠；有部分老師盡管注意到探究算法過程的必要性，但是考慮到課堂時(shí)間有限，在教學(xué)實(shí)踐中，對(duì)探索算法的過程，包括提出多樣化的算法并進(jìn)行優(yōu)化關(guān)注不夠；由于講解算理和簡(jiǎn)化豎式都在同一課時(shí)進(jìn)行，而要完成豎式的教學(xué)，部分老師講解完算理后就帶著學(xué)生匆匆轉(zhuǎn)入技能的訓(xùn)練中，剛剛經(jīng)歷的理解算理很快就湮沒在記憶、模仿法則的操練中。

從教材層面進(jìn)行分析，我們發(fā)現(xiàn)從計(jì)算方法的角度看，多位數(shù)乘一位數(shù)與兩位數(shù)乘兩位數(shù)區(qū)別是明顯的。學(xué)生很難結(jié)合口算的方法（14× 12=14×10+14×2）自主探索出乘數(shù)是兩位數(shù)的乘法的豎式計(jì)算法則，也很難實(shí)現(xiàn)從乘數(shù)是一位數(shù)的乘法豎式（一層積）到乘數(shù)是兩位數(shù)的乘法豎式（兩層積）的突破。

實(shí)際上，與多位數(shù)乘一位數(shù)的筆算乘法相比，兩位數(shù)乘兩位數(shù)的豎式運(yùn)算的復(fù)雜性增加了，對(duì)思維的要求也更高了。學(xué)生要知道每一步做什么，表示什么意思，得到的是幾個(gè)一還是幾個(gè)十，該如何寫。

（二）解決問題的策略

課標(biāo)（2011版）中關(guān)于算理教學(xué)有明確要求：“在基本技能的教學(xué)中，不僅要使學(xué)生掌握技能操作的程序和步驟，還要使學(xué)生理解程序和步驟的道理。例如，對(duì)于整數(shù)乘法計(jì)算，學(xué)生不僅要掌握如何進(jìn)行計(jì)算，而且要知道相應(yīng)的算理?！痹谶@一要求的指導(dǎo)下，基于對(duì)學(xué)生相關(guān)情況的調(diào)研、分析和把握，在教學(xué)中，我們將算理放在學(xué)習(xí)的中心位置，突出一個(gè)教學(xué)理念：借助直觀自主探究，循理悟法、以理馭法。學(xué)生由于是第一次學(xué)習(xí)兩位數(shù)乘兩位數(shù)的豎式寫法，最難想到的是第二個(gè)積的書寫位置（即為什么用第二個(gè)乘數(shù)十位上的數(shù)乘第一個(gè)乘數(shù)，所得的積的末位要與乘數(shù)的十位對(duì)齊），這也是理解筆算算理的突破口。于是，我們將筆算方法的學(xué)習(xí)置于具體的情境中，借助幾何直觀（點(diǎn)子圖），讓學(xué)生通過自主探索、合作交流、優(yōu)化比較等過程，發(fā)現(xiàn)口算拆分方法與筆算豎式算理上的一致性，從而突破難點(diǎn)，達(dá)到對(duì)算理的深層理解和算法的切實(shí)掌握。

二、實(shí)踐

基于充分理解算理、掌握算法觀點(diǎn)下的教學(xué)實(shí)踐，我們選取兩位數(shù)乘兩位數(shù)（不進(jìn)位），讓學(xué)生經(jīng)歷探究算法、理解算理、初步概括法則的過程。重點(diǎn)教學(xué)乘的順序及各部分積的書寫位置，幫助學(xué)生理解算理，突出各部分積的實(shí)際含義。

教學(xué)過程

（一）復(fù)習(xí)鋪墊，導(dǎo)入新課

師：上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了口算乘法，先復(fù)習(xí)一下，完成學(xué)習(xí)卡第一題（課件出示圖1）。

