趙德功

(解放軍91404部隊(duì)，秦皇島 066001)

基于類MUSIC的DOA估計(jì)算法

趙德功

(解放軍91404部隊(duì)，秦皇島 066001)

針對相關(guān)信號波達(dá)方向(DOA)的估計(jì)問題，提出了一種基于最大差值子矩陣的信號DOA估計(jì)方法。對利用Toepllitz構(gòu)造的滿秩矩陣進(jìn)行特征值分解，得到排序后的特征值，并利用特征值的差值實(shí)現(xiàn)滿秩矩陣篩選，同時結(jié)合傳統(tǒng)MUSIC 算法實(shí)現(xiàn)信號DOA估計(jì)。理論分析與仿真實(shí)驗(yàn)表明，本文所提方法在相關(guān)信號DOA估計(jì)方面具有更好的分辨力。

波達(dá)方向估計(jì)；相關(guān)信號；Toeplitz 矩陣

0 引 言

利用傳感器進(jìn)行波達(dá)方向估計(jì)是信號處理的重要研究方向，在雷達(dá)、聲納以及無線通信等領(lǐng)域具有廣泛的應(yīng)用[1-2]?；谠肼曌涌臻g的多重信號分類(MUSIC)、求根形式多重信號分類(Root-MUSIC)以及信號頻率估計(jì)(ESPRIT)[3]等算法可以突破瑞利限，提高DOA估計(jì)的精度，但對于信號個數(shù)未知的情況，子空間算法的應(yīng)用具有局限性?；谧钚【秸`差無失真響應(yīng)(MVDR)算法[4]盡管不需要信號源個數(shù)等先驗(yàn)知識，但瑞利限制會使波達(dá)方向(DOA)的估計(jì)精度降低。上述傳統(tǒng)方法需要相關(guān)矩陣非奇異，即假定信號源間不相關(guān)。但是，多徑傳播、敵方轉(zhuǎn)發(fā)干擾等應(yīng)用場景都可能導(dǎo)致信號源之間相關(guān)。

針對相關(guān)矩陣奇異的問題，目前的主要解決方法有陣列數(shù)據(jù)空間平滑處理(SS)算法[5-6]以及基于Toeplitz子矩陣算法?？臻g平滑處理算法通過對接收數(shù)據(jù)進(jìn)行平滑，使得相關(guān)矩陣滿秩，但只適用于方向矩陣具有范德蒙德結(jié)構(gòu)的陣列。Han在其文章中[7]介紹了Toeplitz算法，但該算法主要有2個缺陷：(1)需要信號源個數(shù)作為先驗(yàn)知識；(2)利用多個相關(guān)子矩陣進(jìn)行DOA估計(jì)并對最終結(jié)果進(jìn)行平均處理，而沒有考慮估計(jì)結(jié)果的性能。Qian在Han基礎(chǔ)上進(jìn)行了改進(jìn)[8]，使得DOA估計(jì)利用多個相關(guān)子矩陣，提高了估計(jì)的準(zhǔn)確度，由于Qian的算法思想類似MVDR，因此DOA估計(jì)精度有所下降。

針對上述方法的不足，本文提出基于Toeplitz子矩陣特征值差值篩選的DOA估計(jì)方法。該方法首先利用二階梯度對信號源個數(shù)進(jìn)行估計(jì)，利用Toeplitz子矩陣的特征值進(jìn)行差值篩選，得到最優(yōu)Toeplitz子矩陣估計(jì)，并結(jié)合MUSIC算法對信號DOA進(jìn)行估計(jì)。本文主要分為4個部分：(1)對傳統(tǒng)的信號模型進(jìn)行介紹；(2)論述本文思路以及創(chuàng)新點(diǎn)；(3)對不同算法進(jìn)行仿真分析；(4)全文總結(jié)。

1 信號模型

假設(shè)P個窄帶遠(yuǎn)場信號源(信號波束方向分別來自θ1、θ2、θ3…θP)以平面波的形式入射到2M+1個陣元組成的均勻直線陣上，且相關(guān)信號源個數(shù)為K。以第1個陣元接收的信號c1(t)作為參考，則第k個相關(guān)信號可以表示為：

ck(t)=ρkejδφkc1(t),k=1,2,…,K

(1)

式中：ρk為信號衰減后的幅度；δφk為第k個信號與參考信號之間的相位差。

對于第m個陣元的接收信號：

(2)

式中：d為相鄰陣元的寬度；nm(t)為第m個陣元接收的均值為零、方差為σ2的高斯白噪聲。

將直線陣列接收的信號寫成矩陣形式:

(3)

(4)

給出x(t)的協(xié)方差矩陣:

(5)

利用Han[8]的結(jié)論，R第m行n列的元素可表示為：

n=-M,…,M

(6)

其中:

sm,i=

(7)

Pi,j具體形式為：

(8)

δm,n為沖激函數(shù):

(9)

選出R中第m列構(gòu)造Toeplitz矩陣:

Rm=

(10)

(11)

由公式(7)可知，Rm為滿秩矩陣。在信號源個數(shù)已知的情況下，將Rm與MUSIC相結(jié)合即可實(shí)現(xiàn)信號DOA估計(jì)。

2 基于類MUSIC的DOA估計(jì)算法

借助矩陣變換容易得到Rm，在Han的文獻(xiàn)中，作者嘗試將不同Rm得到的結(jié)果進(jìn)行平均，從而提高估計(jì)的魯棒性。在信號源個數(shù)未知的情況下將Rm與MUSIC相結(jié)合依然存在2個問題：(1)信號源個數(shù)的確認(rèn)；(2)多個Rm如何實(shí)現(xiàn)更優(yōu)的選擇。

