王立
方程與不等式是初中代數(shù)的主干知識,是后續(xù)學(xué)習(xí)的重要基礎(chǔ).不等式與方程、函數(shù)的綜合應(yīng)用充分體現(xiàn)了相等與不等的對立與統(tǒng)一的辯證關(guān)系.此類中考試題都是緊扣新課程標準,重基礎(chǔ),重考查最基本的數(shù)學(xué)能力.希望同學(xué)們能夠立足“基本”,輕松迎考.
一、從“直觀出發(fā)”,發(fā)現(xiàn)自然解法
例1 (2016·山東東營)如圖,直線y=x+b與直線y=kx+6交于點P(3,5),則關(guān)于x的不等式x+b>kx+6的解集是 .
【解析】本題考查了一次函數(shù)與一元一次不等式的關(guān)系.從函數(shù)的角度看,就是尋求使一次函數(shù)y=x+b的值大于y=kx+6的自變量x的取值范圍;從函數(shù)圖像的角度看,就是確定直線y=x+b在直線y=kx+6的上方的部分所有的點的橫坐標所構(gòu)成的集合.
解:由圖像得到直線y=x+b與直線y=kx+6的交點P(3,5),在點P(3,5)的右側(cè),直線y=x+b落在直線y=kx+6的上方,該部分對應(yīng)的x的取值范圍為x>3,即不等式x+b>kx+6的解集是x>3.
【小試身手】1.將函數(shù)y=2x+b(b為常數(shù))的圖像位于x軸下方的部分沿x軸翻折至其上方后,所得的折線是函數(shù)y=[2x+b](b為常數(shù))的圖像.若該圖像在直線y=2下方的點的橫坐標x滿足0 二、從“基本經(jīng)驗”出發(fā),尋找突破口 例2 (2016·浙江寧波)某商場銷售A,B兩種品牌的教學(xué)設(shè)備,這兩種教學(xué)設(shè)備的進價和售價如表所示. 該商場計劃購進兩種教學(xué)設(shè)備若干套,共需66萬元,全部銷售后可獲毛利潤9萬元. (1)該商場計劃購進A,B兩種品牌的教學(xué)設(shè)備各多少套? (2)通過市場調(diào)研,該商場決定在原計劃的基礎(chǔ)上,減少A種設(shè)備的購進數(shù)量,增加B種設(shè)備的購進數(shù)量,已知B種設(shè)備增加的數(shù)量是A種設(shè)備減少的數(shù)量的1.5倍.若用于購進這兩種教學(xué)設(shè)備的總資金不超過69萬元,問A種設(shè)備購進數(shù)量至多減少多少套? 【解析】此題考查了一元一次不等式與二元一次方程組的應(yīng)用.注意根據(jù)題意找到等量關(guān)系是關(guān)鍵. (1)設(shè)該商場計劃購進A,B兩種品牌的教學(xué)設(shè)備分別為x套,y套,根據(jù)題意可列方程組,解此方程組即可; (2)設(shè)A種設(shè)備購進數(shù)量減少a套,則B種設(shè)備購進數(shù)量增加1.5a套,根據(jù)題意可列不等式,解不等式即可求得答案. 解:(1)設(shè)該商場計劃購進A,B兩種品牌的教學(xué)設(shè)備分別為x套,y套, [1.5x+1.2y=66,0.15x+0.2y=9,]解得:[x=20,y=30.] 答:該商場計劃購進A,B兩種品牌的教學(xué)設(shè)備分別為20套,30套. (2)設(shè)A種設(shè)備購進數(shù)量減少a套,則B種設(shè)備購進數(shù)量增加1.5a套, 1.5(20-a)+1.2(30+1.5a)≤69, 解得:a≤10. 答:A種設(shè)備購進數(shù)量至多減少10套. 【小試身手】2.大學(xué)生小劉回鄉(xiāng)創(chuàng)辦小微企業(yè),初期購得原材料若干噸,每天生產(chǎn)相同件數(shù)的某種產(chǎn)品,單件產(chǎn)品所耗費的原材料相同.