孫文兵,劉 瓊

(邵陽學(xué)院 理學(xué)與信息科學(xué)系, 湖南 邵陽 422000)

分形集上廣義凸函數(shù)的新Hermite-Hadamard型不等式及其應(yīng)用

孫文兵,劉 瓊

(邵陽學(xué)院 理學(xué)與信息科學(xué)系, 湖南 邵陽 422000)

基于局部分?jǐn)?shù)階微積分理論,利用分形集上廣義凸函數(shù)的定義，對Hermite-Hadamard型不等式進(jìn)行一些有意義的推廣,得到了幾個分形集Rα(0<α≤1)上涉及局部分?jǐn)?shù)積分的新Hadamard型不等式. 最后, 給出了其在特殊均值和數(shù)值積分中的幾個應(yīng)用.

Hadamard型不等式; 廣義凸函數(shù); 局部分?jǐn)?shù)積分; 局部分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù); 分形空間

New inequalities of Hermite-Hadamard type for generalized convex functions on fractal sets and its applications. Journal of Zhejiang University(Science Edition), 2017,44(1):047-052

函數(shù)凸性是數(shù)學(xué)分析中的一個重要定義,很多重要的數(shù)學(xué)不等式是建立在函數(shù)凸性定義之上的，比如著名的Hermite-Hadamard不等式.

設(shè)f:I?R→R是一個凸函數(shù),若a,b∈I且a

(1)

這就是著名的Hermite-Hadamard不等式.隨著凸性定義的推廣,Hermite-Hadamard不等式也受到國內(nèi)外越來越多學(xué)者的關(guān)注[1-6].

由于分形理論的出現(xiàn)，物理和工程等領(lǐng)域的許多問題方得以合理處理和解決.近年來，隨著分形理論在科學(xué)工程領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用，數(shù)學(xué)作為重要的研究工具發(fā)展迅速.一些學(xué)者通過不同的方法構(gòu)建了分形空間上的微積分理論[7-10].文獻(xiàn)[9]系統(tǒng)闡述了建立在分形空間上的局部分?jǐn)?shù)階微積分的相關(guān)理論.文獻(xiàn)[11]提出了關(guān)于分形集上廣義凸函數(shù)的定義，研究了廣義凸函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，并證明了分形集上的廣義Hermite-Hadamard不等式:

(2)

受文獻(xiàn)[7-11]的啟發(fā)，本文基于文獻(xiàn)[9]構(gòu)建的局部分?jǐn)?shù)階微積分理論，引入文獻(xiàn)[11]關(guān)于分形集上廣義凸函數(shù)的定義，對Hermite- Hadamard型不等式進(jìn)行一些有意義的推廣，證明Hermite-Hadamard型不等式在分形空間中的幾個變式，最后提出這些不等式在求特殊均值以及求局部分?jǐn)?shù)階積分上的應(yīng)用.

1 預(yù)備知識

設(shè)Rα為分形空間上的實數(shù)集，利用GAO-YANG- KANG的方法給出局部分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)和局部分?jǐn)?shù)階積分的定義,參見文獻(xiàn)[9-10].

若aα,bα,cα∈Rα(0<α≤1)，則

(1)aα+bα∈Rα, aαbα∈Rα，

(2)aα+bα=bα+aα=(a+b)α=(b+a)α，

(3)aα+(bα+cα)=(a+b)α+cα，

(4)aαbα=bαaα=(ab)α=(ba)α，

(5)aα(bαcα)=(aαbα)cα，

(6)aα(bα+cα)=aαbα+aαcα，

(7)aα+0α=0α+aα=aα，

且aα1α=1αaα=aα.

下面給出分形集Rα上局部分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)和局部分?jǐn)?shù)階積分的定義.

定義1[9]設(shè)f:R→Rα,x→f(x)是一個不可微函數(shù),如果對于任意的ε>0,總存在δ>0,其中ε,δ∈R,使得當(dāng)|x-x0|<δ時有

|f(x)-f(x0)|<εα，則稱不可微函數(shù)f在x0處局部分?jǐn)?shù)階連續(xù).f(x)在區(qū)間(a,b)上局部分?jǐn)?shù)階連續(xù)，記為f(x)∈Cα(a,b).

定義2[9]若

定義3[9]設(shè)

則稱之為f(x)的α階局部分?jǐn)?shù)階積分.

定義4[11]設(shè)f:I?R→Rα，對任意x1,x2∈I且λ∈[0,1]，如果以下不等式成立：

f(λx1+(1-λ)x2)≤λαf(x1)+(1-λ)αf(x2)，

則稱f為定義在I上的廣義凸函數(shù).

引理1[9](1)設(shè)f(x)=g(α)(x)∈Cα[a,b],則

(2)設(shè)f(x),g(x)∈Dα[a,b],且f(α)(x),g(α)(x)∈Cα[a,b]，則

2 主要結(jié)果和證明

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

將式(4)(5)(6)(7)相加，并由第1節(jié)中分形空間Rα上的運算性質(zhì)第(2)條，可知結(jié)論成立.

利用引理4，可以得到以下結(jié)論:

(8)

(9)

由引理2，可知

(10)

(11)

(12)

(13)

并且

(14)

定理得證.

(15)

由定理1的式(8)可得結(jié)論成立.

推論2 在推論1的結(jié)論中取x=a，可得

(16)

(17)

(18)

同理可得

(19)

(20)

(21)

根據(jù)定理1的證明，將式(10)和式(18)～(21)代入式(9)，可得不等式(17)，定理得證.

3 應(yīng)用舉例

3.1 在特殊均值中的應(yīng)用

考慮如下廣義均值:

n∈Z{-1,0},a,b∈R,a≠b.

(22)

證明 在推論2中，取

f(x)=xnα,x∈R,n∈Z,n≥2，則

結(jié)論得證.

3.2 在求積分中的應(yīng)用

下面考慮前面涉及局部分?jǐn)?shù)積分的不等式在局部分?jǐn)?shù)積分的求積方法中的應(yīng)用.

考慮區(qū)間[a,b](0

(23)

定義逼近積分的梯形公式

命題2 設(shè)I?R是一個區(qū)間，f:Io?R→Rα(Io是I的內(nèi)部)使得f∈Dα(Io)且f(α)∈Cα[a,b]，其中a,b∈Io,a

(24)

證明 由推論2，在分劃In的每一個子區(qū)間[xi,xi+1](i=0,1,…,n-1)上，有

對i從0到n-1對上式兩邊求和，由三角不等式得

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SUN Wenbing, LIU Qiong

(DepartmentofScienceandInformationScience,ShaoyangUniversity,Shaoyang422000,HunanProvince,China)

On the basis of local fractional calculus theory, inequalities of Hermite-Hadamard type are extended following the definition of generalized convex function on fractal sets. Some new Hadamard-type inequalities involving local fractional integrals on fractal setsRα(0<α≤1) are established. Finally, some applications of the new inequalities in special means and numerical integration are provided.

Hadamard-type inequalities; generalized convex function; local fractional integral; local fractional derivative; fractal space

2016-03-22.

邵陽市科技計劃項目(2015NC43);湖南省自然科學(xué)基金資助項目(12JJ3008).

孫文兵(1978-)，ORCID:http://orcid.org/0000-0002-5673-4519,男，碩士，講師，主要從事解析不等式、智能算法研究，E-mail:swb0520@163.com.

10.3785/j.issn.1008-9497.2017.01.007

O 178

A

1008-9497(2017)01-047-06