劉淑靜

數(shù)學(xué)學(xué)科的系統(tǒng)性和嚴(yán)謹(jǐn)性決定了數(shù)學(xué)知識(shí)之間深刻的內(nèi)在聯(lián)系. 這里的聯(lián)系，既包括各部分知識(shí)在各自發(fā)展過程中的縱向聯(lián)系.又包括各部分知識(shí)之間的橫向聯(lián)系，知識(shí)的縱橫聯(lián)系必然形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的交匯，近年來“強(qiáng)調(diào)基礎(chǔ)、能力立意、在知識(shí)網(wǎng)絡(luò)交匯點(diǎn)處設(shè)計(jì)試題”已經(jīng)成為最近兩年高考試題的主要特色.因此，在學(xué)習(xí)中，應(yīng)該關(guān)注并研究數(shù)學(xué)交匯問題的求解，以開拓視野，進(jìn)一步提高數(shù)學(xué)的思維能力.本文結(jié)合實(shí)例簡要介紹數(shù)學(xué)期望與其他知識(shí)的交匯性.

一、與不等式整合

例1 若隨機(jī)事件A在1次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為p（0

（1）求方差Dξ的最大值；

（2） 求2Dξ-1Eξ的最大值.

解析 隨機(jī)變量ξ的所有可能取值為0，1，并且有P（ξ=1）=p， P（ξ=0）=1-p，

從而Eξ=0×（1-p）+1×p=p，Dξ= （0-

p）2×（1-p）+ （1-p）2×p=p-p2，

（1）Dξ =p-p2=-（p2-p+14）+14=- （p-12） 2+14，∵0

（2） 2Dξ-1Eξ= 2（p-p2）-1p=2-（2p+1p），

方形，則必能分割成（k+4）-1=k+3個(gè)正方形.故第一步應(yīng)對(duì)n=6，7，8

的情形加以驗(yàn)證.第二步，則只需從k遞推到k+3.

證明：（1）當(dāng)n=6，7，8時(shí)，由圖1中各圖所示的分割方法知，命題成立.

圖1

（2）假設(shè)當(dāng)n=k（k∈N*，且k≥6）時(shí)命題成立，即一個(gè)正方形必能分割成k個(gè)正方形.那么，只要把其中任意一個(gè)正方形兩組對(duì)邊的中點(diǎn)分別連結(jié)起來，即把該正方形再分割成4個(gè)小正方形，則正方形的個(gè)數(shù)就增加了3個(gè).因而原正方形就分割成了k+3個(gè)正方形，即當(dāng)n=k+3時(shí)命題也成立.

因?yàn)槿魏我粋€(gè)大于5的自然數(shù)n都可以表示成6+3p，7+3p，8+3p（p∈N）中的一種形式，所以根據(jù)（1）和（2），可知命題對(duì)任何大于5的自然數(shù)n都成立.

五、歸納、猜想、證明

例5 （2015年湖北）已知數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，bn=n（1+1n）nann∈N+.計(jì)算b1a1，b1b2a1a2，b1b2b3a1a2a3，由此推測(cè)計(jì)算b1b2…bna1a2…an的公式，并給出證明.

解 b1a1=1·（1+11）1=1+1=2；

b1b2a1a2=b1a1·b2a2=2·2（1+12）2=（2+1）2=32；

b1b2b3a1a2a3=b1b2a1a2·b3a3=32·3（1+13）3=（3+1）3=43.

由此推測(cè)： b1b2…bna1a2…an=（n+1）n. （*）

證明 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：

（1）當(dāng)n=1時(shí)，左邊=右邊=2，（*）式成立.

（2）假設(shè)當(dāng)n=k（k∈N+）時(shí)，（*）式成立，即b1b2…bka1a2…ak=（k+1）k.

當(dāng)n=k+1時(shí)，bk+1=（k+1）（1+1k+1）k+1ak+1，由歸納假設(shè)可得

b1b2…bkbk+1a1a2…akak+1=b1b2…bka1a2…ak·bk+1ak+1=（k+1）k（k+1）（1+1k+1）k+1=（k+2）k+1.

所以當(dāng)n=k+1時(shí)，（*）式也成立.

根據(jù)（1）和（2），可知（*）式對(duì)一切正整數(shù)n都成立.

（收稿日期：2016-07-12）