姜衛(wèi)東

(江蘇省揚州中學 225009)

“平面”是貫穿歐氏幾何始終的一個核心概念，它是立體幾何公理化體系的基石，立體幾何中諸多概念、定理等知識的構建最終都是在“平面”內(nèi)來完成的；在處理立體幾何問題時，我們經(jīng)常將問題轉(zhuǎn)移或歸結到同一平面內(nèi)來進行解決，這種“平面化”的思想方法，也是解決空間問題的核心思想.接下來，筆者擬從知識建構與例題教學這兩個層面，對“平面”在立體幾何中核心作用進行解讀.

一、依托平面，建構知識體系

立體幾何與平面幾何一樣，也是在眾多概念、公理與定理的基礎上，利用公理化體系建立起來的.而這些概念、公理與定理的獲得，都是借助平面化策略、將問題轉(zhuǎn)換到平面內(nèi)，通過同化的手段得以完成的！

案例1.1 空間的三種角(線線角、線面角、面面角)，都是將空間角轉(zhuǎn)換為平面角來定義的.兩條異面直線所成的角，就是通過在空間取一個點，將異面直線進行平移，從而用兩條相交直線所成的角來刻畫兩條異面直線所成的角；直線與平面所成的角也是利用直線與它的射影所成的平面角來定義的；而空間二面角的度量則是轉(zhuǎn)換為它的平面角來度量的.

案例1.2 空間的四種距離(線線距、點面距、線面距、面面距)從定義到具體的計算都體現(xiàn)了空間到平面的轉(zhuǎn)換.例如：求異面直線距離的基本方法有：或轉(zhuǎn)化為求它們公垂線段的長；或轉(zhuǎn)化為求直線到平面的距離；或轉(zhuǎn)化為求兩平行平面間的距離.而這三種方法最終又轉(zhuǎn)化為求平面內(nèi)兩點間的距離.

案例1.3 教材中幾種多面體和旋轉(zhuǎn)體的側面積公式的推導(除球面和球冠外)、側面上最短線路問題也都是通過側面展開圖轉(zhuǎn)化為平面問題；旋轉(zhuǎn)體的問題也多是通過軸截面而轉(zhuǎn)化為平幾問題的.

二、構造平面，優(yōu)化例題教學

處理空間習題，需要靈活運用各種概念與定理，但其中最重要的是要借助平面，將空間中的諸多元素向平面內(nèi)轉(zhuǎn)化.有時這種平面是現(xiàn)成的，我們只需要充分利用它即可；但有時這種平面不是現(xiàn)成的，那么就需要我們進行構造，通過構造輔助平面，才能優(yōu)化問題的解決.同時，構造輔助平面的途徑與方法也正是產(chǎn)生一題多解的本源！

案例2.1 如圖1，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點N在BD上，點M在B1C上，且CM=DN,求證：MN∥平面AA1B1B.

解析要證明MN∥平面AA1B1B.根據(jù)線面平行的判定定理，可通過線線平行來完成(當然利用面面平行也能實現(xiàn)，這里不再贅述).而平面AA1B1B內(nèi)沒有一條現(xiàn)成的直線與直線MN平行，故必須進行構造！如何構造這條直線？應該通過輔助平面來構造！也就是應經(jīng)過直線MN作一個平面，并使得此平面與平面AA1B1B相交，那么交線就是要構造的直線.接下來的問題就是，經(jīng)過MN如何來構造平面呢？根據(jù)公理3及其推論，我們可以利用兩條平行直線或兩條相交直線來確定輔助平面，由此便產(chǎn)生了以下兩種證法.

又ME∥BC∥AD∥NF,∴四邊形MEFN為平行四邊形，∴MN∥EF.又∵MN?平面AA1B1B,EF?平面AA1B1B,∴MN∥平面AA1B1B.

圖3 圖4

解析因題設中出現(xiàn)了面面平行的條件，故應想到要用面面平行的性質(zhì)定理，將面面平行轉(zhuǎn)化為線線平行，轉(zhuǎn)化的關鍵在于必須構造一個平面與平面α,β,γ相交.

