李會(huì)會(huì) 劉希強(qiáng)

(聊城大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,山東 聊城 252059)

0 引言

科學(xué)技術(shù)的迅速發(fā)展, 使得人們對(duì)自然現(xiàn)象的了解不斷地深入. 許多學(xué)者在自然科學(xué)與工程技術(shù)等許多領(lǐng)域提出了大量具有重要意義的非線性數(shù)學(xué)模型, 用以描述相關(guān)領(lǐng)域的復(fù)雜現(xiàn)象. 由于非線性發(fā)展方程在工程技術(shù)、物理、化學(xué)等領(lǐng)域中應(yīng)用越來(lái)越廣泛, 而非線性發(fā)展方程的精確解在分析各種物理現(xiàn)象中發(fā)揮著非常重要的作用, 因此非線性發(fā)展方程的求解就成為了數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家研究的重要課題之一. 經(jīng)過(guò)眾多學(xué)者多年研究, 已經(jīng)發(fā)展了許多不同的有效的求解方法, 例如反散射法[1], Painlevé截?cái)喾治龇椒╗2], 指數(shù)函數(shù)展開(kāi)法[3,4], 經(jīng)典李群方法[5,6], Jacobi橢圓函數(shù)展開(kāi)法[7,8], 齊次平衡法[9], tanh函數(shù)展開(kāi)法[10,11], Hirota方法[12], (G′/G)展開(kāi)方法[13]等. 利用這些方法, 可以得到非線性發(fā)展方程豐富的精確解, 如孤立波解、周期解、緊致類(lèi)解等. 其中, 經(jīng)典李群方法是研究非線性偏微分方程的有力工具之一. 本文運(yùn)用經(jīng)典李群方法對(duì)下述擴(kuò)展Zakharov-Kuznetsov方程進(jìn)行分析研究

ut+uux+u2ux+uxxx+uxyy=0.

(1)

非線性Zakharov-Kuznetsov (ZK)方程是Korteweg-de-Vries (KdV)方程在二維空間的一種推廣形式. KdV方程是荷蘭科學(xué)家Korteweg及其學(xué)生de Vries于1894年提出的, 該方程是用以描述潛水波單向運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)模型; 繼而Zakharov和Kuznetsov為了描述均勻磁場(chǎng)中由冷離子和熱等溫電子組成的等離子體弱非線性離子聲波, 于1974年提出ZK方程作為相應(yīng)的物理模型. 文獻(xiàn)[14]利用推廣的(w/g)展開(kāi)法, 研究了(2+1)維ZK方程, 得到了單循環(huán)孤立子解、三角函數(shù)解等; 文獻(xiàn)[15]利用改進(jìn)的Riccati方程映射法, 得到了(2+1)維ZK方程的新顯示精確解, 并研究了其特殊孤子結(jié)構(gòu).

本文主要分為以下幾部分: 第1部分, 借助經(jīng)典李群方法求出方程(1)的李點(diǎn)對(duì)稱(chēng)以及群不變解; 第2部分, 通過(guò)解特征方程組, 求出了方程(1)的相似約化方程, 并結(jié)合冪級(jí)數(shù)展開(kāi)法、(G′/G)展開(kāi)法和Riccati輔助函數(shù)法求出一些精確解; 第3部分, 利用得出的對(duì)稱(chēng), 得到了該方程的伴隨方程和守恒律; 最后, 對(duì)本文做出簡(jiǎn)要的總結(jié).

1 擴(kuò)展Zakharov-Kuznetsov方程的對(duì)稱(chēng)和群不變解

考慮一個(gè)單參數(shù)李群的無(wú)窮小變換

x→x+εξ(x,y,t,u),
y→y+εη(x,y,t,u),
t→x+ετ(x,y,t,u),
u→x+εφ(x,y,t,u),

其中ε是無(wú)窮小參數(shù). 上述變換群的單參數(shù)向量場(chǎng)表示為如下形式:

(2)

其中ξ(x,y,t,u),η(x,y,t,u),τ(x,y,t,u),φ(x,y,t,u)是待定的系數(shù)函數(shù).

根據(jù)李群理論, 若向量場(chǎng)(2)是方程(1)的李點(diǎn)對(duì)稱(chēng), 則V必須滿足以下條件

Pr(3)V(Δ)|Δ=0=0,

其中Pr(3)V是V的三階延拓,且其中Δ=ut+uux+u2ux+uxxx+uxyy.

φt+(u+u2)φx+(1+2u)uxφ+uxxx+φxyy=0.

利用李群方法可以得到:

(3)

其中ci(i=1,2,3,4)是任意常數(shù), 由此可得到方程(1)的不變?nèi)旱纳稍獮?/p>

(4)

同時(shí)也能夠得到方程(1)的相似對(duì)稱(chēng)

(5)

根據(jù)李群分析, 方程(1)的所有向量場(chǎng)可以表示為

不變?nèi)旱娜w生成元構(gòu)成一個(gè)四維李代數(shù)

V1V2V3V4V1016V4-V2-13V3-13V4V2-16V4+V2000V313V3000V413V4000

與它們相應(yīng)的單參數(shù)變換群

g1∶(x,y,t,u)→(x,y,t+ε,u);
g1∶(x,y,t,u)→(x,y+ε,t,u);
g1∶(x,y,t,u)→(x+ε,y,t,u).

