王桂麗
鞍山市岫巖縣第三高級中學(xué)
分類討論思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用分析
王桂麗
鞍山市岫巖縣第三高級中學(xué)
在高中數(shù)學(xué)的教學(xué)實踐中,分類討論對高中數(shù)學(xué)課程尤為重要。代數(shù)分類討論主要分為三種:對所求變量的值域范圍進(jìn)行討論并求解;對自變量的值域范圍進(jìn)行討論并求解;對因變量的值域范圍進(jìn)行討論并求解。幾何的分類討論大致分為:動點問題、無附圖幾何問題等。
分類討論;自變量;因變量
不同與傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教育,高中代數(shù)課程中自變量和因變量都是因為變化而存在,所以分類討論和高中數(shù)學(xué)密不可分。而動點問題更作為重點考題,在近年的高考中頻頻出現(xiàn)。因此,對分類討論思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用作出合理化的分析,以便于更好的將分類討論思想運用到高中數(shù)學(xué)的教學(xué)實踐中。
分類討論的原則主要有三種:
(1)每一級都按照統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn):例如△=0和△≠0時,求a的取值范圍。
(2)分類逐級進(jìn)行:先對a=0和a≠0進(jìn)行,再對△=0和△≠0進(jìn)行分類討論。
(3)同級互斥,不得越級的原則:例如a=0和a≠0就為互相排斥的兩個同級討論,但不可做越級的分類討論。
2.1 分類討論思想在高中代數(shù)教學(xué)中存在的意義
例1,若A={x|ax2-2x+1=0}(a∈R)只含有一個元素,求a的取值范圍[1]。
解析:因為已知ax2-2x+1=0有且只含有一個實數(shù)根,所以討論分為兩種情況:a=0和a≠0。
當(dāng)a=0時,x=0.5
當(dāng)a≠0時,由△=0得出a=1,則x=1
綜上所述a的取值范圍是[0,1]
根據(jù)這道例題我們得知,當(dāng)一個函數(shù)中含有兩個變量時,因為取值范圍的不確定,我們需要用△和題中其他的條件進(jìn)行分析從而作出分類討論。若沒有分類討論,則無法求出取值范圍。分類討論在代數(shù)的求值和求值域問題是不可缺失的關(guān)鍵步驟,如果缺失則會出現(xiàn)“丟根”的現(xiàn)象,從而導(dǎo)致整體的求值錯誤。
2.2 分類討論思想在高中幾何教學(xué)中存在的意義
例2,若AB=5cm,BC=4cm,求AC的長是多少。
根據(jù)題意,有兩種情況:
(1)B點在AC兩點中間,AC=AB+BC=5+4=9cm
(2)C點在AB兩點中間,AC=AB-BC=5-4=1cm
根據(jù)例題,若不進(jìn)行分類討論,則會出現(xiàn)求解錯誤。通過分析幾何題中點和點的位置關(guān)系,從而達(dá)到分類討論的目的,才會使答案更加準(zhǔn)確。由此我們得知,若沒有分類討論,則不會把題中各個條件聯(lián)系在一起做最合理的求解。
3.1 分類討論思想在高中代數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用
3.1.1 概率問題[2]
例3.設(shè)集合I={0,1,3,5,7},選擇I的兩個非空子集A和B,使B中最小的數(shù)大于A中最大的數(shù),則有多少種不同的可能?
