☉浙江杭州市蕭山區(qū)所前鎮(zhèn)初級中學 夏忠曉

堅守常識需定力，情真意切論課改
——由單墫教授談數(shù)學教學說起

☉浙江杭州市蕭山區(qū)所前鎮(zhèn)初級中學 夏忠曉

最近我們注意到不少微信公眾號連續(xù)轉(zhuǎn)載了我國著名數(shù)學教育家、新中國首批18名博士之一的單墫教授談數(shù)學教學的兩篇文章，轉(zhuǎn)載后得到不少同行的轉(zhuǎn)發(fā)和熱議.本文先簡述單教授兩篇文獻，并跟進思考.

一、單墫教授兩篇文獻概述

“文獻1”：《學會學習、做感興趣的事——單墫教授訪談錄》.這是《湖南教育》2015年第11期C版一篇訪談文章.在這篇文章中，單墫教授主要回復了數(shù)學競賽、幾何教學等相關問題，比如平面幾何的教學.單墫教授回憶他上初中時學習平面幾何的學習時說：“覺得那時候初中對平面幾何的表達都要求比較嚴格.我們做平面幾何都要求打草稿，我語文寫作文都不打草稿，但是做平面幾何時要打一個草稿，然后再寫上去.”

再比如，單墫教授介紹解題心得時說：“就是總希望把題目解得更好一點，那就需要在做完以后好好總結(jié)一下.在解題這方面波利亞寫的幾本書是相當好的，如《怎樣解題》，他確實是有真正的看法.我一直要求自己寫完以后要回顧，要注意看能不能寫得更好一點.對于老師來說，不是說一個問題你繞了5個圈子解決了，你還要帶著人家再繞5個圈子.即使你自己繞了5個圈子，講的時候，要讓人家少繞圈子這才是好的，所以要注意這個問題，每次都注意做得更好一點.”

“文獻2”概述：單墫教授接受《時代學習報》編輯的訪談時，針對課改中優(yōu)質(zhì)課的一些看法.單教授說：“我見過一節(jié)課，是介紹路程、速度、時間公式的.一開始，老師‘嗖’地一下從講臺竄到門口，大家沒鬧清怎么回事，老師問還有沒有比自己快的？大家說還有運動員.再討論還有更快的嗎？大家七嘴八舌說還有鴕鳥、獵豹……我覺得數(shù)學課不要為了創(chuàng)設所謂情境扯太多課外的東西來嘩眾取寵，這樣的模式化之風真是讓人很擔憂！”

此外，單教授對另一種缺少嚴謹態(tài)度的教學語言也表現(xiàn)出厭惡，他說：“更滑稽的是，有一次居然聽到一個老師說出這樣一句‘三個點就能搞定一個平面’.怎么能說‘搞定’？‘不在同一直線上的三點確定一個平面’，這存在了幾百年的公理哪能隨便改動？估計老師自己還覺得挺風趣的，其實這種語言很不合適！數(shù)學是不能胡來的，課堂可以輕松點，但是老師的語言、板演必須嚴謹.”

李尚志教授看到該文在微信公眾號上轉(zhuǎn)發(fā)后，曾表示贊同單教授的觀點.并認為：“其實單墫兄說的都是些大實話大白話普通常識，并非匪夷所思的天才發(fā)明.只不過因為大家都背離常識背離正常背離實話，只有他堅守常識堅持正常，就變成反?；蛘叱Ａ?”以下就圍繞一些常識話題給出筆者的個性化思考.

二、關于數(shù)學教學的一些思考

1.平面幾何教學的價值之思.

我們知道初中階段所學平面幾何源自歐氏幾何，特別是《幾何原本》體系.在《幾何原本》中特別重視公理、公設、定義、定理、推論，隨之推演出幾何大廈.章教授批判的課改進程中對平面幾何結(jié)構(gòu)的破壞，隨意刪減教學內(nèi)容，看似減輕學生負擔，然而我們都很清楚學生負擔并沒有因為刪減了一些幾何教學內(nèi)容就真正減負.反而是刪減一些必要的定理、性質(zhì)，或?qū)δ承┕淼纳钊胱穯枺沟脦缀螄乐數(shù)捏w系遭到破壞，讓學生難以形成一個整體觀、系統(tǒng)觀.加上時時處處強調(diào)數(shù)學知識與生活情境相聯(lián)系，使得不少幾何知識勉強與生活實際結(jié)合起來，而忽略了幾何內(nèi)部的關聯(lián).使得學生失去深刻理解幾何前后知識之間的關聯(lián)的機會，不得不說是一種遺憾.再有，單教授指出幾何語句的構(gòu)思、書寫都有嚴格的要求，在當下的幾何教學中，這也是值得反思的.根據(jù)我們的教學經(jīng)驗，不少學生往往以為幾何思路貫通即大功告成，因為他們在考場上已能得到分數(shù)，不會被扣分，而不愿繼續(xù)對解法思路進行優(yōu)化，并在反思過程中對解法步驟進一步求簡，使得認識更加深刻，直至洞察問題的深層結(jié)構(gòu).

2.解題教學中多解與優(yōu)化之思.