學(xué)生計(jì)算后匯報(bào)。

師：大家完成得不錯(cuò)，再來(lái)一組口算題（課件出示圖2）。

圖1

圖2

學(xué)生口算的結(jié)果都還不錯(cuò)。

師：現(xiàn)在請(qǐng)問，15×5和413×2筆算是怎樣算的？

學(xué)生回答，課件依次出現(xiàn)乘的順序及答案（如圖3）。

師：那誰(shuí)能告訴我，怎樣計(jì)算多位數(shù)乘一位數(shù)呢？

生1：要用一位數(shù)分別去乘多位數(shù)的每一位上的數(shù)。

圖3

生2：乘的順序是先用一位數(shù)乘多位數(shù)的個(gè)位上的數(shù)，得數(shù)要寫在個(gè)位上；再去乘多位數(shù)的十位上的數(shù)，得數(shù)要寫在十位上。就這樣乘下去，如果有進(jìn)位，要把進(jìn)位記上。（師揭示課題：筆算乘法（不進(jìn)位））

（二）探究算法，理解算理

1.嘗試計(jì)算

師：（出示情境圖：每套書有14本，王老師買了12套）根據(jù)信息，你能提出什么數(shù)學(xué)問題？怎樣列式？

生：一共買了多少本？14×12=？

師：如果用一個(gè)點(diǎn)子表示一本書，這一行有14個(gè)點(diǎn)子，可以表示一套書。12套書有多少本，用點(diǎn)子圖可以怎么表示？（課件出示每行14個(gè)點(diǎn)子，共12行）求一共有多少本書就是求什么？

生3：求一共有多少本書就是求12個(gè)14本是多少，用乘法計(jì)算。

師：王老師大約買了多少本？結(jié)果大約會(huì)是多少？你是怎么想的？

生4：我把12看成10，用14×12≈140估計(jì)大概的范圍，實(shí)際結(jié)果會(huì)比140大一點(diǎn)。（板書：估算：14×10=140（本））

師：那要求一共買了多少本，你能利用學(xué)過的知識(shí)計(jì)算14×12等于多少嗎？如果有困難，可以借助老師發(fā)給你的點(diǎn)子圖來(lái)研究。在上面畫一畫，然后想一想，找到計(jì)算14×12的辦法，并把自己的想法和思考過程寫在紙上。如果你找到了一種方法，看看還有沒有其他的辦法。

學(xué)生獨(dú)立思考，嘗試解決問題。

2.探究方法

師：現(xiàn)在請(qǐng)同桌之間交流計(jì)算方法。為了讓同學(xué)理解你的方法，可以借助點(diǎn)子圖進(jìn)行講解，然后全班匯報(bào)。

學(xué)生到實(shí)物投影儀上展示講解，匯報(bào)交流。

生5：我可以先算2套多少本：14×2=28（本）；再算10套多少本：14×10=140（本）；最后算12套多少本：140+28=168（本）。（在點(diǎn)子圖上是這樣表示的，見圖4）

師根據(jù)學(xué)生的回答從上到下依次板書：14× 2=28（本）；14×10=140（本）；140+28=168（本）。

生6：我也可以先算4套多少本，14×4=56（本）；12套里面有3個(gè)4，所以總數(shù)就有3個(gè)56那么多，56×3=168（本）。（在點(diǎn)子圖上是這樣表示的，見圖5）