那么，又如何構造輔助平面并使得它與平面α,β,γ相交呢？根據(jù)公理3及推論可知，我們可以利用兩條平行直線與兩條相交直線來確定平面，于是就產(chǎn)生了以下兩種解法.

圖5 圖6

證法二如圖6，連結AF,交平面β于R點，連結BR,ER.

∵平面ACF∩β=BR,平面ACF∩γ=CF,

從表面上看，兩種方法不同，但它們的本質(zhì)是一致的，都是構造輔助平面！

案例2.3 如圖7，已知AB是兩異面直線AC,BD的公垂線段，且AC⊥平面α,BD⊥平面β,α∩β=l.求證：AB∥l.

圖7 圖8

解析題中是線面垂直關系，最后要證明的結論是線線平行，所以要將垂直關系轉(zhuǎn)化為平行關系.考慮到線面垂直的性質(zhì)定理，故應通過構造輔助平面實現(xiàn)轉(zhuǎn)化.

如圖8，作BE⊥α于點E.∵AC⊥α,∴BE∥AC.又∵AB⊥AC,∴AB⊥BE.又AB⊥BD,BD∩BE=B,∴AB⊥平面DBE.由BE⊥α,l?α,∴BE⊥l,同理BD⊥l.又BD∩BE=B,∴l(xiāng)⊥平面DBE,∴AB∥l.

需要指出的是，已知條件中涉及垂直關系而求證結論是平行關系時，往往通過構造輔助平面(如本題中的平面DBE)，將垂直關系向平行關系轉(zhuǎn)化.

案例2.4 已知平面α⊥平面β,平面α⊥平面γ,且β∩γ=a,求證：a⊥α.

解析題設中出現(xiàn)了面面垂直的條件，而要證明的是線面垂直，故應借助面面垂直的性質(zhì)定理，將面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直.如何轉(zhuǎn)化？關鍵在于抓住一個平面，在此平面內(nèi)作交線的垂線.這里，可以在平面α內(nèi)，過一點分別作交線的垂線；也可以分別在平面β,γ內(nèi)，作交線的垂線，于是就有了以下兩種解法.

證法一如圖9所示，設α∩β=b,α∩γ=c.在平面α內(nèi)任取一點P，滿足P?b,P?c,過P作PA⊥b于A,PB⊥c于B.∵α⊥β,α∩β=b,PA⊥b,PA?α,∴PA⊥β.又β∩γ=a,∴PA⊥a.同理可證：PB⊥a,又PA∩PB=P,∴a⊥α.

圖9 圖10

證法二如圖10所示，設α∩β=b,α∩γ=c.在平面β內(nèi)作直線m⊥b,在平面γ內(nèi)作直線n⊥c,滿足m,n與a不重合，∵α⊥β,α∩β=b,m⊥b,m?β,∴m⊥α.同理可證：n⊥α,∴m∥n.∵n?γ,m?γ,∴m∥γ,又m?β,β∩γ=a,∴m∥a,∴a⊥α.

圖11

案例2.5 如圖11，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=a,BC=b,BB1=c,并且a>c>b>0,求沿著長方體的表面自A到C1的最短路線長.

解析本題的關鍵在于先將長方體表面展開在一個平面內(nèi)，利用在平面內(nèi)兩點間的線段長是兩點間的最短距離來解答.

將長方體相鄰兩個面展開有下列三種可能，如圖11-1、11-2、11-3所示，圖11-1、11-2、11-3中的AC1的長分別為：

圖11-1 圖11-2 圖11-3

在解決有關最短路線問題時，通過將側面或表面展開在一個平面內(nèi)，從而將空間問題平面化，往往會簡化運算，顯得直觀，可操作性強.

因此，在解決空間問題時，要緊緊抓住“平面”這個工具，善于將空間問題“平面化”.實際上，這種轉(zhuǎn)換的策略與方法就是降維思想的具體體現(xiàn)，即將三維空間的問題降到二維平面上來處理，可以說空間問題一“面”牽！

[1]李善良.《普通高中課程標準實驗教科書·數(shù)學》的體例與特點(續(xù))[J].中學數(shù)學月刊,2005(02).