楊 靜，李韶峰，張利紅，朱新穎，王韓奎

(周口師范學(xué)院 物理與電信工程學(xué)院， 河南 周口 466000)

光學(xué)教材中有關(guān)橢圓偏振光知識的分析與解讀

楊 靜，李韶峰，張利紅，朱新穎，王韓奎

(周口師范學(xué)院 物理與電信工程學(xué)院， 河南 周口 466000)

常見的本科光學(xué)教材中，在平面簡諧電磁波的波函數(shù)形式、橢圓偏振光的旋向與兩子波的相位差之間的關(guān)系、橢圓偏振光的瓊斯矢量表達式等知識點上，所給出的推導(dǎo)過程和結(jié)論不盡相同，甚至互相矛盾，令學(xué)生迷惑、誤解. 結(jié)合筆者的教學(xué)經(jīng)驗，對以上問題進行了對比分析，對各知識點進行了深入梳理，經(jīng)推導(dǎo)和證明，給出了明確的結(jié)論.

波函數(shù)；橢圓偏振光；旋向；瓊斯矢量

The analysis and interpretation of the knowledge about elliptically polarized light in optics textbooks. Journal of Zhejiang University(Science Edition), 2017,44(1):053-056

振動方向相對于傳播方向的不對稱性叫作偏振. 光波是電磁波，光波中的電振動矢量E和磁振動矢量H都與傳播速度v垂直，因此，具有偏振性的光稱為偏振光. 偏振光學(xué)是光學(xué)領(lǐng)域中一個重要的分支，偏振光在光學(xué)顯示和光學(xué)測試中有著不可替代的作用.

在高等院校本科教學(xué)中，光學(xué)與工程光學(xué)是物理、光電子等理工科相關(guān)專業(yè)的必修課程.教材版本較多，常見的有玻恩等[1]的《光學(xué)原理》、葉玉堂等[2]的《光學(xué)教程》、趙凱華[3]的《光學(xué)》，郁道銀等[4]的《工程光學(xué)》、姚啟鈞[5]的《光學(xué)教程》等.以上教材對光的偏振知識的介紹各有側(cè)重點，但在平面簡諧電磁波的波函數(shù)、橢圓偏振光的旋向判斷以及偏振光的瓊斯矢量表示等知識點的推導(dǎo)過程及表達形式上略有不同，有的甚至相互矛盾，導(dǎo)致學(xué)生迷惑不解.為此，筆者擬對上述教材中橢圓偏振光相關(guān)知識存在的差異和矛盾進行對比分析，討論并厘清其中存在的問題.

1 平面簡諧電磁波的波函數(shù)表達

由麥克斯韋方程組可以解得電場強度E有多種

形式的解，以最簡單的平面電磁波為例，假設(shè)平面波沿直角坐標系的z方向傳播，其波動方程為[1]：

(1)

其中，v為電磁波的傳播速度. 在均勻介質(zhì)中，如果沒有電流和電荷，其解有2種表達形式：

(2a)

(2b)

對頻率為ω的平面簡諧電磁波，波動方程的解可寫為：

(3)

(4)

(5)

(6)兩式中指數(shù)上的正負號代表2種不同的選擇，選擇任何一種均可，其運算完全等效.文獻[2-3]采用式(5)，指數(shù)取負號；文獻[4-5]采用式(6)，指數(shù)取正號.

綜上，平面簡諧電磁波的波函數(shù)計算，各版本選擇一致，形式上都可轉(zhuǎn)化為：

(7)

2 橢圓偏振光的旋向問題

2.1 左右旋偏振光中存在的左右手關(guān)系問題

當(dāng)兩列頻率相同、傳播方向相同、振動方向互相垂直的單色波疊加時，根據(jù)兩列光波相位差、振幅的關(guān)系，合成光可以是線偏振光、圓偏振光和橢圓偏振光. 關(guān)于(橢)圓偏振光的旋向規(guī)定，4種教材都遵循傳統(tǒng)習(xí)慣，即迎著光傳播方向看，兩列光合矢量箭頭的末端若是順時針旋轉(zhuǎn)，則為右旋偏振光. 若以光的傳播方向為大拇指方向，四指指向合矢量的旋轉(zhuǎn)方向，此時旋向與傳播方向成左手螺旋關(guān)系；反之為左旋偏振光，旋向與傳播方向成右手螺旋關(guān)系[1-2,4-5].

