吳曉, 劉奇元

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疊層梁層間接觸壓力及彎曲變形分析

吳曉, 劉奇元

(湖南文理學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院, 湖南常德, 415000)

有關(guān)文獻(xiàn)研究疊層梁彎曲變形時(shí)指出, 在不考慮剪切變形影響的條件下, 采用共同曲率假設(shè)求出的疊層梁層間接觸壓力, 僅存在于外載荷作用處的梁段, 且只有考慮剪切變形的影響時(shí)才能改變?；谏鲜銮樾? 采用材料力學(xué)方法研究了疊層梁層間接觸壓力及彎曲變形問(wèn)題, 推導(dǎo)出了層間接觸壓力公式及撓曲線表達(dá)式。結(jié)果表明: 疊層梁彎曲變形是非線性問(wèn)題, 僅有共同的曲率中心, 不存在共同曲率; 由于疊層梁有共同的曲率中心, 若不考慮剪切變形影響, 則在外力作用下, 疊層梁變形時(shí)所有梁段層間都存在接觸壓力。

疊層梁; 接觸壓力; 彎曲; 曲率中心; 撓曲線

羅建輝等[1]考慮剪切變形影響研究了疊層梁層間接觸問(wèn)題, 在“共同曲率”假設(shè)下, 推導(dǎo)出了疊層梁層間接觸力公式。羅開(kāi)彬[2]中指出: “對(duì)于疊層梁層間接觸壓力, 按通常材料力學(xué)方法難以進(jìn)行正確分析, 原因是疊層梁在集中載荷作用下, 除了載荷作用點(diǎn)下方存在集中壓力外, 其余接觸梁段上就不應(yīng)該存在壓力, 這是忽略剪力影響必然結(jié)果; 若考慮剪切變形, 情況將有所不同”。因此, 文獻(xiàn)[2]在考慮剪切變形基礎(chǔ)上, 采用能量法研究了疊層梁層間接觸壓力問(wèn)題。陳杰[3]假設(shè)壓縮變形與接觸壓力成正比, 研究了疊層梁層間接觸壓力問(wèn)題。文獻(xiàn)[1–3]都認(rèn)為研究疊層梁層間接觸壓力問(wèn)題, 必須考慮剪切變形的影響, 文獻(xiàn)[4]也持相同觀點(diǎn)。材料力學(xué)教材[5]已出現(xiàn)關(guān)于疊層梁的彎曲應(yīng)力計(jì)算, 文獻(xiàn)[6]已經(jīng)把疊層梁作為材料力學(xué)綜合性研究型實(shí)驗(yàn)。眾所周知, 當(dāng)梁的長(zhǎng)高比/> 10時(shí), 可以忽略剪切變形對(duì)梁彎曲變形的影響。那么, 當(dāng)疊層梁長(zhǎng)高比/< 10時(shí), 是否可以忽略剪切變形對(duì)梁彎曲變形的影響呢？筆者認(rèn)為對(duì)于疊層梁層間接觸壓力, 按通常材料力學(xué)方法可以進(jìn)行正確分析, 但不能采用“共同曲率”假設(shè)。因?yàn)? 疊層梁彎曲變形時(shí), 僅有共同的曲率中心, 不存在共同曲率。由于疊層梁有共同的曲率中心, 若不考慮剪切變形影響, 則在外力作用下變形時(shí), 疊層梁所有梁段層間也都存在接觸壓力。因此, 筆者認(rèn)為有必要對(duì)疊層梁的層間壓力及彎曲變形問(wèn)題進(jìn)行深入研究, 以便為疊層梁的工程設(shè)計(jì)提供理論參考依據(jù)。

1 疊層梁截面彎矩表達(dá)式

若按文獻(xiàn)[1–4]都采用“共同曲率”的假設(shè)研究疊層梁的層間接觸壓力, 則按通常材料力學(xué)方法分析即可得到除外載荷作用點(diǎn)外其余接觸梁段不存在集中壓力的結(jié)論。眾所周知, 圖1所示疊層梁在外載荷作用下彎曲變形, 上下層梁只有共同的曲率中心, 而無(wú)共同曲率。

