樊梅芳

分式方程是初中數學的重要內容之一，對可化為一元一次方程的分式方程的學習，是在掌握了一元一次方程的解法和分式的運算基礎上進行的.其重點是可化為一元一次方程的分式方程的解法及列分式方程解決問題，難點是能判斷方程是否產生增根，理解分式方程產生增根的原因，并能解決有關增根的問題.在實際學習中，關于分式方程的問題出現錯誤較多，現對練習中經常出現的易混易錯點剖析如下.

一、漏掉“檢驗”，解答過程不完整或產生增根

例1 解方程：[1x-3]=[3x].

【錯解】方程兩邊同乘x（x-3），得：

x=3（x-3），

解這個方程，得：

x=[92].

所以x=[92]是原方程的解.

【分析】本題中缺少解分式方程的重要步驟——檢驗.錯解的最后一步改為：“檢驗：當x=[92]時，x（x-3）≠0，所以x=[92]是原方程的解”.

【點評】解分式方程的一般步驟是：（1）去分母，把分式方程轉化為整式方程；（2）解整式方程；（3）檢驗，在求出未知數的值后應檢驗這個值是否使得原方程有意義且成立.

例2 解方程：[x-2x+2]-[x+2x-2]=[16x2-4].

【錯解】方程兩邊同乘（x+2）（x-2），得：

（x-2）2-（x+2）2=16，

解這個方程，得：x=-2.

所以x=-2是原方程的解.

【分析】本題方程中未知數x的取值范圍是x≠-2且x≠2，但是在去分母把分式方程轉化為整式方程后，未知數x的取值范圍擴大為任意實數，所以x=-2是原方程的增根.這里漏掉“檢驗”導致了錯誤.本題錯解的最后一步改為“檢驗：當x=-2時，（x+2）（x-2）=0，x=-2是增根，所以原方程無解”.

【點評】解分式方程時要注意未知數的取值范圍，作為檢驗方程解的條件.

二、常數項漏乘公分母，解答錯誤

例3 解方程：[x2x-5]+[55-2x]=1.

【錯解】方程兩邊同乘（2x-5），得：

x-5=1，

解這個方程，得：x=6.

檢驗：當x=6時，2x-5≠0，所以x=6是原方程的解.

【分析】本題中去分母時方程右邊的常數項“1”沒有乘（2x-5），并且在“檢驗”時沒有發(fā)現x=6不符合原方程。

【點評】此類錯誤很難檢查出來，所以在解可化為一元一次方程的分式方程時，要認真做好每一步，避免出現類似的錯誤.

【正解】方程兩邊同乘（2x-5），得：

x-5=2x-5，

解這個方程，得：x=0.

檢驗：當x=0時，2x-5≠0，

所以x=0是原方程的解.

三、忽略分數線的括號作用，解答錯誤

例4 解方程：[2x-2]+3=[1-x2-x].

【錯解】方程兩邊同乘（x-2），得：

2+3（x-2）=-1-x，

解這個方程，得：x=[34].

檢驗：當x=[34]時，x-2≠0，

所以x=[34]是原方程的解.

【分析】本題方程右邊的分式[1-x2-x]乘（x-2）后應得-（1-x），正確結果為x=[32].

【點評】分式中的分數線具有括號的作用，如果分子是多項式，那么去分母時應用括號把分子括起來.

四、數量關系理解不清，導致用方程解決實際問題錯誤

例5 一輛汽車從甲地開往相距90千米的乙地，出發(fā)后第一個小時按原計劃的速度勻速行駛，一小時后以原來速度的1.5倍勻速行駛，并比原計劃提前20分鐘到達乙地.求前一個小時的行駛速度.

【錯解】設前一個小時的行駛速度為x千米/小時，則一小時后的速度為1.5x千米/小時.

根據題意，得：[90x]-[901.5x]=20

【分析】本題中時間表達式錯誤且時間單位不統(tǒng)一.根據行程問題中的路程、速度、時間三者的關系可得，原計劃的時間為[90x]小時，實際所用的時間應為[1+90-x1.5x]小時，相等關系是：原計劃的時間-實際的時間=20分鐘，但所設未知數的單位是千米/小時，所以應將20分鐘化為[13]小時，正確的方程為：

[90x]-[1+90-x1.5x]=[13]，

解得：x=45.

經檢驗，x=45是所列方程的解，所以前一個小時的行駛速度是45千米/小時.

【點評】用分式方程解決實際問題時，要仔細分析題中的數量關系，并統(tǒng)一各個量的單位，再根據相等關系列出方程，最后還要檢驗所得結果是否符合實際問題的意義.

（作者單位：江蘇省連云港市贛榆區(qū)黑林中學）