單教授提到“對于老師來說，不要帶著人家再繞5個圈子”，這是很有見地的“一句教”.我們在很多網(wǎng)絡群的主題研討活動中，常常見到不少同行熱衷于一題多解，并在自己的解題教學過程中加以傳播，用很多時間進行多解展示，讓學生感嘆一道問題的多樣化求解.如果是偶爾為之，并針對多解進行必要的回顧與評析，還可另說這樣教學處理的價值.然而有些只是滿足于一題多解，而缺少對不同解法的跟進反思、回顧，找出不同解法之間的關聯(lián)、內(nèi)在的聯(lián)系，為什么這道題目有不同的解法，這些不同解法背后的道理何在，溝通了哪些數(shù)學知識.比如下面這道高考試題：

考題1：（2012年江蘇高考）已知函數(shù)f（x）=x2+ax+b（a、b∈R）的值域為［0，+∞），若關于x的不等式f（x）＜c的解集為（m，m+6），求實數(shù)c的值.

讓我們對考題1稍加改編，修改為初中生可以理解的方式：

考題2：已知二次函數(shù)y=x2+ax+b（a、b為實數(shù)）的函數(shù)值y≥0，若關于x的不等式x2+ax+b＜c的解集為m＜x＜m+6，求實數(shù)c的值.

講解：我們看到不少同行研討這道題的解法時容易糾結(jié)于圖像法，并在Δ＞0和Δ=0之間糾結(jié).其實讓我們回到初中一個最基本的概念：“非負數(shù)”到“非負式”.從非負數(shù)的常見形式來看，x2就是一個最簡單的非負式，接著就是完全平方式是非負式.從非負式的角度來看，就可確定函數(shù)表達式x2+ax+b是一個完全平方式！這樣就可推定Δ=0，從而實現(xiàn)問題突破.

單教授常常提醒我們解題要回到定義、回到基本概念，退到最簡的地方去啟發(fā)學生思考和理解.想起最近張景中院士在一次報告中提到的：簡單了就容易；熟悉了就容易；想通了就容易.

想來上述觀點正是我們在解題教學時應該努力追求的一種境界.

3.讓教學情境回歸數(shù)學本真.

單教授關于數(shù)學教學情境的論述也與《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》多有共通.比如，課標上提出數(shù)學情境要兼顧生活現(xiàn)實、數(shù)學現(xiàn)實、其他學科現(xiàn)實，單教授也明確反對一些無趣、不自然的數(shù)學情境.包括有些命題領域有些數(shù)學試題的背景，多是一些無用的包裝，影響數(shù)學追求本真的特點.這里不作具體題例的列舉，只想提及一些大家都容易想到的一些命題包裝.比如，為了考查科學記數(shù)法，摘引了一大段的新聞文字，而有用的只是其中一個數(shù)據(jù)，在平時教學上用情境還說得過去，但是作為惜時如金的考試，就顯得有些不恰當了.再如，當下倡導數(shù)學文化、傳統(tǒng)文化進入考試，有些考題就引了一段較長的古代文獻，且是古文版，還要將這段古文翻譯成白話文，再讓學生解題，這樣的一種情境包裝在考場上也是不恰當?shù)?

4.數(shù)學教學語言的規(guī)范之思.

單教授列舉出教學語言的一些不規(guī)范表述.其實當下的微課流行，網(wǎng)絡上隨處可見，我們常常見到很多個性化的新潮語言融入數(shù)學教學之中，不少初任教師或許因為年輕，或許因為他們做學生時就愛到這樣不規(guī)范數(shù)學語言教學影響，又缺少必要的教學研討，使得一些不規(guī)范語言表達成為教學慣習.有些新潮的網(wǎng)絡語言、流程語言也會滲入平時的數(shù)學教學之中，我們認為單教授這樣的嚴謹和糾偏并不是一個老學究的固執(zhí)，而是固守數(shù)學立場，堅持嚴謹規(guī)范的表達，應該值得我們傾聽.于漪老師曾感嘆當下語文教學中的語言問題，想來在數(shù)學教學中也有同樣的擔憂.事實上，就以學科符號規(guī)范使用來看，不少教師還有很大的學習空間，比如，想起全國著名特級教師李庾南老師在報告中曾提及的一段教研往事，李老師說上個世紀90年代初在大連上了一節(jié)全國示范課，課后某數(shù)學教育家對課堂很滿足，只是悄悄地提了一個建議：“李老師，你課上得很出色，只是你的板書中解題過程的最后一步都缺少一個句號.”李老師很感嘆，因為這是她已從教近30多年之后的教學基本功.試想，有多少老師在板書過程中能在數(shù)學步驟之后加上那一個“.”呢？提到這個“.”，也順便提及數(shù)學文獻、資料、試卷中，中文標點語號“?！币宦捎谩?”代替，表示變量的字母使用“新羅馬體+斜體”，在很多網(wǎng)上流行的word文檔中都見到不規(guī)范的文件.再比如，命題表述時，有些個性化、不規(guī)范的問題呈現(xiàn)也需要得到糾正，回歸數(shù)學的嚴謹追求.

三、寫在后面

本文由單教授的兩篇訪談說起，談及教學基本問題，闡釋了我們對教學常識的堅守，都是一些老生常談，經(jīng)典話題，每個人的見解、觀點可能不一，既不一定準確，也不一定正確，歡迎批判指正.

1.單墫.學會學習、做感興趣的事——單墫教授訪談錄［J］.湖南教育（C版），2015（11）.

2.鄭毓信.善于舉例［J］.人民教育，2008（18）.

3.鄭毓信.善于提問［J］.人民教育，2008（19）.

4.鄭毓信.善于優(yōu)化［J］.人民教育，2008（20）.