由上述單參數(shù)不變?nèi)嚎芍? 如果u(x,y,t)是方程(1)的解, 則以下u(1),u(2),u(3),u(4)也是方程(1)的解

u(2)=u(x,y,t-ε);
u(3)=u(x,y-ε,t);
u(4)=u(x-ε,y,t);

其中ε是任意常數(shù).

2 擴(kuò)展Zakharov-Kuznetsov方程的相似約化和精確解

利用方程(1)和σ=0的相容性, 對(duì)方程(1)的進(jìn)行相似約化, 并進(jìn)一步求得該方程的精確解. 為了獲取方程(1)的不變解, 考慮方程(1)對(duì)稱(chēng)所對(duì)應(yīng)的特征方程組

(6)

下面分情況討論

情況1 若c1≠0,c2=c3=c4=0,通過(guò)求解相應(yīng)的特征方程, 可得如下的相似變換

將其代入方程(1)得到相似約化方程

-f+ηfη-ξfξ+3f2fξ+3fξξξ+3fξηη=0.

(7)

首先對(duì)上面方程作行波變換f(ξ,η)=f(ω),ω=kξ+lη,并代入(7)式中得

-f+lηf′-kξf′+3kf2f′+3k3f?+3kl2f?=0.

對(duì)上式進(jìn)行整理

f?+k1f2f′-k2ωf′-k2f=0,

(8)

下面利用冪級(jí)數(shù)展開(kāi)方法求解方程(8). 假設(shè)方程(8)有下述形式的解

(9)

由方程(9), 可以得到

(10)

把方程(10)代入方程(8), 得到

(11)

比較系數(shù), 得到

一般地, 當(dāng)n≥1時(shí), 可以得到

(12)

事實(shí)上, 方程(7)的解為

(13)

即可得到方程(1)的精確解.

情況2 若c1=0,c2≠0,c3≠0,c4≠0,通過(guò)解相應(yīng)的特征方程可得

將其代入到方程(1)得到約化方程

(14)

作行波變換f(ξ,η)=f(ω),ω=kξ+lη,并將其代入(14)式中得

其中k,l是任意非零常數(shù). 對(duì)上式關(guān)于ω積分一次, 且令積分常數(shù)為C得

(15)

為求方程(15)的解, 下面應(yīng)用(G′/G)展開(kāi)方法進(jìn)行求解, 假設(shè)方程(15)有如下形式的解

(16)

其中αn≠0,αn為待定常數(shù), 同時(shí)G=G(ω)滿足G″+λG′+μG=0.

由齊次平衡原理, 可以確定m=1,故方程(15)有如下形式的解

(17)

將(17)式代入(15)式, 同時(shí)結(jié)合G滿足的方程, 合并(G′/G)的各階偏導(dǎo)數(shù)的同次冪項(xiàng)，并令其系數(shù)為零, 可得

(18)

現(xiàn)在將(17)式的解代入(18)可得到方程(1)的三種形式的行波解:

當(dāng)λ2-μ>0時(shí)

其中C1,C2為任意常數(shù).

若C2=0,此時(shí)的u11可以轉(zhuǎn)化為扭結(jié)孤立波解

若C2=0,此時(shí)的u14可以轉(zhuǎn)化為

情況3 若c1=c4=0,c2≠0,c3≠0,通過(guò)解對(duì)應(yīng)的特征方程,得到

將其代入到方程(1), 得到相似約化方程

(19)

利用Riccati輔助方程求解上式. 作行波變換f(ξ,η)=f(ω),ω=kξ+lη,將其代入到方程(19)中, 得到如下變系數(shù)微分方程

(20)

其中k,l是任意常數(shù). 通過(guò)平衡方程(20)中最高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)以及非線性項(xiàng), 可以得到方程(20)應(yīng)該有如下形式的解：

f=q0+q1Ψ(ω)+q-1Ψ-1(ω),

(21)

其中Ψ=Ψ(ω)滿足Riccati輔助方程

Ψ′=h0+h1Ψ+h2Ψ2,

(22)

其中q0,q1,q-1是待定常數(shù),h0,h1,h2是任意常數(shù). 將式(21)、(22)代入式(20), 令Ψ的同次冪項(xiàng)的系數(shù)為零, 可得下面四種情況:

其中A滿足(6k2+6l2)A2+1=0;B滿足B2+6k2+6l2=0.由此可以得到

在這里, 我們以第四組數(shù)據(jù)為例對(duì)方程進(jìn)行求解：

3 擴(kuò)展Zakharov-Kuznetsov方程的守恒律

守恒律在非線性數(shù)學(xué)物理科學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用, 同時(shí)它在分析非線性數(shù)學(xué)物理量的穩(wěn)定性和存在唯一性起著十分重要的作用. 在這一部分, 利用方程(1)以及對(duì)應(yīng)的伴隨方程和對(duì)稱(chēng), 對(duì)方程(1)的守恒律進(jìn)行研究. 方程(1)的共軛方程

vt+uvx+vux+u2vx+2uvux+vxxx+vxyy=0.

