馬 鋒,魏 宇,黃登仕,莊曉洋

(西南交通大學經(jīng)濟管理學院,四川成都610031)

隔夜收益率能提高高頻波動率模型的預測能力嗎

馬 鋒,魏 宇,黃登仕,莊曉洋

(西南交通大學經(jīng)濟管理學院,四川成都610031)

將隔夜收益率作為解釋變量加入到高頻波動率模型中,研究其對模型預測精度的影響.以滬深300指數(shù)為例,運用樣本外預測技術及新穎的模型可信集檢驗方法,同時選取比RV更為穩(wěn)健的兩尺度已實現(xiàn)波動率為基準波動率,實證研究表明,隔夜收益率對短期波動率存在顯著的非對稱效應;隔夜收益率能改善各波動率模型的擬合能力,并能顯著提高模型的短期預測能力;在預測短、中及長期波動率時,已實現(xiàn)和已實現(xiàn)極差高頻波動率模型的預測表現(xiàn)并不一致.

波動率預測;隔夜收益率;已實現(xiàn)和已實現(xiàn)極差波動率;模型可信集檢驗

1 引 言

對金融資產(chǎn)收益的波動率描述和預測是現(xiàn)代金融學界和實務界研究的熱點和難點問題,同時,它與資產(chǎn)定價理論的檢驗、最優(yōu)資產(chǎn)組合的選擇、衍生產(chǎn)品套期保值策略的設計以及金融風險的測度和管理密不可分.早期對波動率的研究主要集中在GARCH、SV及它們的擴展模型,但無論是在刻畫還是預測波動率等方面,這些模型表現(xiàn)得并不理想[1],且損失了大量的日內(nèi)交易信息[2].近幾年,隨著計算機技術的飛速發(fā)展和金融高頻數(shù)據(jù)獲取性逐漸增強,學者們開始利用日內(nèi)高頻數(shù)據(jù)進行波動率測度和建模.具有代表性的是Andersen等[3,4]提出的已實現(xiàn)波動率(realized volatility,RV)測度方法,它不僅計算簡便、無模型,而且具有無偏性和較好的穩(wěn)健性等優(yōu)點,另外,在波動率刻畫和預測等方面也取得了一定的成效[5-11].

然而,Corsi[2]指出分整模型(如ARFIMA)僅是一個便利的數(shù)學技巧,缺乏明確的經(jīng)濟解釋.另外,由于分整模型需要構(gòu)建分數(shù)差分算子,這樣會導致?lián)p失大量的觀測值,即損失了大量的交易信息. Corsi[2]基于異質(zhì)市場假說(heterogeneous market hypothesis)提出了簡單的異質(zhì)自回歸已實現(xiàn)波動率模型(heterogeneous autoregressive model of realized volatility,HAR-RV),且通過模擬和真實的金融市場數(shù)據(jù)進行實證,結(jié)果表明HAR-RV模型在樣本外的預測能力明顯優(yōu)于短記憶模型,而與ARFIMA模型的非常接近.相比ARFIMA模型,HAR-RV不僅避免了ARFIMA模型的復雜估計,而且還可成功復制出金融收益率序列的長記憶性、胖尾等“典型特征”.

另外,Christensen等[12,13]基于日極差波動率的思想,提出了基于日內(nèi)高頻數(shù)據(jù)的已實現(xiàn)極差波動率(realized range volatility,RRV),并證明了RRV在理論上要比RV至少高效5倍.尤其是對極端事件等, RRV更具信息含量[13,14].近幾年,RRV受到了國內(nèi)外學者們的廣泛關注[12-20].另外,已有學者[14,16-18]利用HAR-RRV模型研究其對金融市場波動率的預測能力和測度風險等.然而,就目前所檢索的國內(nèi)外文獻來看,本文發(fā)現(xiàn)鮮有文獻評價HAR-RV和HAR-RRV對波動率預測能力的優(yōu)劣.

隨著日內(nèi)高頻數(shù)據(jù)的廣泛應用,國內(nèi)外學者逐漸發(fā)現(xiàn),金融資產(chǎn)日內(nèi)高頻收益率在日內(nèi)近似連續(xù)的時間內(nèi)有可能會出現(xiàn)大幅波動,而這種現(xiàn)象稱為“跳躍”(jump).Lee等[21]指出,跳躍對金融資產(chǎn)收益波動率的刻畫和預測具有非常重要的意義.自Barndorff-Nielsen等[22]提出已實現(xiàn)二次冪變差(realized bipower variance, BPV)的概念后,學者們可成功地計算在跳躍擴散過程下的高頻數(shù)據(jù)波動跳躍的大小.Andersen等[23]在此基礎上,提出了HAR-RV-J和HAR-RV-CJ模型.另外,Christensen等[12,24]利用Barndorff-Nielsen等[22]的思想,也構(gòu)建了基于已實現(xiàn)極差波動率的跳躍測度,且提出了跳躍的顯著性檢驗.類似地,本文構(gòu)建含跳躍和顯著性跳躍的已實現(xiàn)極差波動率模型,分別標記為HAR-RRV-J和HAR-RRV-CJ.

