喬軍

三角函數是歷年高考數學中的必考的知識，與三角函數有關的考點出現(xiàn)的概率基本上是百分之百，每年必考、每省市必考.本文通過綜合分析近年出現(xiàn)在全國各個省市的高考數學試題中的和三角函數有關的題目，對高考中三角函數考題的考查方式及解析方法進行歸納總結，以供讀者學習參考.

一、考綱要求

《2016年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試大綱（數學）》對于三角函數這一知識點要求如下：①理解任意角三角函數（正弦、余弦、正切）的定義；②能利用單位圓中的三角函數線推導出π2±α，π±α的正弦、余弦、正切的誘導公式，能畫出y =sinx，y=cosx，y=tanx的圖像，了解三角函數的周期性；③理解正弦函數、余弦函數在區(qū)間[0，2π]上的性質（如單調性、最大值和最小值以及與x軸的交點等），理解正切函數在區(qū)間-π2，π2內的單調性；④理解同角三角函數的基本關系式：sin2x+cos2x = 1，sinxcosx=tanx.；⑤了解函數y=Asin（ωx+φ）的物理意義；能畫出y=Asin（ωx+φ）的圖像，了解參數A，ω，φ對函數圖像變化的影響；⑥了解三角函數是描述周期變化現(xiàn)象的重要函數模型，會用三角函數解決一些簡單實際問題.

二、考察方式

總覽每年高考數學對于三角函數的掌握程度的考察，題型靈活多變，在選擇題、填空題、以及大題中都有出現(xiàn).三角函數的考查包括基礎理論、基本概念、基本公式變換及三角函數的特性等知識，該類題目綜合性非常強、思維容量非常大.考查三角函數題目，不僅可以有效考察學生對所學的知識的掌握程度，還可以考察學生的邏輯思維能力.同時也考查學生的辯證思維能力.

三、例題分析

例1 （2012年全國理科，7）已知α為第二象限角，

sinα+cosα=33，則cos2α=（）.

A.-53B.-59C.59D.53

例題精講 sinα+cosα=33，

兩邊平方可得1+

sin2α=13sin2α=-23.

∵α是第二象限角，因此sinα>0，cosα<0，所以

cosα-sinα=-（cosα-sinα）2

=-

1+23=-153

.

∴cos2α=cos2α-sin2α=（cosα+sinα）（cosα-sinα）=-53.

標準答案：A

考點解析 本試題主要考查了三角函數中兩角和差的公式以及二倍角公式的運用.首先利用平方法得到二倍角的正弦值，然后利用二倍角的余弦公式，將所求的轉化為單角的正弦值和余弦值的問題.

例2 （2012年全國理科，14）

當函數y=sinx-3cosx（0≤x<2π）取得最大值時，x=.

例題精講 由

y=sinx-3cosx=2sin（x-π3）

由0≤x<2π-π3≤x-π3<5π3

可知-2≤2sin（x-π3）≤2

當且僅當x-π3=3π2即x=11π6時取得最小值，x-π3=π2時即x=5π6取得最大值.

標準答案：5π6.

考點解析 本試題主要考查了三角函數性質的運用，求解值域的問題.首先化為單一三角函數，然后利用定義域求解角的范圍，從而結合三角函數圖像得到最值點.

例3 （2012年全國理科，17）△ABC的內角A、B、C的對邊分別為

a、b、c，已知cos（A-C）+cosB=1，a=2c，求C.

例題精講 由A+B+C=πB=π-（A+C），

由正弦定理及a=2c可得sinA=2sinC

所以cos（A-C）+cosB=cos（A-C）+cos（π-（A+C））=cos（A-C）-cos（A+C）=cosAcosC+sinAsinC-cosAcosC+sinAsinC=2sinAsinC

故由cos（A-C）+cosB=1與sinA=2sinC可得2sinAsinC=14sin2C=1.

而C為三角形的內角且a=2c>c，故

0

考點解析 本試題主要考查解三角形的運用，給出兩個公式，一個是邊的關系，一個是角的關系，而求解的為角，因此要找到角的關系式為好.該試題從整體來看保持了往年的解題風格，依然是通過邊角的轉換，結合了三角形的內角和定理的知識，以及正弦定理和余弦定理，求解三角形中的角的問題.試題整體上比較穩(wěn)定，思路也比較容易想，先將三角函數關系式化簡后，得到A，C角關系，然后結合a=2c，得到兩角的二元一次方程組，自然很容易得到角C的值.

例4 （2016年北京理科，15）

在△ABC中，a2+c2=b2+2ac.