提到左右手關(guān)系的，只有姚啟鈞的《光學(xué)教程》. 文中指出：在光的傳播方向z上，各點電矢量的相位隨z的增加而逐點落后，因此同一時刻沿z方向場中各點電矢量的相對取向與傳播方向之間，在右旋橢圓偏振光中，正好構(gòu)成右手螺旋[5]. 學(xué)生往往覺得這與前述矛盾，認為此處“右旋構(gòu)成右手螺旋”的描述錯誤. 但需要注意的是，教材中有明確的前提，即某一時刻，各點電矢量的相對取向與傳播方向成右手螺旋關(guān)系(因相位落后). 而前面提到的右旋偏振光中存在的左手關(guān)系，指的是在不同時刻，隨著光的傳播，合矢量箭頭末端旋轉(zhuǎn)出一條軌跡，其旋轉(zhuǎn)方向與傳播方向成左手螺旋關(guān)系. 所以《光學(xué)教程》中的描述是正確的.

2.2 通過相位差判斷左右旋偏振問題

通過2列子波的相位差Δφ判斷旋向時，一般教材的結(jié)論為(即使有的教材沒有明確說明，從配圖也能看出此結(jié)論)：當(dāng)sinΔφ>0時，為右旋偏振光；當(dāng)sinΔφ<0時，為左旋偏振光. 而《工程光學(xué)》給出的結(jié)論以及配圖卻與此相反. 下面通過簡單的證明，說明橢圓偏振光的旋向與相位差的關(guān)系. 振動方向垂直的2子波的波函數(shù)可以寫為：

Ex=a1cos(kz1-ωt)=a1cos φ1，

Ey=a2cos(kz2-ωt)=a2cos(φ1+Δφ).

(8)

通常合成方程為

(9)

式(9)描述的是一個橢圓方程，且Ex∈[-a1,a1],Ey∈[-a2,a2]. 下面通過簡單的證明，尋找旋向與相位差正弦值之間的關(guān)系.

隨著相位的增加，光向z軸正方向傳播，自A點轉(zhuǎn)向B點，存在2條路徑c和d(圖中只標明路徑的大致方向，實際上A和B點應(yīng)該是橢圓上的2個點). 而當(dāng)φ1∈[0,π/2]時，Ex∈[1,0]，即Ex始終大于0.為符合這一要求，實際路徑只能選擇順時針旋轉(zhuǎn)的路徑d，則為右旋偏振光.

圖1 Δφ=π/3時的旋轉(zhuǎn)路徑Fig.1 The rotation path of elliptical polarizedlight when Δφ=π/3

圖2 Δφ=4π/3時的旋轉(zhuǎn)路徑Fig.2 The rotation path of elliptical polarizedlight when Δφ=4π/3

相位差Δφ為其他值時同理可證.

整理可得：當(dāng)sin Δφ>0時，為右旋偏振光；當(dāng)sin Δφ<0時，為左旋偏振光.

3 橢圓偏振光的瓊斯矢量表示

3.1 橢圓偏振光的瓊斯矢量

光的偏振態(tài)可以用瓊斯矢量表示. 按第1節(jié)中的推導(dǎo)和總結(jié)，光在與傳播方向(z方向)垂直的xoy平面上的x和y方向上的分量為：

Ex=a1e-i(ωt-kz+φ0x)=a1e-iφx，

(10a)

Ey=a2e-i(ωt-kz+φ0y)=a2e-iφy.

(10b)

用偏振光矢量2個分量構(gòu)成的一列矩陣表示光的偏振態(tài)，稱為瓊斯矢量，記作

(11)

其中，a=a2/a1，Δφ=φy-φx.