值得一提的是,大量影響股票價格波動的事件一般發(fā)生在非交易時間[14],如我國證監(jiān)會更傾向于在收市后發(fā)布消息.因此,前一天因收市發(fā)布的消息對股票價格的影響會在開盤時得到顯著反映[25].由此表明,隔夜收益率對股票價格的波動起到特殊的作用[14,25].另外,股票波動常常表現(xiàn)為非對稱性,當股價下跌時,股票波動加大;當股價上漲時,股票波動下降,Black[26]稱這種現(xiàn)象為杠桿效應.鑒于此,本文將隔夜收益率及其杠桿效應作為解釋變量,分別引入到上述六種高頻波動率模型中,并研究它們對各波動率的模型的擬合精度和預測能力的影響.

鑒于此,本文將隔夜收益率作為解釋變量引入到上述六種高頻波動率模型中,研究其對波動率模型擬合程度和預測精度的影響.選擇相比RV更穩(wěn)健和更接近真實市場波動率的兩尺度已實現(xiàn)波動率(two scales realized volatility)作為真實波動率的替代變量,并運用樣本外的滾動時間窗技術,計算了上述波動率模型在樣本外的預測值.一方面已有研究[27-29]發(fā)現(xiàn)樣本內(nèi)擬合優(yōu)度的檢驗往往會受到數(shù)據(jù)挖掘偏誤的影響,而樣本外的滾動預測方法則可以規(guī)避此類偏誤所造成的問題.另一方面,Egorov等[30]指出對計量模型優(yōu)劣的判斷不是看其在樣本內(nèi)對數(shù)據(jù)擬合的好壞,而是要看其樣本外的預測能力.為保證結(jié)論更加嚴謹和可靠,本文還使用了Hansen等[31]最近提出的“模型可信集”(model confdence set),實證檢驗了上述波動率模型對中國股票市場實際波動特征的刻畫能力和預測精度.相比Hansen等[32]在2005年提出的“高級預測能力檢驗法”(superior predictive ability,SPA),MCS檢驗法的條件更為寬松,與SPA檢驗主要的區(qū)別是它不需要選擇基礎模型,因此其檢驗結(jié)果更具穩(wěn)健性和外延性.

2 已實現(xiàn)和已實現(xiàn)極差高頻波動率模型

2.1 已實現(xiàn)波動率模型

首先,假定pt為股票在t時刻的對數(shù)價格,其連續(xù)時間跳躍擴散過程表示為

其中ut是連續(xù)且局部有界的方差過程,σt是嚴格為正的,且樣本路徑右連續(xù)、左極限存在的隨機波動過程(允許發(fā)生跳躍),Wt是標準布朗運動,qt是時變強度為λ(t)的計數(shù)過程,有p(dqt=1)=λ(t)dt,κt≡pt-pt-,κt表示的是對數(shù)價格過程離散跳躍成分的大小.

進一步,根據(jù)二次變差理論,則有

其中r表示收益率.

由式(2)不難得出,波動率可分為兩個部分:連續(xù)的樣本路徑方差(積分波動率)和離散的跳躍方差.然而,在真實的股票市場交易中,24 h連續(xù)交易幾乎無法實現(xiàn),因此真實的波動率(即式(2)左部分)則無法測度.但有學者指出[2,3,23,33-34],當抽樣間隔Δ→0時,則有

其中RVt表示的是已實現(xiàn)波動率(realized volatility,RV),定義為金融資產(chǎn)日內(nèi)高頻收益率的平方和,另外,將1 d的交易時間表示為1,即有已實現(xiàn)波動率滿足如下等式,即

在同樣的假定下(Δ→ 0),積分波動率(integrated variance,IV),即可以用已實現(xiàn)二次冪變差(realized bipower variance,BPV)測度,定義為

另外,李勝歌等[35]利用上證綜指和深圳成指的1min高頻數(shù)據(jù)從理論和實證方面對比探討了RV和BPV的有效性.根據(jù)式(3)～式(5),則有

由式(6)得到的跳躍成分可能出現(xiàn)負值,為了保證跳躍的非負性,最終定義跳躍成分為

在Huang等[36]顯著性跳躍檢驗和HAR-RV-J模型的基礎上,Andersen等[23]又提出了HAR-RV-CJ模型,其中顯著性跳躍成分定義為

其中I(·)為示性函數(shù).

式(8)中的Φα表示的是為標準正態(tài)分布的上1-α分位數(shù),顯然,置信水平α取值越高,顯著性跳躍發(fā)生的可能性越低,另外,Zt表示的是Huang等[36]顯著性跳躍檢驗的統(tǒng)計值,定義為

其中統(tǒng)計量Zt服從標準正態(tài)分布.

另外,TQt表示的是已實現(xiàn)三次冪次(realized tripower quarticity),定義為

其中u4/3=22/3Γ(7/6)/Γ(1/2),Γ(·)為Gamma函數(shù).利用式(9)和式(10),可得到不同顯著水平下的連續(xù)成分,定義為

其中CRVt,α為連續(xù)成分,它能夠反映出從跳躍擴散過程中去除顯著跳躍成分的波動對RV的影響程度.