（1）求∠B的大??；

（2）求2cosA+cosC的最大值.

例題精講 （1）由余弦定理及題目得cosB=

a2+c2-b22ac=2ac2ac=22，又因為0

（2）由（1）知A+C=3π4，

2cosA+cosC=2cosA+cos（3π4-A）

=2cosA-22cosA+22sinA

=22cosA+22sinA=cos（A-π4），

因為0

考點解析 1.三角恒等變形，根據余弦定理公式求出cosB的值，進而根據取值范圍求B的大??；2.余弦定理，由輔助角公式對2cosA+cosC進行化簡變形，進而根據A的取值范圍求出其最大值.正、余弦定理是應用極為廣泛的兩個定理，它將三角形的邊和角有機地聯(lián)系起來，從而使三角與幾何產生聯(lián)系，為求與三角形有關的量（如面積、外接圓、內切圓半徑和面積等）提供了理論依據，也是判斷三角形形狀、證明三角形中有關等式的重要依據.其主要方法有：化角法，化邊法，面積法，運用初等幾何法.注意體會其中蘊涵的函數與方程思想、等價轉化思想及分類討論思想.

例5 （2016年北京理科，7）將函數y=sin（2x-

π3）圖象上的點P（π4，t）向左平移s（s>0）個單位長度得到點P′，若P′位于函數y=sin2x的圖象上，則（）.

A.t=12，s的最小值為π6

B.t=32，s的最小值為π6

C.t=12，s的最小值為π3

D.t=32，s的最小值為π3

例題精講 由題意得，t=sin（2×

π4-π3）=12，故此時P′所對應的點為（π12，

12），此時向左平移

π4-π12=π6.

答案：A

考點解析

三角函數的圖象變換，有兩種選擇：一是先伸縮再平移，二是先平移再伸縮.特別注意平移變換時，當自變量x的系數不為1時，要將系數先提出.翻折變換要注意翻折的方向；三角函數名不同的圖象變換問題，應先將三角函數名統(tǒng)一，再進行變換.

例6 （2016年上海理科，7）

方程3sinx=1+cos2x在區(qū)間[0，2π]上的解為.

例題精講

由cos2x=1-2sin2x，3sinx=2-2sin2x，即2sin2x+3sinx-2=0，

所以（2sinx-1）（sinx+2）=0，

所以sinx=12，

所以x=π6或5π6

答案：π6或5π6

考點解析 考查二倍角的計算公式，將三角函數與二次函數結合.

例7 （2016年山東理科，7）

函數f（x）=（3sinx+cosx）（3cosx-sinx）的最小正周期是（）.

A.π2B.πC.3π2D.2π

例題精講 化簡式子得f（x）=2sin（x+π6）×2cos（x+π6）=2sin（2x+π3），故最小正周期T=2π2=π，故選B.

考點解析 這道題目主要考察求值問題，三角函數的周期性計算.

例8 （2016年山東理科，16）

在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知2（tanA+tanB）=tanAcosB+tanBcosA.

（Ⅰ）證明：a+b=2c；

（Ⅱ）求cosC的最小值.

例題精講

（Ⅰ）由題意知2（sinAcosA+sinBcosB）=sinAcosAcosB+sinBcosAcosB，

化簡得2（sinAcosB+sinBcosA）=sinA+sinB，

即2sin（A+B）=sinA+sinB

又因為A+B+C=π，所以sin（A+B）=sin（π-C）=sinC，

進一步得sinA+sinB=2sinC，由正弦定理得a+b=2c.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知c=a+b2，所以

cosC=a2+b2-c22ab=a2+b2-（a+b2）22ab=38（ba+ab）-14≥12，

當且僅當a=b時，等號成立.

故cosC的最小值為12.

考點解析 （Ⅰ）根據兩角和正弦公式、正切公式、正弦定理即可證明；

（Ⅱ）根據余弦定理公式表示出cosC，由基本不等式求出cosC的最小值.

例9 （2016年全國理科，12）

已知函數f（x）=sin（ωx+φ）（ω>0，φ

SymbolcB@ π2），x=-π4為f（x）的零點，x=π4為y=f（x）圖像的對稱軸，且f（x）在（π18，5π36）單調，則ω的最大值為（）.

A.11B.9C.7D.5

例題精講

因為x=-π4為f（x）的零點，x=π4為y=f（x）圖像的對稱軸，所以π4-（-π4）=T4+k2T，即

π2=2k+14T=2k+14·2πω

，所以ω=2k+1（k∈N），又因為f（x）在

（π18，5π36）單調，所以

5π36-π18=π12≤T2=2π2ω，即ω≤12，當ω=11時，由-114π+φ=kπ（k∈Z），|φ|≤π2得φ=-π4，此時f（x）在（π18，5π36）不單調，不滿足題意，當ω=9時，φ=π4，滿足題意，所以ω

的最大值為9.故選B.