(23)

最高階拉氏量為:

L=v(ut+uux+u2ux+uxxx+uxyy).

(24)

定理1 每個(gè)李點(diǎn)對(duì)稱(chēng)、李貝克隆變換和方程(1)的對(duì)稱(chēng)都給出了擴(kuò)展的Zakharov-Kuznetsov方程及其共軛方程的一個(gè)守恒律,且守恒向量由下式給出

由Ibragimov[16]給出的結(jié)論, 方程向量場(chǎng)的通式.

則方程(1)的守恒律將由守恒方程

Dt(C1)+Dx(C2)+Dy(C3)=0

決定, 其中向量場(chǎng)C=(C1,C2,C3)由下面的式子決定

從而

上述守恒向量C=(C1,C2,C3)包含著共軛方程(23)的任意解, 因此以上守恒向量給出了方程(1)的無(wú)窮多個(gè)守恒律.

4 結(jié)論

本文中利用李群方法得到了擴(kuò)展Zakharov-Kuznetsov方程的對(duì)稱(chēng), 并利用對(duì)稱(chēng)得到了該方程的相似約化方程, 將(2+1)維偏微分方程直接約化常微分方程以及(1+1)維偏微分方程. 通過(guò)利用齊次平衡法, 再結(jié)合冪級(jí)數(shù)展開(kāi)法、(G′/G)展開(kāi)法和Riccati輔助函數(shù)法, 求解約化方程, 得到了原方程大量的精確解, 其中有包含冪級(jí)數(shù)解、行波解等. 這表明這幾種方法是實(shí)用有效的, 我們以后更應(yīng)該多加采用. 最后, 利用得到的對(duì)稱(chēng)以及共軛方程, 獲取了該方程的守恒律.

[1] Aktosun T. Solitons and inverse scattering transform [J]. Contemporary Mathematics, 2005, 379:47.

[2] Hirota R, Satsuma J. Soliton solutions of a coupled Korteweg-de Vries equation[J], Phy Lett A,1981,85:407-408.

[3] He J H, Wu X H. Exp-function method for nonlinear wave equation [J]. Chaos Solitons and Fractals, 2006, 3: 700-708.

[4] Wadati M. Wave propagation in nonlinear lattice II [J]. Phys Soc Jpn, 1975, 38: 681-686.

[5] Chen M, Liu X Q, Wang M. Exact solutions and conservation laws of symmetric regularized long wave equations[J]. Chinese Journal of Quantum Electronics, 2011, 29(1): 21-26.

[6] 田疇. 李群及其在微分方程中的應(yīng)用[M]. 北京: 科學(xué)出版社, 2001.

[7] Zhao X Q, Zhi H Y, Zhang H Q, et al. Improved Jacobi-function method with symbolic computation to construct new double-periodic solutions for the generalized Ito system[J]. Chaos, Solitions and Fractals, 2006, 28(1): 112-126.

[8] Zhang H Q. Extended Jacobi elliptic function expansion method and its applications[J]. Commun Nonlinear Sci Numer Simul, 2007, 12(5): 627-635.

[9] 張輝群. 齊次平衡方法的擴(kuò)展及應(yīng)用[J]. 數(shù)學(xué)物理學(xué)報(bào), 2001, 21(3): 321-325.

[10] 李德生, 張鴻慶. 構(gòu)造孤子方程的Weierstrass 橢圓函數(shù)解的一個(gè)新方法[J]. 物理學(xué)報(bào), 2005, 54(12): 5540-5543.

[11] Wazwaz A M. The extended tanh method for the Zakharov-Kuznetsov (ZK) equation, the modified ZK equation, and its generalized forms[J]. Commun Nonlinear Sci Numer Simul, 2008, 13(16): 1 039-1 047.

[12] Hriota R, Satsuma J. A variety of nonlinear network equations generated from the B?cklund transformation for the Toda lattice[J]. Progress of Theoretical Physics Supplement, 1975, 59: 64-100.

[13] Wang M L, Li X Z, Zhang J. The(G′/G) expansion method and travelling solutions of nonlinear evolution equations in mathematical physics[J]. Physics Letters A, 2008, 372(4):417-423.

[14] 王振立, 李康. (w/g)展開(kāi)法求解(2+1)維ZK方程的顯示解[J]. 聊城大學(xué)學(xué)報(bào): 自然科學(xué)版, 2014, 27(2): 13-17.

[15] 楊征, 馬松華, 方建平.(2+1)維Zakharov-Kuznetsov方程的精確解和孤子結(jié)構(gòu)[J]. 物理學(xué)報(bào), 2011, 60(4):92-96.

[16] Ibragimov N H. A new conservation theorem[J]. Journal of Mathematical Analysis Applications, 2007, 333(1):311-328.