胡 琳
(河北省石家莊市第一中學(xué) 050000)
三角變換的實(shí)質(zhì)為“依據(jù)目標(biāo)意識(shí),挖掘題設(shè)條件,尋求差異,整體思維選用三角公式變名,變角,變結(jié)構(gòu)”完成求值,化簡(jiǎn),證明等問題.其中“目標(biāo)意識(shí),整體思維,湊角入手,消除差異,合理選用公式”起著決定性的作用.
簡(jiǎn)析尋求角的差異如何溝通?目標(biāo)意識(shí)求cos2α,sin2α,變名入手溝通角之間的關(guān)系,
簡(jiǎn)析整體思維,注意結(jié)構(gòu)特征為分式,改變結(jié)構(gòu)其目標(biāo)為約項(xiàng)求值.可用平方差公式,輔助角二倍角公式逆用約項(xiàng).
例3 已知 1+cosα-sinβ+sinαsinβ,1-cosα-cosβ+sinαcosβ=0,求sinα.
例4 已知F(θ)=cos2θ+ccos2(θ+α)+cos2(θ+β),問是否存在滿足0≤α≤β≤π的α,β使得F(θ)的值不隨θ的變化而變化?如果存在,求出θ的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.
簡(jiǎn)析條件的探索及常函數(shù)的認(rèn)識(shí),分離參數(shù)構(gòu)建方程組求解.要使得F(θ)的值不隨θ的變化而變化,需使得θ的系數(shù)為0,故需把θ與α,β分離,轉(zhuǎn)化為cosθ或sinθ的多項(xiàng)式,需要目標(biāo)意識(shí),整體思維降次應(yīng)用公式.
由常函數(shù)的意義,構(gòu)建方程組有 1+cos2α+cos2β=0,sin2α+sin2β=0.三角變換目標(biāo)意識(shí)“平方消參降元”求得.即使F(θ)的值不隨θ的變化而變化的α=π/3,β=2π/3存在.
例5 求函數(shù)y=sinxcosx+sinx+cosx的最大值.
注:試回味最值求解中函數(shù)關(guān)系是如何建立的?體驗(yàn)三角綜合問題中的“目標(biāo)意識(shí)、整體思維”的指導(dǎo)作用.
例6 求(1+tan1°)(1+tan2°)(1+tan3°)…(1+tan44°)(1+tan45°)的值.
于是,整體變形有,
原式=
[(1+tan1°)(1+tan44°)][(1+tan2°)(1+tan43°)]…
[(1+tan22°)(1+tan23°)](1+tan45°)=2·2·…·2=223.
簡(jiǎn)析通法為降次化積“消項(xiàng)”求值.若注重平方關(guān)系和倍角公式,構(gòu)造對(duì)偶式解方程組求解“具有操作性”.
簡(jiǎn)析角成等比數(shù)列的余弦之積,整體把握二倍角公式,乘以最小角的正弦,二倍角公式連鎖反應(yīng),“約項(xiàng)”求值.
[1]白鵬恩.三角變換的基本方法[J].山西教育·高考理科,2005(10).