另外,利用式(8)～式(11),可得HAR-RV-CJ模型

其中CRVWt和CRVMt分別表示的連續(xù)成分的周和月已實現(xiàn)平均波動率.

2.2 已實現(xiàn)極差波動率模型

Christensen等[12]發(fā)現(xiàn)在作為二次變差(quadratic variation,QV)的估計量時,已實現(xiàn)極差波動率的有效性是已實現(xiàn)波動率的7.2倍.為了表述清楚,將每一日的交易區(qū)間定義為[0,1],抽樣間隔為Δ,則每一天可得到1/Δ個區(qū)間.其中第td的第i個區(qū)間內(nèi)可觀測的收盤價為P1,i,P2,i,P3,i,...,PL,i,則該區(qū)間內(nèi)的最高收盤價為Hh,i=max(P1,i,P2,i,P3,i,...,PL,i),而最低收盤價為Ll,i=min(P1,i,P2,i,P3,i,...,PL,i),由此可得,該區(qū)間的極差收益率為si=ln(Hh,i)-ln(Ll,i).最后,已實現(xiàn)極差波動率為

結(jié)合二次變差理論的思想,Christensen等[12,24]指出當Δ→0,有

進一步,類似于Barndorff-Nielsen等[22]的研究,Christensen等[12,24]提出了基于極差的雙冪次變差(rangebased bipower variation,RBV),定義為

從式(15)不難發(fā)現(xiàn),當Δ→0時,RBV是積分波動率(IV)的一致性估計量.利用式(14)和式(15),可得

Christensen等[12,23]基于已實現(xiàn)極差波動率構(gòu)建了檢驗資產(chǎn)價格跳躍的統(tǒng)計量,有

其中n等于1/Δ,t為總樣本長度,RQQt,m是基于已實現(xiàn)極差波動率的四次冪次變差(range-based quad-power quarticity,RQQ),即

同樣的,基于已實現(xiàn)極差波動率的跳躍等于(為與用RV估計的跳躍成分區(qū)分,用RJ表示用RRV估計的跳躍成分)

給定顯著水平α,可得跳躍性波動,為

依據(jù)Corsi等[2]和Andersen等[23]的思想,可以構(gòu)建HAR-RRV,HAR-RRV-J和HAR-RRV-CJ模型.值得注意的是,Christensen等[13]指出當m→∞,λr,m收斂于某常數(shù)1關于λ2,m與m值的關系如文獻[13]中的圖2所示..然而,當m取具體數(shù)值時,λr,m并不能從文獻[13]獲取.因此,為得到λr,m,結(jié)合文獻[16,37]的思想利用蒙特卡洛模擬,模擬公式為

通過利用計量軟件MATLAB 2010b模擬1 000 000次,表1給出了r=1,2,...,10的模擬結(jié)果.

表1 m和λr,m關系對應表Table 1 The relationship between m和λr,m

2.3 隔夜收益率

由于現(xiàn)實的股票市場幾乎難以24 h連續(xù)交易,則會出現(xiàn)夜間停盤的情況,而隔夜收益率(overnight return,OR)則表示為第二天開盤價的對數(shù)值減去前一天收盤價的對數(shù)值,即

隔夜收益率在一定程度上反映了晚間停盤時所有消息(例如,宏觀信息的發(fā)布)對股票市場的影響.Gallo等[25]指出隔夜收益率對捕捉條件異方差性的持久特征是個合適的指標,他們還指出在發(fā)生高回報(large return)和波動聚集性(volatility clustering)時,隔夜收益率對收益率的預測起到重要作用.Andersen等[38]指出雖然夜間休市沒有交易數(shù)據(jù),但隔夜收益率所包含的信息是不可忽視的.因此,已有不少國內(nèi)外學者將其作為解釋變量來研究其對波動率預測能力的影響[14,39,40-42],鑒于此,論文將隔夜收益率作為解釋變量分別加入到HAR-RV,HAR-RV-J,HAR-RV-CJ,HAR-RRV,HAR-RRV-J和HAR-RRV-CJ六種高頻波動率模型中.另外,Tseng等[14]指出隔夜收益率對未來波動率的影響存在“非對稱”,即正和負隔夜收益率對未來波動率的影響并非是對等的.最后,將隔夜收益率,“非對稱”效應作為新的解釋變量加入到上述模型中,構(gòu)建新的波動率模型,依次標記為LHAR-RV-O,LHAR-RV-J-O,LHAR-RV-CJ-O,LHAR-RRV-O,LHAR-RRV-J-O和LHARRRV-CJ-O.也就是說,本文不僅探討研究隔夜收益率及其“非對稱”對已實現(xiàn)波動率模型的預測影響,而且還探討其對已實現(xiàn)極差波動率模型的影響,另外,本文還對比了上述12種高頻波動率模型對未來波動率預測能力的優(yōu)劣.

