鄭志熳，何超林，吳康

（華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，廣東廣州510631）

一類分塊形式的范德蒙行列式的求值

鄭志熳，何超林，吳康

（華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，廣東廣州510631）

對范德蒙行列式進行了推廣，定義了一類分塊形式的范德蒙行列式，并運用行列式的性質(zhì)，分塊矩陣的運算和技巧，Laplace展開定理以及對稱多項式的性質(zhì)，得出該類分塊形式的范德蒙行列式的求值計算公式.

分塊形式的范德蒙行列式；行列式的性質(zhì)；分塊矩陣的運算；Laplace展開定理；對稱多項式

0 引言

范德蒙德行列式是線性代數(shù)中一個很重要的行列式.在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中，范德蒙行列式在行列式計算、微積分、多項式理論、線性變換理論、向量空間理論等方面都有廣泛的應(yīng)用；在其他工程技術(shù)領(lǐng)域如計算機技術(shù)、自動化技術(shù)等也有許多應(yīng)用.如：文獻[1-4]研究第二、三、四類的廣義范德蒙行列式，并得出其化簡求值的結(jié)果；文獻[5-11]對范德蒙行列式進行再推廣并得到相關(guān)的計算公式，依次研究最后一行元素次數(shù)為m（m為大于階數(shù)的正整數(shù)）的第二類范德蒙行列式，第k（k為正整數(shù)）類廣義范德蒙行列式，連續(xù)缺m（m為小于階數(shù)的正整數(shù)）行的廣義范德蒙行列式，間斷缺m（m為小于階數(shù)的正整數(shù)）行的廣義范德蒙行列式，每一行的次數(shù)為互不相關(guān)的正整數(shù)的廣義范德蒙行列式，合流范德蒙行列式；文獻[12-13]分別研究E-范德蒙行列式，分塊形式的范德蒙行列式（準范德蒙行列式）.然而在分塊形式的范德蒙行列式這方面的研究基本沒有繼續(xù)深入.本文在前面所述研究的基礎(chǔ)上，利用分塊矩陣的運算和范德蒙類行列式的良好性質(zhì)，對缺一行的分塊形式的范德蒙行列式（準-跳行范德蒙行列式）進行了研究，并得出其求值計算公式.

1 預(yù)備知識

1.1 定義說明

定義1設(shè)Aj（j＝1，2，3，…，n）為m階方陣（m，n∈N*），E為m階單位矩陣，則稱

為n階缺第i＋1行的準-跳行范德蒙行列式，其中1≤i≤n－1且i∈N*，約定.

定義2設(shè)Ak，Ak＋1，…，Ak＋i－1為兩兩可交換的m階方陣（k∈N，m，i∈N*），定義矩陣的以Ak為首項的i元j次對稱多項式為：

其中j∈N，約定Mk（i，0）＝E.

定義3設(shè)Ak，Ak＋1，…，Ai為兩兩可交換的m階方陣（m，k，i∈N*且k≤i），定義矩陣的i＋1－k元j次初等對稱多項式為：

其中j∈N*，約定σj＝0（j＞k＋i-1）.

1.2 主要引理

引理1[11]設(shè)Aij（i，j＝1，2，3，…，n）和B均為m階方陣（m是任意正整數(shù)，n∈N*），則

引理2[15]設(shè)A，B分別為r，s階方陣，C為s×t矩陣，那么

引理3Mk（i，j）－Mk＋1（i，j）＝（Ak－Ak＋i）·Mk（i＋1，j－1）.（i∈N*，k，j∈N）

證明：由定義2知，

引理4[16]設(shè)Aij（i，j＝1，2，3，…，n）和B為m階方陣（m，n∈N*），E為m階單位矩陣，a，b＝1，2，3，…，n，則

引理5若E是m階單位矩陣（m為任意正整數(shù)），A是[m（n-1）]×[m（n-2）]階矩陣，B、C是[m（n-1）]×m階矩陣，第一個O矩陣是m×[m（n-2）]階矩陣，第二個O矩陣是m階矩陣，則

證明：由Laplace展開定理可得.

注：由于引理6中的fk是在定理2中的推導(dǎo)過程中得到的，因此，本文把補充引理——引理6安排在定理2的證明過程中.