生7：我的算式是這樣的：14×6×2=168（本），我先算一半也就是6套有多少本，再乘2就是12套有多少本了。（在點(diǎn)子圖上是這樣表示的，見圖6）

生8：我發(fā)現(xiàn)點(diǎn)子圖可以有不同的分割方法，其實(shí)也可以豎著分割，再求和，算出總數(shù)……

圖4

圖5

圖6

師：大家想出了這么多方法，盡管表示方法不同，但這些方法有什么共同特點(diǎn)？

生9：這些方法都是先把一個(gè)數(shù)分小一點(diǎn)，再合起來(lái)。分開后的數(shù)變小了，我們就會(huì)算了。

生10：把數(shù)拆分后就可以將新知識(shí)變成學(xué)過的知識(shí)進(jìn)行解答了。

師：對(duì)，這就是轉(zhuǎn)化的方法，數(shù)學(xué)中，轉(zhuǎn)化是一種重要的思想方法。還有沒有其他方法？

生11展示了4個(gè)豎式的方法（如圖7）。生12展示了3個(gè)橫式與一個(gè)豎式的方法（如圖8）。

圖7

圖8

生13（圖9）、生14（圖10）、生15（圖11）分別展示一個(gè)豎式表達(dá)的方法。

圖9

圖10

圖11

師：（指生11的4個(gè)豎式）你們讀懂了他豎式的意思嗎？前3個(gè)分別表示什么意思？第四個(gè)呢？生12的呢？

生16：我明白了，生11前面3個(gè)豎式的意思和生5的方法有點(diǎn)像，最后一個(gè)豎式，他把得數(shù)寫上去了，做了一個(gè)總結(jié)；生12把后面3個(gè)橫式的思路及結(jié)果用一個(gè)豎式表示了。

師：確實(shí)有點(diǎn)意思，也是一種創(chuàng)造哦。不過如果不看前3個(gè)豎式或最后3個(gè)橫式，豎式中的得數(shù)真不清楚是怎么來(lái)的，我們待會(huì)想想辦法。你們發(fā)現(xiàn)生12乘的順序有什么不一樣嗎？（教師指出，一般情況下，用第二個(gè)乘數(shù)的每一位去乘第一個(gè)乘數(shù)的每一位，這是一種習(xí)慣）另外3個(gè)同學(xué)的豎式都對(duì)嗎？你是怎么知道的？

生17：生13的豎式錯(cuò)了，因?yàn)槲覀儎偛殴烙?jì)了結(jié)果比140大，這里的得數(shù)還不到100，肯定錯(cuò)了。其他兩個(gè)得數(shù)應(yīng)該是對(duì)的，和我們估計(jì)的結(jié)果不太遠(yuǎn)。

師：生11、生12、生14、生15的豎式都能正確地計(jì)算出結(jié)果，可哪種方法更能簡(jiǎn)潔地記錄計(jì)算的過程呢？

生（齊）：生15的。

師：那我們請(qǐng)生15介紹一下他是怎么想的。

在師生問答的過程中重點(diǎn)理解：（1）這里的28、14分別是怎么得到的？（2）計(jì)算過程中的14為什么要這樣寫？它表示什么意思？（重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)計(jì)算過程中的14表示的是14個(gè)十及它的書寫位置）（3）指出，第二部分積表示的是14×10=140，個(gè)位上的0可以不寫，所以十位上的4要與乘數(shù)的十位對(duì)齊。師說(shuō)明生14的方法對(duì)了，這里的0可以不寫，“+”號(hào)也可以省略，這樣更簡(jiǎn)潔；再問生13是否清楚錯(cuò)在哪里。

3.溝通比較，明確豎式計(jì)算算理

師：生15的豎式你們能理解嗎？豎式與我們前面的口算拆分方法14×12=14×10+14×2，以及對(duì)應(yīng)的點(diǎn)子圖有聯(lián)系嗎？有什么相同的地方？有什么不同？

師生共同完成三者的關(guān)聯(lián)，完成板書（如圖12）。

圖12

師：生11用3個(gè)豎式表達(dá)了自己的思考過程，能不能用一個(gè)豎式簡(jiǎn)潔表示？

學(xué)生動(dòng)筆嘗試。

師：如果把這里的14看作第一個(gè)乘數(shù)，12看作第二個(gè)乘數(shù)，用豎式計(jì)算時(shí)要按怎樣的順序算？

生18：先用第二個(gè)乘數(shù)個(gè)位上的數(shù)與第一個(gè)數(shù)相乘，再用十位上的數(shù)和第一個(gè)數(shù)相乘，然后把兩次乘得的積加起來(lái)。