值得注意的是,當抽樣間隔越小,即抽樣頻率越高時,價格本身包含的噪聲越大,使得對各波動率的估計量不再可靠,進而降低了研究結(jié)論的可靠性和穩(wěn)健性.但Andersen等[3]證實了外匯交易波動能很好地用288個每5 min取樣的數(shù)據(jù)的變化平方和來估計,并進一步發(fā)現(xiàn)5 min的取樣頻率可在兼顧精確性和減少微觀噪聲之間取得平衡(trade-off).另外,文獻[43,44]以上證高頻數(shù)據(jù)為例,也證實了5 min抽樣頻率數(shù)據(jù)的合理性.文獻[4,14,16,37]也利用5 min高頻數(shù)據(jù)進行波動率測度及預測等方面的研究.鑒于此,本文選取5 min作為抽樣頻率,并以此對已實現(xiàn)波動率(RV)和已實現(xiàn)極差波動率(RRV)等進行建模和分析.

3 基準波動率測定及MCS檢驗

3.1 基準波動率測定

Andersen等[3]發(fā)現(xiàn)傳統(tǒng)研究中多采用日收益率的平方作為日波動率的代理變量將面臨非常嚴重的測量誤差和噪聲,而基于高頻數(shù)據(jù)的已實現(xiàn)波動率則可以有效地降低這些誤差和噪聲對真實潛在的波動率的影響.但由于潛在真實的波動率是不可觀察的,學術界開始利用已實現(xiàn)波動率作為市場波動率的代理變量進行相關研究.但需要特別強調(diào)的是,已實現(xiàn)波動率的測度與抽樣頻率有著密切的聯(lián)系,如頻率越高,它越趨近于真實的市場波動率,但伴隨的噪聲問題也越嚴重,從而導致估計出現(xiàn)偏差.因此,已實現(xiàn)波動率作為真實市場波動率的替代變量,也存在這樣或者那樣的不足.另外,用已實現(xiàn)波動率構(gòu)建的高頻率模型(例如,HAR-RV等),然后用它作為基準波動率與其他波動率模型(如GARCH-type模型等)進行預測能力比較,并發(fā)現(xiàn)已實現(xiàn)波動率模型在預測波動率方面具有更優(yōu)的表現(xiàn)[5-8].盡管已實現(xiàn)波動率模型的預測效果更好,但有可能是因為模型本身對已實現(xiàn)波動率的擬合效果相比其他模型要好,另外,用其本身作為預測評價的基準,可能會造成“預測效果好的錯覺”.由于本文涉及到兩種波動率測度方法——已實現(xiàn)波動率和已實現(xiàn)極差波動率,倘若用RV或RRV作為真實市場波動率的替代變量,似乎不太合適.舉例來說,如果用HAR-RRV-type模型預測波動率時,采取RV作為基準波動率,按常理來說,HAR-RV-type模型在預測比較時,優(yōu)勢更為明顯.反過來,如果選取RRV時,對HAR-RV-type亦不合理.

鑒于以上分析,本文建議采用Zhang等[45]提出的兩尺度已實現(xiàn)波動率(two scales realized volatility, TSRV)作為真實波動率的替代變量.一方面,有學者指出,相比RV而言,TSRV對噪聲(microstructure noise)具有更強的穩(wěn)健性[16,37,45,46],因為它不僅涉及到低抽樣頻率(如5 min抽樣),而且還涉及到超高頻波動率(如1～10 s抽樣),充分利用了交易日內(nèi)的信息.另一方面,近幾年,已有學者利用兩尺度已實現(xiàn)波動率作為真實波動率的替代變量,并取得了實質(zhì)性的進展[15,16,37].但就目前所掌握的國內(nèi)文獻來看,本文發(fā)現(xiàn)鮮有學者利用兩尺度已實現(xiàn)波動率作為基準波動率去評價波動率預測能力等相關研究.因此,本文采用該方法作為基準波動率的代理變量,不僅可保證結(jié)論更具外延性和穩(wěn)健性,而且還豐富了國內(nèi)相關研究的內(nèi)容.

兩尺度已實現(xiàn)波動率(TSRV)的測度表達式為

3.2 波動率預測方法及MCS檢驗

對各波動率模型進行滾動時間窗(rolling time windows)的“樣本外預測能力檢驗”(test for out-of-sample predicting ability),選擇的樣本外預測窗口為371 d,然后采用向前預測1 d(one-ahead-step)的技術,即每個模型可得344個預測值2選擇不同長度的估計樣本和預測樣本的實證結(jié)果基本一致,如果需要,作者可以提供不同樣本長度上的模型檢驗結(jié)果,如預測樣本長度為271,471,及571等..為節(jié)約篇幅,更為具體的預測步驟可參考文獻[8].

然而需要說明的是,到目前為止,學術界還不清楚用哪一種損失函數(shù)(loss function)作為衡量預測偏差的標準最為合理.因此,Hansen等[6]建議,可以盡可能多地采用不同形式的損失函數(shù)作為預測模型精度的判斷標準.基于這樣的考慮,在本文的實證研究中采用了六種不同的損失函數(shù)分別作為各類波動率模型預測精度的評判標準.

這六種損失函數(shù)分別記為Li,i=1,2,...,6,其中L1和L2稱為平均誤差平方(mean squared error, MSE)和平均絕對誤差(mean absolute error,MAE),它們是此類判斷中最常用的兩類損失函數(shù).L3和L4分別是經(jīng)異方差調(diào)整的MSE和MAE,而限于篇幅,對L5和L6的具體含義可以參考文獻[6]的討論.各損失函數(shù)的具體定義如下.