圖1 疊層梁示意圖

假設(shè)圖1所示疊層梁截面彎矩()是外載荷作用在梁上產(chǎn)生的, 那么應(yīng)有下式成立。

式(1)中:1()為上層梁截面彎矩;2()為下層梁截面彎矩。

由于疊層梁在外載荷作用下彎曲變形時(shí), 僅有共同的曲率中心而無(wú)共同的曲率, 因此下式成立。

利用式(1)、式(4)可以求得上下層梁截面彎矩分別為:

由式(5)可以看出1()與2()不成比例關(guān)系, 而文獻(xiàn)[1–3]按“共同曲率”假設(shè)求出的1()與2()成比例關(guān)系。

2 撓曲線及層間接觸壓力

以圖2所示集中載荷作用下簡(jiǎn)支疊層梁為例, 研究疊層梁層間接觸壓力。由材料力學(xué)可知疊層梁上下層梁在分布載荷作用下的彎曲微分方程分別為:

式(6)中:1()和2()分別為上下層梁彎曲撓度;()為疊層梁層間接觸壓力。如果上下層梁的彎曲撓度曲線表達(dá)式確定, 那么由式(6)即可求得疊層梁的層間接觸壓力。

圖2 簡(jiǎn)支疊層梁

由材料力學(xué)知識(shí)可知, 疊層梁下層梁在彎矩2()作用下的彎曲微分方程為

由于集中載荷作用在梁中點(diǎn)處, 因此僅研究梁左半部分。由圖2可知疊層梁截面彎矩為

把式(8)代入式(7), 積分1次可得轉(zhuǎn)角方程為

對(duì)式(9)積分1次可得撓曲線表達(dá)式為

式(10)中,1、2均為常數(shù), 可由邊界條件確定。

把式(10)代入式(6)第2分式可得層間接觸壓力為

式(11)僅為圖2所示簡(jiǎn)支梁在0 ≤≤/2時(shí)梁段的層間接觸壓力。

對(duì)于圖3所示均布載荷作用下的疊層梁, 由材料力學(xué)可知疊層梁上下層梁在分布載荷作用下的彎曲微分方程分別為:

由于圖3的疊層梁撓曲線表達(dá)式非常復(fù)雜繁瑣, 在此僅給出層間接觸壓力表達(dá)式。由圖3可知疊層梁截面彎矩為

圖3 均布載荷作用懸臂梁

疊層梁下層梁在彎矩2()作用下的彎曲微分方程為

將式(14)對(duì)求二次導(dǎo)數(shù)后, 代入式(12)第2分式可得層間接觸壓力為

3 討論

下面主要討論疊層梁層間接觸壓力。疊層梁的計(jì)算參數(shù):= 24 mm,1=2= 24 mm,= 410 mm,1=2= 210 GPa。疊層梁層間彎矩及接觸壓力的計(jì)算結(jié)果如表1及圖4、圖5所示。

由表1可知, 盡管圖2所示疊層梁上下層梁同材、等寬、等高, 在集中載荷= 2 005 kN作用下, 疊層梁上下層梁截面彎矩并不相等, 且相差較大。采用“共同曲率”假設(shè)會(huì)導(dǎo)致圖2所示疊層梁上下層梁同材、等寬、等高時(shí), 疊層梁上下層梁截面彎矩相等。而疊層梁彎曲變形時(shí), 僅有共同的曲率中心, 不存在共同曲率。

表1 本文計(jì)算各截面彎矩 /(Nm) x/mm上梁下梁彎矩和 35134182316 90460352812 110701292993 1258522761 128 1451 0452641 309 1551 1392601 399 1751 3262531 579 1951 5112491 760 2051 6032471 850

圖4為圖2所示集中載荷作用下簡(jiǎn)支疊層梁在0 ≤

圖5為圖3所示均布載荷作用下懸臂疊層梁的層間接觸壓力變化曲線。由圖5可以看出, 本文方法計(jì)算的均布載荷作用下懸臂疊層梁的層間接觸壓力曲線變化趨勢(shì)與文獻(xiàn)[2]中圖8的層間接觸壓力曲線變化趨勢(shì)是一致的, 疊層梁上下層梁之間處于完全接觸狀態(tài)。

圖4 簡(jiǎn)支梁層間接觸壓力(P = 2 005 kN)

圖5 均布載荷時(shí)懸臂梁的層間接觸壓力(q = 48 kN/m)