4.回顧反思

師：再回頭看一看，剛才我們這個(gè)計(jì)算方法是怎么得到的？

生19：我們是利用點(diǎn)子圖通過先分后合，轉(zhuǎn)化成學(xué)過的知識(shí)得到計(jì)算方法的。

生20：我們還找到了這些方法之間的聯(lián)系，并概括出來(lái)了。

師：點(diǎn)子圖是非常重要的學(xué)習(xí)工具，轉(zhuǎn)化、比較、概括都是非常重要的學(xué)習(xí)方法。

5.靈活運(yùn)用，說(shuō)理訓(xùn)練

師：李師傅平均每小時(shí)做18個(gè)零件，那么工作14小時(shí)做了多少個(gè)零件？怎么列式？

小明用豎式計(jì)算了，請(qǐng)你說(shuō)一說(shuō)每一部分的意思。（課件出示圖13）

圖13

學(xué)生理解了算理后，再次讓學(xué)生書空，邊說(shuō)邊口述18×14的筆算過程及豎式寫法。

（三）練習(xí)（略）

設(shè)計(jì)童圖綜述：

讓學(xué)生經(jīng)歷“探究算法—明晰算理—總結(jié)算法”的過程是新版教材在計(jì)算教學(xué)編排方面體現(xiàn)的主要特征。為了落實(shí)教材意圖，本節(jié)課的教學(xué)注重幫助學(xué)生理解兩位數(shù)乘兩位數(shù)的算理，掌握筆算方法，感悟幾何直觀，體驗(yàn)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，積累抽象、歸納、概括等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)。

1.探究算法策略多樣化

本課中呈現(xiàn)出解決問題策略的多樣化。學(xué)生在多種口算方法的分割中體會(huì)先分后合的道理；在多種口算方法中突出與筆算豎式相關(guān)聯(lián)的分法，在比較中突出筆算乘法豎式的簡(jiǎn)潔性和方法的抽象性。

2.借助點(diǎn)子圖突出算理教學(xué)

本節(jié)課的重難點(diǎn)是借助直觀的算理得到抽象的算法，而點(diǎn)子圖就是溝通算理和算法的橋梁。這一內(nèi)容的算理包含兩個(gè)方面，一是在學(xué)生還沒有學(xué)習(xí)乘法分配律的情況下如何理解“拆分”算法的合理性，二是理解豎式計(jì)算中每一步算出的是什么。教學(xué)中，教師注重引導(dǎo)學(xué)生利用點(diǎn)子圖，自主探究?jī)晌粩?shù)乘兩位數(shù)的得數(shù)及筆算方法，理解“拆分”算法的合理性，進(jìn)而明晰豎式計(jì)算中每一步的含義，幫助學(xué)生掌握積的定位，明白數(shù)位對(duì)齊的道理，為學(xué)生靈活計(jì)算提供了算法依據(jù)。本課先通過估算、口算的思路回顧，展現(xiàn)方法背后的道理，實(shí)現(xiàn)由法入理；再通過嘗試豎式計(jì)算，實(shí)現(xiàn)口算思路的筆算化呈現(xiàn)；在自主探索、討論交流中由理悟法，利用口算的算理將口算與筆算進(jìn)行有效融通。這樣一來(lái)，不僅規(guī)范了筆算的算法，又厘清了算理與算法之間的關(guān)系，學(xué)生由會(huì)算轉(zhuǎn)向深入理解算法背后的道理，真正實(shí)現(xiàn)了以理馭法。