需要指出的是,如果在一次實證研究中發(fā)現(xiàn):采用某種Li作為判斷標準,得到了模型甲比模型乙的預測損失值小的話,那么只能判斷:“在這樣一個特定的數(shù)據(jù)樣本中,采用這一特定的損失函數(shù)Li時,模型甲比模型乙的預測精確度高”.很明顯,這一判斷是不穩(wěn)健的,且無法推廣到其它類似的數(shù)據(jù)樣本或者其它的損失函數(shù)判斷標準.比方說,數(shù)據(jù)樣本中的少數(shù)奇異點往往會嚴重影響損失函數(shù)的計算結(jié)果,從而引起損失函數(shù)值的異常增加,進而可能導致對波動率模型優(yōu)劣的錯誤判斷[6].

為了解決這一問題,Hansen等[32]提出了一種所謂的“高級預測能力檢驗法”(superior predictive ability, SPA),然而SPA檢驗需要選擇基準模型,會導致產(chǎn)生“與對照組的多重比較”(multiple comparisons with controlling set)問題.為了克服這一缺陷,Hansen等[31]最近又提出了一種名為“模型可信集”(model confdence set,MCS)的模型比較方法.與SPA檢驗相比,MCS檢驗具有很多明顯的優(yōu)勢,比方說,由于SPA檢驗的零假設是復合假設(composite hypothesis),它會影響SPA檢驗統(tǒng)計量的漸進分布,從而會產(chǎn)生“厭惡參數(shù)”(nuisance parameters)的問題,進而難以控制第一類錯誤(或稱“拒真”)概率.而MCS檢驗則不用進行此類復合假設檢驗,從而可以大大減小第一類錯誤發(fā)生的概率.本文采用這種新的MCS方法來比較眾多波動率模型對我國股市波動的預測精度,從而其結(jié)論應該具有更好的穩(wěn)健性.

MCS檢驗的實現(xiàn)過程如下:首先,假定存在m0個波動率預測模型(就本文而言,m0=12),這些模型都在一個集合中,該集合記為M0,則有M0={1,2,...,m0}.每個預測模型都可獲得M個未來1天的樣本外市場波動率估計值,m=H+1,H+2,...,H+M.對每個預測值,都可按照本文給出的六種損失函數(shù)(L1,L2,...,L6)計算出相應的損失函數(shù)值,記為Li,j,m,i=1,2,...,6;j=1,2,...,u,v,...,m0,m=H+1,H+2,...,H+M.因此,對于M0中任意兩個波動率預測模型u,v(u,v∈M0),都可以計算出相對應的波動率預測值的相對損失函數(shù)值

其次,定義“高級對象的集合”(set of superior objects)為

MCS檢驗過程是在集合M0中進行一系列的顯著性檢驗,剔除集合M0中預測能力較差的模型.因此,在每一次檢驗中,零假設都是兩個模型具有相同的預測能力,即

MCS檢驗的過程是依據(jù)等價檢驗(equivalence test)δM和剔除準則(elimination rule)eM.其中對于任何M?M0,等價檢驗δM都是用來檢驗零假設,而剔除準則eM是用來剔除拒絕零假設的模型.因此, MCS算法步驟為:第一步,設定M=M0;第二步,在顯著水平α下,利用等價檢驗δM檢驗零假設H0,M;第三步,如果接受零假設,則定義否則利用剔除準則eM將拒絕零假設的模型從M中剔除,這一過程一直持續(xù)到不再出現(xiàn)拒絕零假設的情況,最后得到MCS檢驗下的幸存模型(surviving objects).集合包含了在1-α的置信水平下的最優(yōu)預測模型.如果對于給定的模型k(k∈M0),該模型屬于集合的條件是其MCS檢驗的P值大于顯著水平α.換句話說,P值越大,表明該模型得到的波動率預測結(jié)果越精確.

相比SPA而言,MCS的檢驗統(tǒng)計量更為復雜.考慮到篇幅,本文僅介紹較為常用的范圍統(tǒng)計量(range statistic)和半二次方統(tǒng)計量(semi-quadratic statistic)3除以上兩種方法外,還有最大偏差(maximum deviation),偏差(deviation,from common average),最大t值(Max t)統(tǒng)計量等,具體內(nèi)容可以參考文獻[31].,其定義分別為

如果統(tǒng)計量TR,TSQ大于給定的臨界值,表明拒絕零假設.由于統(tǒng)計量TR和TSQ的漸近分布依賴于“厭惡參數(shù)”(nuisance parameters),因此它們的真實分布非常復雜.然而,統(tǒng)計量TR,TSQ及相應的P值可以通過采用一種所謂的Bootstrap(自助法)來獲得4關于Bootstrap的實現(xiàn)過程可以參考Hansen和Lunde[31]的相關論文..