2 主要結(jié)論

定理1設(shè)Ai，Aj（i，j＝1，2，3，…，n）為兩兩可交換的m階方陣（m，n∈N*），E為m階單位矩陣，則

證明：由定義2知

又由行列式性質(zhì)得

由引理1和引理3以及Ai，Aj（i，j＝1，2，3，…，n）兩兩可交換得

由引理2得

同理，以此類推有

定理2設(shè)Aa，Ab（a，b＝1，2，3，…，n）為兩兩可交換的m階方陣（m，n∈N*），E為m階單位矩陣，則

證明：由定義2有

根據(jù)引理3和定理1，上式可化為含有n－i階行列式的式子，如下：

運用定理1的方法，相鄰兩列所對應(yīng)的矩陣作差一次，由引理3和引理1得

此時，上式所得到的行列式的第一行除了最后一項的每個元素不再是零矩陣，而是單位矩陣，故前n－i－1列再次作差得

由引理4知，第n－i－1列乘以－g11加到第n－i列得

由引理5有

再由行列式性質(zhì)，引理1和引理3得

由引理4知，第n－i－2列乘以－g21加到第n－i－1列，有

再由引理5有

令f1＝g11；f2＝g21；f3＝g31；…；fk＝gk1；…（k∈N*且1≤k≤n－i），則對上述fk有以下引理：

其中Mn－i（i＋1，k），Mn－i－t（i＋t＋1，k－t）均滿足定義2，Aa，Ab（a，b＝n－i－t＋1，…，n）為兩兩可交換的m階矩陣，m，n，i∈N*且1≤i≤n－1，k∈N*且1≤k≤n－i.

證明：要證

下面先證，n＝2，3時，對所有滿足條件的i，k成立.

當n＝2時，i＝1，k＝1，左邊＝M1（2，1）＝A1＋A2＝M0（3，1）·σ1（A1，A2）·（-1）0＝右邊，命題成立；

當n＝3時，需證對于i＝0，k＝1，2和對于i＝1，k＝1時，命題成立；

當n＝3，i＝1，k＝1時，左邊＝M2（2，1）＝A2＋A3＝M1（3，0）·σ1（A2，A3）·（-1）0＝右邊；

當n＝3，i＝1，k＝2時，左邊＝M2（2，2）＝A22＋A2A3＋A32

＝（A1＋A2＋A3）（A2＋A3）－（A1A2＋A1A3＋A2A3）

＝M1（3，1）·σ1（A2，A3）·（-1）0＋M0（3，0）·σ2（A1，A2，A3）·（-1）1＝右邊；

當n＝3，i＝2，k＝1時，

左邊＝M2（3，1）＝A1＋A2＋A3＝M1（4，0）·σ1（A1，A2，A3）·（-1）0＝右邊；

所以，當n＝2，3時，對所有滿足條件的i，k命題成立.

再證，若n＝n'時命題成立，則當n＝n'＋1時命題也成立.

假設(shè)n＝n'時命題成立，則

1）由D（i，n'）與D（i，n'+1）行列式的結(jié)構(gòu)知，當n＝n'＋1時，

2）下證i＝n'，k＝n'＋1－i＝n'＋1－n'＝1時上式也成立.

當i＝n'，k＝1時，左邊＝M1（n'＋1，1）＝A1＋A2＋A3＋…＋An'＋1

＝M0（n'＋2，0）·σ1（A1，A2，A3，…，An'＋1）·（-1）0＝右邊；

對于1≤i≤n'，1≤k≤n'＋1－i成立.

故由1）和2）得，當n＝n'＋1時命題也成立.

從而由上述n＝2，3時對所有滿足條件的i，k命題成立，由數(shù)學(xué)歸納法可得，對于任意正整數(shù)n（n≥3），命題成立.引理6證畢.

故由引理5知，fk＝σk（An－k－i＋1，…，An）（-1）k－1，故fn－i＝σn－i（A1，A2，…，An）（-1）n－i－1，通過遞推可得，

定理2證畢.

解：由A1，A2，A3，A4可交換及定理3得：

參考文獻

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Calculation of a K ind of Partitioned Vandermonde Determ inant

ZHENG Zhiman,HE Chaolin,WU Kang
（School of Mathematics,South China Normal University,Guangzhou 510631,Guangdong,China）

The calculation of Vandermonde Determinant is generalized,giving the definition of a kind of partitioned Vandermonde determinant.The calculating formula is obtained by using the property of determinant,methods and skills of partitioned matrices,Laplace expansion,and the property of symmetrical polynomial.

partitioned Vandermonde determinant;property of determinant;operation of partitioned matrices;Laplace expansion;symmetrical polynomial

O151.2

A

1001-4217（2016）04-0040-09

2015-11-11

鄭志熳（1992—），女，漢，廣東揭陽人，研究生在讀，主要研究方向：數(shù)學(xué)教育；E-mail：444751832@qq.com