考點解析 三角函數的性質，包括周期性、單調性以及對稱性，同時將三角函數和最值問題結合在一起考查，考查方式靈活新穎.

例10 （2016年全國理科，17）

△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c.

（Ⅰ）求C；

（Ⅱ）若c=7，△ABC的面積為332，求△ABC的周長.

例題精講

（Ⅰ）由已知及正弦定理得，

2cosCsinΑcosΒ+sinΒcosΑ=sinC，

2cosCsinΑ+Β=sinC，

故2sinCcosC=sinC，

可得cosC=12，所以C=π3.

（Ⅱ）由已知12absinC=332，又C=π3，所以ab=6，

由余弦定理可得，

a2+b2-2abcosC=7，

故a2+b2=13，從而（a+b）2=25，

故△ABC周長為5+7.

考點解析 （Ⅰ）考查通過余弦定理進行邊和角的關系互換，進一步化簡即可求出C角的大小.

（Ⅱ）根據題目已知條件12absinC=332

以及（Ⅰ）中C=π3可得ab=6，再通過余弦定理可得（a+b）2=25，從而可得△ABC的周長為5+7.

例11 （2016年全國理科，5）若tanα=34，則cos2α+2sin2α=（）.

A.6425B.4825C.1D.1625

例題精講 由tanα=34，計算可得

sinα=35，cosα=45或sinα=-35，cosα=-45，故cos2α+2sin2α=1625+4×1225=6425，故選A.

考點解析 同角三角函數間的基本關系計算，即sin2x+cos2x=1，同時考查二倍角公式計算

例12 （2016年全國理科，14）

函數y=sinx-3cosx

的圖像可由函數

y=sinx+3cosx的圖像至少向右平移個單位長度得到.

例題精講

因為y=sinx+3cosx

=2sin（x+π3），

y=sinx-3cosx=2sin（x-π3）=2sin[（x+π3）-2π3]，故函數y=sinx-3cosx

的圖像可由函數

y=sinx+3cosx的圖像至少向右平移2π3

個單位長度得到.

答案：2π3

考點解析 考查三角函數圖象沿水平方向的平移變換，以及兩角和與差的正弦公式.

例13 （2016年江蘇（Ⅰ），14）在銳角三角形ABC中，sinA=2sinBsinC，則tanAtanBtanC的最小值是 .

例題精講 由三角函數基本公式

sinA=sinπ-A=sinB+C=sinBcosC+cosBsinC和sinA=2sinBsinC，

可得sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC（*），

又因為△ABC為銳角三角形，則cosB>0，cosC>0，

在（*）式兩側同時除以cosBcosC可以得到tanB+tanC=2tanBtanC，

又因為tanA=-tanπ-A=-tanB+C=-tanB+tanC1-tanBtanC（#），

則tanAtanBtanC=-tanB+tanC1-tanBtanC×tanBtanC，

由tanB+tanC=2tanBtanC可得tanAtanBtanC=-2tanBtanC21-tanBtanC，

再令tanBtanC=t，由A，B，C為銳角可得tanA>0，tanB>0，tanC>0，

由（#）得1-tanBtanC<0，解得t>1

tanAtanBtanC=-2t21-t=-21t2-1t，1t2-1t=1t-122-14，

由t>1則0>1t2-1t≥-14，因此tanAtanBtanC最小值為8，

當且僅當t=2時取到等號，此時tanB+tanC=4，tanBtanC=2，

解得tanB=2+2，tanC=2-2，tanA=4（或tanB，tanC互換），此時A，B，C均為銳角.

答案：8

考點解析 該題目可以稱為高考中填空題的壓軸題，主要考察三角函數的基本公式計算，考查正弦、余弦、正切函數之間的公式變換，解答該題目需要考生熟練掌握三角函數的基本公式，要求考生有高超的計算能力.

例14 （2016年江蘇（Ⅰ），15）

在△ABC中，AC=6，cosB=45，C=π4.（1）求AB的長；

（2）求cosA-π6的值.

例題精講

（1）因為cosB=45，又因為B為三角形的內角，故sinB=35，因為

ABsinC=ACsinB，所以

AB22=635，算出AB=52.

（2）因為cosA=-cosC+B=sinBsinC-cosBcosC，

所以cosA=-210，又因為A為三角形的內角

，所以sinA=7210.