4 樣本數(shù)據(jù)及其統(tǒng)計性描述

研究的數(shù)據(jù)樣本為滬深300指數(shù)從2008–01–02—2013–09–23的每5 min高頻數(shù)據(jù)(剔除節(jié)假日等,共N=1 391個交易日),數(shù)據(jù)來源于“國泰安CSMAR股票市場高頻數(shù)據(jù)庫”.上海(或深圳)證券交易所每個交易日有4 h(即240 min)連續(xù)競價交易時間,因此,采用每5 min鐘記錄一個數(shù)據(jù)的方法每天可以產(chǎn)生48個高頻股價記錄,則高頻數(shù)據(jù)總量為66 768個.另外,在測定基準波動率(TSRV)時,超高頻數(shù)據(jù)來源于股票行情軟件—大富翁數(shù)據(jù)中心.其中,每一天的數(shù)據(jù)記錄個數(shù)平均約4 766個,則樣本內(nèi)總記錄數(shù)為6 629 506 (=4 766×1 391)個.

從表2可以看到,無論是已實現(xiàn)波動率,還是已實現(xiàn)極差波動率以及隔夜收益率等序列,都表現(xiàn)出顯著的“有偏”(skewed)和“尖峰”(leptokurtic)形態(tài),且都明顯超出了正態(tài)分布假定的范圍(Jarque-Bera統(tǒng)計量都很顯著).在滯后5、10和20期內(nèi),除跳躍CJt序列外,各序列都具有明顯的自相關特征(Q統(tǒng)計量都很顯著).因此,論文發(fā)現(xiàn)已實現(xiàn)波動率和已實現(xiàn)極差波動率等序列都存在較為顯著的長記憶(long memory)特征.另外,還發(fā)現(xiàn)已實現(xiàn)極差波動率的標準差明顯小于已實現(xiàn)波動率的.進一步,ADF單位根檢驗結(jié)果表明,各序列都顯著拒絕了存在單位根的原假設,表明各序列都是平穩(wěn)(stationary)時間序列,進而可以直接作下一步的分析和計量建模.

表2 已實現(xiàn)波動率RV和跳躍等序列的描述性統(tǒng)計Table 2 Descriptive statistics of each time series

5 實證結(jié)果

5.1 估計結(jié)果

首先,將隔夜收益率(OR)和“非對稱”分別引入到HAR-RV,HAR-RV-J,HAR-RV-CJ,HAR-RRV,HARRRV-J和HAR-RRV-RCJ六種高頻波動率模型中,構(gòu)建新的六種模型,依次記為LHAR-RV-O,LHAR-RV-JO,LHAR-RV-CJ-O,LHAR-RRV-O,LHAR-RRV-J-O和LHAR-RRV-CJ-O.表3是在總體樣本(2008–01–02—2013–09–23)基礎上的各類波動率模型參數(shù)估計結(jié)果,且均采用最小二乘法結(jié)合Newey West協(xié)方差修正形式進行估計.

表3 基于樣本總體的各類波動率模型參數(shù)估計結(jié)果Table 3 The estimation results of the each volatility models in-sample period

從表3中不難發(fā)現(xiàn),各波動率模型都具有較高的擬合優(yōu)度(R2),并進一步發(fā)現(xiàn),加入隔夜收益率(OR)和“非對稱”的波動率模型的擬合優(yōu)度略高于未加入的,即在一定程度上證實了它們有助于提高HAR-RV,HAR-RV-J,HAR-RV-CJ,HAR-RRV,HAR-RRV-J和HAR-RRV-CJ六種模型的擬合精度.另外,除LHAR-RRV-CJ-O模型外,其余波動率模型的隔夜收益率(OR)的系數(shù)值都在置信水平為99%的條件下顯著異于0,且都為負數(shù),即表明負隔夜收益率(OR)對未來波動率(future volatility)存在顯著負向影響.進一步,當βlOR系數(shù)全部顯著為正,且其絕對值大于βOR的,由此可見,正隔夜收益率對未來波動率存在顯著地正向影響.因此,本文可得出無論是已實現(xiàn)波動率模型還是極差已實現(xiàn)波動率模型,隔夜收益率對未來波動率的預測都存在“非對稱”,即“杠桿效應”.最后,從含跳躍的已實現(xiàn)和已實現(xiàn)極差波動率模型中,本文發(fā)現(xiàn)顯著性跳躍對未來波動率存在負向影響,且無論是跳躍還是顯著性跳躍都有助于提高模型的擬合精度.

5.2 波動率模型的MCS檢驗結(jié)果

各類波動率模型對未來1 d的市場波動率預測方法如3.2節(jié)所示.考慮到篇幅,本文僅報告LHAR-RVCJ-O、LHAR-RRV-O和LHAR-RRV-CJ-O模型在預測樣本區(qū)間內(nèi)(n=1,2,...,371)的市場波動率預測結(jié)果,如圖1所示.其中,圖1中的實際市場波動率(TSRV)用五角星表示.