本文令圖2、圖3所示疊層梁上下層梁同材、等寬、等高時(shí), 得到的圖4、圖5疊層梁的層間接觸壓力變化曲線, 與文獻(xiàn)[2]考慮剪切變形時(shí)得到的圖8、圖10的層間接觸壓力曲線變化趨勢(shì)是一致的。而文獻(xiàn)[2]考慮剪切變形時(shí)得到的層間接觸壓力曲線的變化趨勢(shì)卻與文獻(xiàn)[2]的相差甚遠(yuǎn)。

由以上分析可知, 有關(guān)文獻(xiàn)認(rèn)為考慮剪切變形是理解疊層梁層間接觸梁段上不存在層間接觸壓力的關(guān)鍵, 此觀點(diǎn)不準(zhǔn)確。但是, 考慮剪切變形時(shí), 可以提高計(jì)算精度。由于疊層梁彎曲變形時(shí), 僅有共同的曲率中心, 不存在共同曲率。因此, 研究疊層梁的層間接觸壓力及彎曲變形時(shí), 利用其共同的曲率中心, 按通常材料力學(xué)方法可以進(jìn)行正確分析。

4 結(jié)論

(1) 盡管疊層梁上下層梁同材、等寬、等高, 但在集中載荷作用下, 疊層梁上下層梁截面彎矩也并不相等且相差較大。

(2) 有關(guān)文獻(xiàn)認(rèn)為考慮剪切變形是理解疊層梁層間接觸梁段上不存在層間接觸壓力的關(guān)鍵, 此觀點(diǎn)不準(zhǔn)確。即使疊層梁上下層梁同材、等寬、等高, 研究疊層梁的層間接觸壓力及彎曲變形時(shí), 利用其共同的曲率中心, 用材料力學(xué)方法是完全可以進(jìn)行正確分析的。

(3) 研究疊層梁的層間接觸壓力及彎曲變形時(shí), 采用“共同曲率”假設(shè)是不合理的。因?yàn)? 疊層梁彎曲變形時(shí), 僅有共同的曲率中心, 不存在共同曲率。

[1] 羅建輝, 鐘正華, 韓軍營(yíng). 考慮剪切變形影響的疊層梁層間接觸應(yīng)力研究[J]. 力學(xué)與實(shí)踐, 1991, 13(5): 23–26.

[2] 羅開(kāi)彬. 考慮剪切變形時(shí)疊層梁層間接觸壓力分析[J]. 力學(xué)與實(shí)踐, 1987, 9(2): 34–38.

[3] 陳杰. 考慮層間接觸變形時(shí)疊層梁層間接觸壓力分析[J]. 力學(xué)與實(shí)踐, 2010, 23(4): 45–46.

[4] 胡海昌. 彈性力學(xué)的變分原理及其應(yīng)用[M]. 北京: 科學(xué)出版社, 1981: 151–156.

[5] 張大倫, 李宗榕. 材料力學(xué)(上冊(cè))[M]. 上海: 同濟(jì)大學(xué)出版社, 1987: 295, 380.

[6] 趙志崗. 工程力學(xué)實(shí)驗(yàn)[M]. 北京: 機(jī)械工業(yè)出版社, 2008: 160.

(責(zé)任編校: 江河)

Analysis on layer contact pressure and bending deformation in the laminated beam

Wu Xiao, Liu Qiyuan

(College of Mechanical Engineering, Hunan University of Arts and Science, Changde 415000, China)

In the related literature about bending deformation of laminated beam, when the common curvature assumption is used to calculate layer contact pressure of the laminated beam without considering the shear deformation, only the beam segment under the outer loads bears contact pressure and the remaining beam segments have no contact pressure, and this situation will not change unless considering shear deformation. For these reasons, the layer contact pressure and bending deformation in the laminated beam are researched by using the materials mechanics method, and the expressions of the layer contact pressure and deflection curve in the laminated beam are deduced. The results show that the bending deformation in the laminated beam is nonlinear which have the common curvature center but no common curvature. Because the laminated beam has a common curvature center, and without considering the shear deformation, all beam segments in the laminated beam bear contact pressure when the deformation of beam occurs under external force.

laminated beams; contact pressure; bending; curvature center; deflection curve

10.3969/j.issn.1672–6146.2017.01.017

O 341

A

1672–6146(2017)01–0074–04

吳曉, wx2005220@163.com。

2016–09–25

湖南省“十二五”重點(diǎn)建設(shè)學(xué)科資助項(xiàng)目(湘教發(fā)2011[76])。