所以cos（A-π6）=32cosA+12sinA=72-620.

考點解析 考察三角形的內角關系，三個角之間的相互轉換計算.但是計算的數據比較復雜，要求考生要有較強的計算能力.

例15 （2016年北京文科，13）在△ABC中，∠A=2π3，a=3c，則

bc=.

例題精講

由正弦定理可知

sinAsinC=ac=3，所以sinC=sin2π33=12，所以C=π6，所以B=π-2π3-π6=π6，所以b=c，即bc=1.

考點解析 考查三角形角和邊的基本關系，以及不同角之間的關系.

例16 （2016年北京文科，16）

已知函數f（x）=2sinωxcosωx+cos2ωx（ω>0）的最小正周期為π.

（Ⅰ）求ω的值；

（Ⅱ）求f（x）的單調遞增區(qū)間.

例題精講

（Ⅰ）因為f（x）=2sinωxcosωx+cos2ωx=sin2ωx+cos2ωx=2sin（2ωx+π4）

所以f（x）的最小正周期T=2π2ω=πω.由題意可知πω=π，故ω=1.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知f（x）=2sin（2x+π4）

函數y=sinx的單調遞增區(qū)間為[2kπ-π2，2kπ+π2]（k∈Z）.

由2kπ-π2≤2x+π4≤2kπ+π2，

得kπ-3π8≤x≤kπ+π8.

所以f（x）的單調遞增區(qū)間為[kπ-3π8，kπ+π8]（k∈Z）.

考點解析 考查三角函數的周期性、單調性、二倍角公式以及兩角之間正弦余弦的轉換.這道題可以說綜合考查了三角函數的所有知識點，題目難度不大但是需要考生熟練掌握相關知識點.

例17 （2016年全國文科，12）

若函數f（x）=x-13sin2x+asinx在（-∞，+∞）單調遞增，則a的取值范圍是（）.

A.[-1，1] B.[-1，13]

C.[-13，13]D.[-1，-13]

例題精講

由f ′（x）=1-23cos2x+acosx≥0對x∈R恒成立，

可知1-23（2cos2x-1）+acosx≥0；即

-43t2+at+53≥0，對t∈[-1，1]恒成立，設函數f（t）=-43t2+at+53，則開口向下的二次函數的最小值可能為端點值，故只需要保證f（-1）=13-a≥0f（1）=13+a≥0，解方程組得到

-13≤a≤13，故答案為C.

考點解析 這道題目不僅考查了三角函數知識，還考查了二次函數以及導數問題.將三角函數與二次函數、導數結合起來，難度增加，但是只要考生熟練掌握考點，這道題目計算起來還是可以非?？?

例18 （2016年全國文科，14）

已知θ是第四象限角，且sin（θ+π4）=35，則tan（θ-π4）= .

例題精講

由sin（θ+π4）=35，且角θ在第四象限可得cos（θ+π4）=45，所以

sinθcosπ4+cosθsinπ4=35，

cosθcosπ4-sinθsinπ4=45，解方程組得

sinθ=1-52，

cosθ=752，

所以tanθ=-17，

tan（θ-π4）=tanθ-tanπ41+tanθtanπ4=-17-11-17×1=-43.

考點解析 考查坐標系中不同象限的角度的三角函數值，不同角度的計算.圖1

例19 （2016年新課標文科，3）函數y=Asin（ωx+φ）的部分圖像如圖1所示，則（）.

A.y=2sin（2x-π6）B.y=2sin（2x-π3）

C.y=2sin（2x+π6）D.y=2sin（2x+π3）

例題精講

由圖1知，A=2，周期T=π，所以ω=2ππ=2，故y=2sin（2x+φ），又因為圖像過（π3，2），所以sin（2π3+φ）=1，所以2π3+φ=2kπ+π2（k∈Z），當k=0時，φ=-π6，所以y=2sin（2x-π6）.

故選A.

四、復習策略

在平時學習三角函數與考前復習的過程中，對于和三角函數有關的知識點的學習都要接觸到，要加強練習，勤思考，勤整理.

（1）熟練掌握三角函數的基本性質，達到舉一反三、融會貫通的效果，關鍵是要能夠理解三角函數的基本性質，切忌死記硬背；

（2）加強題目練習，在做題的過程中尋找規(guī)律，同時習題練習要求精，同時要提高計算能力；

（3）嘗試將三角函數與二次函數、幾何、導數等知識點相聯(lián)系，結合分析，鍛煉自己的靈活度.

（收稿日期：2016-08-22）