圖1 LHAR-RV-CJ-O、LHAR-RRV-O和LHAR-RRV-CJ-O等模型的市場波動率預測結(jié)果(h=1)Fig.1 One-day-ahead volatility forecasts based onLHAR-RV-CJ-O、LHAR-RRV-O and LHAR-RRV-CJ-O(h=1)

從圖1中,直觀來講,各類波動率模型都具有較強的預測能力,即使市場發(fā)生大幅波動時,仍能較好的預測出該段時間內(nèi)的市場波動狀況.需要特別強調(diào)的是,本文采用的是滾動時間窗(rolling time windows)的“樣本外預測能力檢驗”(test for out-of-sample predicting ability),因此每次滾動樣本估計的各類波動率模型的參數(shù)估計值是時變的,而非固定的.舉例來說,對HAR-RV模型而言,可以獲取371個不同的系數(shù)值(βd,βw和βw)和擬合優(yōu)度R2.因此,這種方法可規(guī)避數(shù)據(jù)挖掘偏誤的影響,進一步保證了結(jié)論的穩(wěn)健性和嚴謹性.

為了得到MCS檢驗中的各統(tǒng)計量及P值,這里選取d=2(block length)和模擬次數(shù)B=10 000次作為Bootstrap過程的控制參數(shù).參照Hansen等[31]的做法,MCS檢驗的顯著性水平α取值為0.1,則P值小于0.1的波動率預測模型是樣本外預測能力差的模型,將在MCS檢驗過程中被剔除,而P值大于0.1的波動率預測模型是樣本外預測能力較好的模型,在MCS檢驗中能幸存下來.

表4是MCS檢驗結(jié)果,表的第一列是所涉及的12種波動率模型,第一行是各損失函數(shù)Li,表中數(shù)字的是在各損失函數(shù)下統(tǒng)計量TR和TSQ對應的P值.P值大于0.1,表示的是在MCS檢驗過程中的幸存模型,即預測能力較好的模型.P值越大,表明該模型得到的波動率預測精度越高(最大的P值用下劃線和加粗字體表示,即最優(yōu)的波動率預測模型).從表4的實證結(jié)果可以發(fā)現(xiàn):

1)對滬深300指數(shù)而言,總體上,已實現(xiàn)波動率模型相比已實現(xiàn)極差波動率對其具有更好的預測能力.因為在六種損失函數(shù)標準下,已實現(xiàn)極差波動率模型僅在HMSE和HMAE未能通過MCS檢驗,而已實現(xiàn)極差波動率模型卻僅在這兩種損失函數(shù)標準下通過了MCS檢驗.

2)相比HAR-RV、HAR-RV-J、HAR-RV-CJ模型而言,加入隔夜收益率及其“非對稱”后的模型的波動率預測能力得到顯著提升,因其相應的損失函數(shù)的P值全部大于或等于前者的(僅排除損失函數(shù)MSE外),即表明隔夜收益率及其“杠桿效應”有助于提高波動率模型的預測能力.另外,對已實現(xiàn)極差波動率而言,除在損失函數(shù)標準HMAE外,其結(jié)論基本與已實現(xiàn)波動率模型一致.

3)除在損失函數(shù)標準MSE和HMAE外,最優(yōu)的波動率模型都引入了隔夜收益率及其“杠桿效應”作為新的解釋變量,分別為LHAR-RV-O、LHAR-RV-CJ-O和LHAR-RRV-O,從而再次表明隔夜收益率及其“杠桿效應”有助于提高波動率模型的預測能力.

5.3 各波動率模型中長期預測能力的MCS檢驗結(jié)果

就目前國內(nèi)檢索的文獻來看,關于波動率模型預測方面的研究多集中于對未來一天的預測比較.但值得注意的是,對資產(chǎn)風險的控制并非僅限于短期(h=1),尤其是2008年金融危機后,已有不少金融機構(gòu)更關注中期或長期的風險控制.因此,結(jié)合Corsi[2]對“中長期”定義的思想,本文不僅預測未來1 d(h=1)的波動率,還預測了未來5 d(h=5)和20 d(h=20)的波動率5由于上海(或深圳)交易所的總交易天數(shù)大概在240 d左右,因此,本文選擇預測長期的天數(shù)為20 d,并非國外學者選用的22 d.,并探討了上述高頻波動率模型的預測能力.

表4 不同波動率模型預測結(jié)果的MCS檢驗結(jié)果(h=1)Table 4 MCS of out-of-sample forecasts(h=1)

表5報告了各高頻波動率模型對中期波動率(h=5)的MCS檢驗結(jié)果,實證結(jié)果表明:已實現(xiàn)極差波動

表5 不同波動率模型預測結(jié)果的MCS檢驗結(jié)果(h=5)Table 5 MCS of out-of-sample forecasts(h=5)

率模型總體上比已實現(xiàn)波動率模型對中國股票市場的預測效果更好,主要是因為已實現(xiàn)波動率模型僅在兩種損失函數(shù)下通過了MCS檢驗,而在其余損失函數(shù)標準下,均未通過MCS檢驗.