當生產(chǎn)6天后剩余原材料36噸,當生產(chǎn)10天后剩余原材料30噸.若剩余原材料數(shù)量小于或等于3噸,則需補充原材料以保證正常生產(chǎn). (1)求初期購得的原材料噸數(shù)與每天所耗費的原材料噸數(shù); (2)若生產(chǎn)16天后,根據(jù)市場需求每天產(chǎn)量提高20%,則最多再生產(chǎn)多少天后必須補充原材料? 3.(2015·四川樂山)“六一”期間,小張購進100只兩種型號的文具進行銷售,其進價和售價之間的關(guān)系如下表: (1)小張如何進貨,使進貨款恰好為1300元? (2)要使銷售文具所獲利潤最大,且所獲利潤不超過進貨價格的40%,請你幫小張設(shè)計一個進貨方案,并求出其所獲利潤的最大值. 三、從“基本思想”出發(fā),實施轉(zhuǎn)化 例3 (2015·廣東廣州)已知A=[x2+2x+1x2-1] -[xx-1]. (1)化簡A; (2)當x滿足不等式組[x-1≥0,x-3<0]且x為整數(shù)時,求A的值. 【解析】此題主要考查分式的化簡求值,注意化簡時不能跨度太大而缺少必要的步驟,會失得分點.此題還考查了求一元一次不等式組的整數(shù)解問題,要熟練掌握,解決此類問題的關(guān)鍵在于正確求出不等式的解集,然后再根據(jù)題目中對于解集的限制得到下一步所需要的條件,最后求得不等式組的整數(shù)解即可. 解:(1)A=[x2+2x+1x2-1]-[xx-1] =[x+12x+1x-1]-[xx-1] =[x+1x-1]-[xx-1] =[1x-1]. (2)∵[x-1≥0,x-3<0,]∴[x≥1,x<3,] ∴1≤x<3, ∵x為整數(shù), ∴x=1或x=2. ①當x=1時, ∵x-1≠0, ∴A=[1x-1]中x≠1, ∴當x=1時,A=[1x-1]無意義. ②當x=2時, A=[1x-1]=[12-1]=1. 【小試身手】4.早晨,小明步行到離家900米的學(xué)校去上學(xué),到學(xué)校時發(fā)現(xiàn)眼鏡忘在家中,于是他立即按原路步行回家,拿到眼鏡后立即按原路騎自行車返回學(xué)校.已知小明步行從學(xué)校到家所用的時間比他騎自行車從家到學(xué)校所用的時間多10分鐘,小明騎自行車速度是步行速度的3倍. (1)求小明步行速度(單位:米/分)是多少; (2)下午放學(xué)后,小明騎自行車回到家,然后步行去圖書館,如果小明騎自行車和步行的速度不變,小明步行從家到圖書館的時間不超過騎自行車從學(xué)校到家時間的2倍,那么小明家與圖書館之間的路程最多是多少米? 5.某地2014年為做好“精準扶貧”,投入資金1280萬元用于異地安置,并規(guī)劃投入資金逐年增加,2016年在2014年的基礎(chǔ)上增加投入資金1600萬元. (1)從2014年到2016年,該地投入異地安置資金的年平均增長率為多少? (2)在2016年異地安置的具體實施中,該地計劃投入資金不低于500萬元用于優(yōu)先搬遷租房獎勵,規(guī)定前1000戶(含第1000戶)每戶每天獎勵8元,1000戶以后每戶每天補助5元,按租房400天計算,試求今年該地至少有多少戶享受到優(yōu)先搬遷租房獎勵? 6.某商家預(yù)測一種應(yīng)季襯衫能暢銷市場,就用13200元購進了一批這種襯衫,面市后果然供不應(yīng)求,商家又用28800元購進了第二批這種襯衫,所購數(shù)量是第一批購進量的2倍,但單價貴了10元. (1)該商家購進的第一批襯衫是多少件? (2)若兩批襯衫按相同的標價銷售,最后剩下50件按八折優(yōu)惠賣出,如果兩批襯衫全部售完利潤率不低于25%(不考慮其他因素),那么每件襯衫的標價至少是多少元? (作者單位:江蘇省連云港市海州實驗中學(xué))