解:如B中最小的數(shù)為1,則A只有A={0}一種可能。B則有8種可能,3、5、7可以在集合中B,也可以不在集合B中。
如B中最小的數(shù)為3,則A有A={0},A={1},A={0,1}三種可能。則B有4種方法,5、7可以在集合B中,也可以不在集合B中。
如B中最小的數(shù)為5,則A有7種可能,則A為A={0,1,3}的非空子集。則B有2種可能,8可以在集合B中,也可以不在集合B中。
如B中最小的數(shù)為7,則A有15種可能,則A為A={0,1,3,5}的非空子集。則B有1種可能,B={8}。
綜上所述,可能的方法有1×8+3×4+7×2+15×1=49
3.1.2 不等式問題
例4.求能夠使不等式(|x|-x)(1+x)<0成立的x的取值范圍。
解:當(dāng)x≥0時,|x|-x=x–x=0,于是(|x|-x)(1+x)=0,不滿足原式,故舍去x≥0
當(dāng)x<0時,|x|-x=-2x>0,x應(yīng)當(dāng)要使(|x|-x)(1+x)<0,滿足1+x<0,即x<-1,所以x的取值范圍是x<-1。
3.1.3 函數(shù)問題
例5.求f(x)=ax2,求函數(shù)單調(diào)性。
解:若a<0時,a的偶次冪為正,奇次冪為負(fù)。
若a=0或a=1時,函數(shù)的值為1。f(a)>1
若0<a<1時,函數(shù)f(x)=ax為減函數(shù)。f(a)>0
綜上所述,對于一切實數(shù)a,f(a)>0都成立。
3.2 分類討論思想在高中幾何教學(xué)中的應(yīng)用
例6.在平面直角坐標(biāo)系中,四邊形OABC是梯形,OA∥BC,點A的坐標(biāo)為(6,0),點B的坐標(biāo)為(4,3),點C在y軸的正半軸上.動點M在OA上運動,從O點出發(fā)到A點;動點N在AB上運動,從A點出發(fā)到B點.兩個動點同時出發(fā),速度都是每秒1個單位長度,當(dāng)其中一個點到達(dá)終點時,另一個點也隨即停止,設(shè)兩個點的運動時間為t(秒),求線段AB的長;當(dāng)t為何值時,MN∥OC?
解:過點B作BD⊥OA于點D,則四邊形CODB是矩形,BD= CO=4,OD=CB=3,DA=3,在Rt△ABD中,AB=√32+42=5。
當(dāng)MN∥OC時,MN∥BD,
∴△AMN∽△ADB,AN/AB=AM/AD
∵AN=OM=t,AM=6-t,AD=3,
∴t/5=(6-t)/3,即t=3.75(秒);
在高中數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中,教師應(yīng)該更加合理的利用高中學(xué)生已經(jīng)具備了有關(guān)分類討論問題的實際生活體驗這一基礎(chǔ),在解決分類問題的時候,要在關(guān)鍵時刻給予學(xué)生指導(dǎo),讓學(xué)生知道和明確分類討論思想的原則和目的,從而鍛煉學(xué)生對分類問題的獨立思考能力和舉一反三能力。同一事物按不同的標(biāo)準(zhǔn)則有不同的分類標(biāo)準(zhǔn),應(yīng)該是無重復(fù)和無遺漏的[3]。在高中的課程教學(xué)和實踐中,應(yīng)著重鍛煉學(xué)生獨立分析問題的思想,只有學(xué)生能進(jìn)行獨立分析,才能使分類討論思想在高中數(shù)學(xué)的解題中發(fā)揮到最大作用。本文通過對分析討論思想的分析,在今后的教學(xué)實踐中,培養(yǎng)學(xué)生多方位、全方面的去看待高中數(shù)學(xué)中的分類討論問題,使學(xué)生最終養(yǎng)成“具體問題,具體分析”的好習(xí)慣。
[1]蘇懷堂.高中數(shù)學(xué)中“分類討論”的思想方法[J].新課程(中學(xué)),2016,12:117.
[2]王艷青,代欽.高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的分類討論策略[J].內(nèi)蒙古師范大學(xué)學(xué)報(教育科學(xué)版),2011,12:121-122.
[3]楊建平.淺談分類討論思想在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用[J].學(xué)周刊,2013,20:21.
王桂麗(1981-),女,滿族,遼寧鞍山岫巖人,大學(xué)本科學(xué)歷,數(shù)學(xué)教育研究。