進一步,本文還對比了上述12種高頻波動率模型對長期波動率預測能力的優(yōu)劣.從表6中,不難發(fā)現(xiàn),在六種損失函數(shù)標準下,已實現(xiàn)波動率模型的預測效果明顯比不上已實現(xiàn)極差波動率模型的.一方面,已實

表6 不同波動率模型預測結(jié)果的MCS檢驗結(jié)果(h=20)Table 6 MCS of out-of-sample forecasts(h=20)

現(xiàn)波動率模型未通過的MCS檢驗的模型明顯多于已實現(xiàn)極差波動率的,另一方面,在任何一種損失函數(shù)標準下,預測精度最高的模型均是已實現(xiàn)極差波動率模型(HAR-RRV、HAR-RRV-J和HAR-RRV-CJ).值得特別注意的是,不同于表4,加入隔夜收益率及其“非對稱”后的模型的波動率預測能力并沒有得到顯著提升,因其相應的損失函數(shù)的P值全部等于或者小于前者的(尤其是在已實現(xiàn)極差波動率中,表現(xiàn)得更為明顯).因此,本文發(fā)現(xiàn)隔夜收益率及其“杠桿效應”并不能提高各波動率模型對長期波動率(h=20)的預測能力.

6 結(jié)束語

近幾年,高頻波動率受到了國內(nèi)外學者們的廣泛關注,尤以已實現(xiàn)波動率和已實現(xiàn)極差波動率最為突出.同時,資產(chǎn)價格的跳躍對波動率預測的重要性也得到了學者們的認可.因此,本文不僅對比研究了HAR-RV和HAR-RRV模型,還評價了帶跳躍的高頻波動率模型,即HAR-RV-J、HAR-RV-CJ、HAR-RRV-J及HAR-RRV-CJ.另外,本文還將隔夜收益率及其杠桿效應作為新的解釋變量,加入上述六種高頻波動率模型中,構(gòu)建了新的六種波動率模型,探討研究它們對各波動率模型的擬合精度和預測能力的影響.以2008–01–02—2013–09–23滬深300指數(shù)的5 min高頻數(shù)據(jù)為例,采用相比SPA檢驗更為嚴謹?shù)腗CS檢驗方法和比RV更為穩(wěn)健的兩尺度已實現(xiàn)波動率為基準波動率,實證對比了上述12種高頻波動率模型對中國股市波動率不同期限的預測能力.實證結(jié)果顯示:首先,隔夜收益率對波動率未來一天的預測估計存在顯著的杠桿效應,即正、負向隔夜收益率對波動率預測的影響是不一致的;其次;隔夜收益率和杠桿效應不僅能提高各波動率模型的擬合能力,而且還能改善它們的預測能力.但對于預測中長期(周和月)時,隔夜收益率和杠桿效應對波動率預測方面的影響明顯不如短期的.簡單來說,隔夜收益率及其杠桿效應對波動率短期(h=1)預測能力的影響表現(xiàn)得更為突出;最后,在預測不同期限的波動率時,已實現(xiàn)波動率模型和已實現(xiàn)極差波動率模型對中國股票市場的預測能力出現(xiàn)了不同的表現(xiàn).對于已實現(xiàn)波動率模型而言,其在預測短期內(nèi)的波動率更具優(yōu)勢,然而已實現(xiàn)極差波動率模型在波動率中長期預測時表現(xiàn)得更好,尤其是在進行長期預測(h=20)的.本文的檢驗方法和實證結(jié)果對于中國股票市場的風險管理以及滬深300股指期貨的定價等問題都具有一定的理論和現(xiàn)實意義.

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附錄A

各波動率模型的具體表達式如下.

Can overnight returns improve the forecasting performance of high-frequency volatility models

Ma Feng,Wei Yu,Huang Dengshi,Zhuang Xiaoyang
(School of Economics&Management,Southwest Jiaotong University,Chengdu 610031,China)

Adding the overnight returns as an explanatory variable to the high-frequency volatility models, this paper investigates whether the overnight returns have an infuence on the models’forecasting accuracy. Taking 5-minute high frequency data of the CSI 300 index as an example,the paper uses the out-of-sample method and a novel model confdence set to test the impact of the overnight returns on future volatility as the two-scale realized volatility benchmark.The empirical results show that the overnight returns have signifcant asymmetric effects on future volatility.Moreover,the overnight returns can improve the models’goodness of ft,and can help in short-horizon forecasting especially.Finally,the realized and realized range-based volatility models have different forecasting performances for different forecasting horizons.

volatility forecasting;overnight returns;realized and realized range-based volatility;model confdence set

F830.9

A

1000-5781(2016)06-0783-15

10.13383/j.cnki.jse.2016.06.007

馬 鋒(1986—),男,湖南常德人,博士,講師,研究方向:金融復雜性,金融工程,Email:mafeng575@126.com;

魏 宇(1975—),男,四川攀枝花人,博士,教授,博士生導師,研究方向:金融復雜性,金融工程,Email:weiyusy@126.com;

黃登仕(1961—),男,重慶忠縣人,博士,教授,博士生導師,研究方向:金融工程,公司理財,服務科學,Email:dengshi.huang@126.com;

莊曉洋(1990—),女,山東菏澤人,博士生,研究方向:金融復雜性,金融工程,Email:zhuangxy19@126.com.

2016-01-04;

2016-05-05.

國家自然科學基金資助項目(71371157);四川省科技青年基金資助項目(2015JQO010).