以長軸沿x軸，長短軸之比為2:1的右旋偏振光為例，Δφ=φy-φx=π/2歸一化的瓊斯矢量為

(12)

3.2 各教材瓊斯矢量形式的對比分析

各教材中，橢圓偏振光瓊斯矢量的最終形式是一致的. 以圓偏振光為例，左、右旋圓偏振光的瓊斯矢量分別為：

(13)

各版本在推導(dǎo)中，給出的說明均不夠清晰，有的甚至前后矛盾. 以姚啟鈞的《光學(xué)教程》為例，與式(11)對應(yīng)的表達式為[5]：

(14)

矩陣第2行為aeiΔφ，Δφ仍是(φy-φx)，與本文式(11)的指數(shù)部分差一個負號. 但式(14)左右并不相等. 通過簡單指數(shù)運算發(fā)現(xiàn)，式(11)才是正確的. 而且《光學(xué)教程》[5]中對右旋圓偏振光的瓊斯矢量是這樣描述的：

(15)

4 總 結(jié)

鑒于各版本光學(xué)教材對于光的波函數(shù)表達式、橢圓偏振光的旋向判斷、偏振光的瓊斯矢量等知識點的表述存在差異，甚至互相矛盾，為厘清思路，明確結(jié)論，幫助學(xué)生掃清學(xué)習(xí)障礙，對以上3個知識點進行了較透徹的分析. 通過從頭推導(dǎo)平面簡諧電磁波的波函數(shù)，給出了幾種表達形式，認為各版本雖然形式不盡相同，但運算結(jié)論是一致的；通過證明橢圓偏振光旋向與兩子波相位差的關(guān)系，得到當(dāng)sinΔφ>0時，為右旋偏振光；當(dāng)sinΔφ<0時，為左旋偏振光的結(jié)論；通過細致的推導(dǎo)，給出了偏振光瓊斯矢量的正確表達式，同時指出，文獻[5]對偏振光的瓊斯矢量描述存在前后不一致的問題.

本文有助于學(xué)生厘清思路，掃清學(xué)習(xí)障礙，更好地學(xué)習(xí)掌握橢圓偏振光這一知識點，也可為相關(guān)老師提供教學(xué)案例和參考.

[1] 玻恩M，沃耳夫E.光學(xué)原理(上冊)[M].北京:北京大學(xué)出版社,1985:29-52. BORN M, WOLF E. Principles of Optics (Vol one)[M]. Beijing：Beijing University Press,1985:29-52.

[2] 葉玉堂，肖峻，饒建珍，等.光學(xué)教程[M].北京:清華大學(xué)出版社,2011:117-132，299-303. YE Y T, XIAO J, RAO J Z，et al. Optics Tutorial[M]. Beijing：Tinghua University Press,2011:117-132，299-303.

[3] 趙凱華，鐘錫華.光學(xué)[M].北京:北京大學(xué)出版社,1984:140-147，187-199. ZHAO K H, ZHONG X H. The Optics[M]. Beijing：Beijing University Press,1984:140-147,187-199.

[4] 郁道銀，談恒英.工程光學(xué)[M].北京:機械工業(yè)出版社,2013:291-295,327-329,494-495. YU D Y, TAN H Y. Engineering Optics[M]. Beijing：China Machine Press, 2013:291-295,327-329,494-495.

[5] 姚啟鈞.光學(xué)教程[M].北京:高等教育出版社,2002:19-78,336-365. YAO Q J. Optics Tutorial[M]. Beijing：Higher Education Press,2002:19-78,336-365.

YANG Jing, LI Shaofeng, ZHANG Lihong, ZHU Xinying, WANG Hankui

(ThePhysicsandTelecommunicationEngineeringCollege,ZhoukouNormalUniversity,Zhoukou466000,HenanProvince,China)

In the widely used optics textbooks for undergraduate students, the following conclusions and their derivation process are inconsistent, and even contradictory: (1)The wave function expression of the planar harmonic electromagnetic wave; (2)The relationship between the rotation direction of elliptically polarized light and the phase difference of two sub-waves; (3)The derivation and form of Jones vector of elliptically polarized light. These inconsistencies often make students confusing. Based on years of teaching experience in optics, we conduct a comparative analysis for these inconsistencies by proof and derivation, and draw clear conclusions for each of the above knowledge.

wave function; elliptically polarized light; rotation direction; Jones vector

2016-06-08.

國家自然科學(xué)基金資助項目(11547227);河南省教育廳教師教育課程改革研究項目(2016-JSJYYB-096);周口師范學(xué)院高層次人才科研啟動項目(ZKNU2014121).

楊 靜(1986-)，ORCID:http://orcid.org/0000-0002-2823-949X，女，博士，講師，主要從事氣體激光物理研究，E-mail:yangjing0410@zju.edu.cn.

10.3785/j.issn.1008-9497.2017.01.008

O 436.3

A

1008-9497(2017)01-053-04