3.注重計(jì)算方法的歸納、概括

盡管抽象并概括方法的要求是在下一節(jié)課，但是本課中依然可見對(duì)學(xué)生規(guī)范語(yǔ)言表述的引導(dǎo)，對(duì)計(jì)算方法的歸納和概括。本課中，學(xué)生通過對(duì)豎式中每一步計(jì)算所表示意義的理解，自主完成了“程序化”計(jì)算中的數(shù)學(xué)思考。而對(duì)計(jì)算步驟的提煉和概括，為后續(xù)計(jì)算法則的抽象概括做了很好的鋪墊。

三、討論

1.計(jì)算能力的培養(yǎng)不能放松

重視計(jì)算技能訓(xùn)練和計(jì)算能力的培養(yǎng)一直是我國(guó)基礎(chǔ)教育的優(yōu)良傳統(tǒng)。我們?cè)谶@方面積累了豐富的經(jīng)驗(yàn)。隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，日常生活中引入計(jì)算器代替計(jì)算已司空見慣，但是計(jì)算能力作為一種重要的能力，在小學(xué)階段還是需要訓(xùn)練到位的。計(jì)算能力的高低對(duì)后續(xù)學(xué)習(xí)將產(chǎn)生深遠(yuǎn)影響。小學(xué)計(jì)算不過關(guān)，將對(duì)初高中的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，乃至理科學(xué)習(xí)帶來(lái)極大的影響。

2.計(jì)算速度有要求

計(jì)算需要有一定的速度。計(jì)算屬于數(shù)學(xué)技能，數(shù)學(xué)技能的行為指標(biāo)包括準(zhǔn)確性、速度、協(xié)調(diào)性和自動(dòng)化。心理學(xué)家研究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)兒童企圖執(zhí)行更多工作記憶任務(wù)時(shí)，因這種技能水平低而造成計(jì)算速度慢，會(huì)導(dǎo)致越來(lái)越多的問題，也就是說(shuō)數(shù)學(xué)事實(shí)提取慢，會(huì)干擾數(shù)學(xué)問題的解決。因此，通過一定的訓(xùn)練，使學(xué)生的計(jì)算技能達(dá)到一定的自動(dòng)化程度是非常必要的。作為數(shù)學(xué)教師，特別是小學(xué)數(shù)學(xué)教師，對(duì)后續(xù)意義重大的基本口算，如乘法口訣表、20以內(nèi)的加減、100以內(nèi)的加減等內(nèi)容，在教學(xué)中一定要向?qū)W生提出速度的要求。

3.計(jì)算教學(xué)的價(jià)值是什么？

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)解讀》中指出：“運(yùn)算能力并非一種單一的、孤立的數(shù)學(xué)能力，而是運(yùn)算技能與邏輯思維等的有機(jī)整合……運(yùn)算能力不僅是一種數(shù)學(xué)的操作能力，更是一種數(shù)學(xué)的思維能力?！北緦ｎ}的研究也給我們帶來(lái)一個(gè)思辨性的問題：計(jì)算教學(xué)的價(jià)值是什么？培養(yǎng)學(xué)生的思維能力應(yīng)該是不二選擇！因此在計(jì)算教學(xué)中，我們要跳出認(rèn)知、技能的框框，組織學(xué)生積極探索算理算法，實(shí)現(xiàn)計(jì)算學(xué)習(xí)由知識(shí)技能性學(xué)習(xí)向探究性、創(chuàng)新性學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)變。應(yīng)該說(shuō)這反映出一種教學(xué)的價(jià)值取向，如果沒有高度的專業(yè)自覺性和自主性，以及對(duì)學(xué)生計(jì)算能力訓(xùn)練的自信，還真的難以達(dá)成一種堅(jiān)守。

當(dāng)然，對(duì)于兩位數(shù)乘兩位數(shù)的計(jì)算教學(xué)，特別是兩位數(shù)乘兩位數(shù)（進(jìn)位乘）問題，在解決了算理、算法的前提下，如何提高計(jì)算的正確率和速度等問題還有待我們繼續(xù)進(jìn)行研究。

（執(zhí)筆：胡力、王進(jìn)、黃超、龔海彬、徐旺、李闖）