2.1 信號源個數(shù)估計(jì)

本文采用二階差分最大準(zhǔn)則估計(jì)信號源個數(shù)。為了增大特征值之間的差異，同時避免Rm估計(jì)不準(zhǔn)帶來的估計(jì)誤差，定義:

(12)

F可以理解為Rm二階矩的均值。對F進(jìn)行奇異值分解(SVD)：

(13)

當(dāng)信號子空間僅剩噪聲時，特征值曲線二階差分最大，以此對信號源個數(shù)進(jìn)行估計(jì)。當(dāng)信號源個數(shù)小于3時，二階差分不存在，對特征值進(jìn)行首位補(bǔ)零操作以解決該問題。得到信號源個數(shù)估計(jì)：

(14)

2.2 Toeplitz矩陣篩選

信號源個數(shù)估計(jì)以后，將Rm與MUSIC算法結(jié)合即可實(shí)現(xiàn)DOA估計(jì)。區(qū)別于傳統(tǒng)的平均值法[1]。對于樣本數(shù)量有限的情形，Rm為近似估計(jì)，因而不可避免引入估計(jì)誤差。相關(guān)矩陣的特征值與對應(yīng)信號能量成正比例關(guān)系，本文引入篩選準(zhǔn)則：子空間分解后，信號能量與噪聲能量差值越大，則Rm估計(jì)越合理。對Rm進(jìn)行SVD分解：

(15)

定義:

(16)

給出Rm篩選表達(dá)式:

(17)

根據(jù)MUSIC算法，得到類MUSIC譜估計(jì):

(18)

3 仿真試驗(yàn)

仿真實(shí)驗(yàn)主要分為3個部分。首先針對不同陣元數(shù)目的場景，對比分析信號源數(shù)目估計(jì)性能；其次論證基于最大差值篩選相關(guān)矩陣的有效性；最后對比分析信號估計(jì)的性能。假設(shè)存在3個信號源，波達(dá)方向分別為(-35°, 10°, 38°)，對于遠(yuǎn)場窄帶信號，假設(shè)信號功率近似相等，并假設(shè)針對陣元數(shù)目為9(M =4)，噪聲為加性高斯白噪聲，對應(yīng)信噪比分別設(shè)為-10dB、0dB以及10dB。

仿真1：信號源數(shù)目估計(jì)

為了論證信號源個數(shù)估計(jì)的有效性，將本文的算法與直接基于Rm(以m =M為例)的二階差分估計(jì)進(jìn)行對比，每組分別進(jìn)行100次實(shí)驗(yàn)。

表1和表2給出了信號源個數(shù)的估計(jì)結(jié)果，可以看出，對于相關(guān)以及非相關(guān)信號，基于二階差分的信號源數(shù)目估計(jì)算法有效。對比表1和表2，可以看出基于F判定準(zhǔn)則的估計(jì)方式對于相關(guān)信號以及非相關(guān)信號均得到最佳估計(jì)，基于F的判定準(zhǔn)則具有良好的魯棒性。圖1給出了基于Rm準(zhǔn)則估計(jì)錯誤的示意圖。

表1 非相關(guān)信號源個數(shù)估計(jì)準(zhǔn)確率對比

表2 相關(guān)信號源個數(shù)估計(jì)準(zhǔn)確率對比

圖1 基于F以及Rm判定準(zhǔn)則對比示意圖

仿真2：基于最大差值的相關(guān)矩陣篩選

基于Toeplitz矩陣主要解決相關(guān)信號的估計(jì)問題，本文僅針對不同信噪比的相關(guān)信號進(jìn)行對比分析。為了對比分析差值篩選的有效性，分別對比差值最大和最小情況下的估計(jì)。圖2～圖4分別給出信噪比為-10dB、0dB以及10dB的估計(jì)結(jié)果。通過結(jié)果圖對比，可觀察到2個現(xiàn)象：(1)隨著信噪比的增加，最大差值與最小差值的差值逐漸增大；(2)每組實(shí)驗(yàn)結(jié)果都表明，最大差值的估計(jì)優(yōu)于最小差值的估計(jì)。該現(xiàn)象證明了本文思路的有效性。

圖2 -10 dB的相關(guān)信號估計(jì)

圖3 0 dB的相關(guān)信號估計(jì)

圖4 10 dB的相關(guān)信號估計(jì)

仿真3：DOA估計(jì)性能分析

將本文方法分別與MVDR、MUSIC、MeanToeplitz和ModifyToeplitz4種方法進(jìn)行對比，隨機(jī)實(shí)驗(yàn)50次，估計(jì)誤差為隨機(jī)實(shí)驗(yàn)的平均誤差。圖5和圖6分別給出相關(guān)信號DOA估計(jì)以及非相關(guān)信號DOA估計(jì)結(jié)果。結(jié)果表明，對于相關(guān)信號DOA估計(jì)問題，由于MUSIC依賴于信號的非相關(guān)特性構(gòu)造子空間，因而性能下降最為嚴(yán)重。Toeplitz矩陣以犧牲分辨率為代價(jià)，因此對于非相關(guān)信號，該類算法性能相比MVDR和MUSIC的估計(jì)性能都有所下降。對比圖5和圖6，可以觀察到基于最大差值的類MUSIC算法較基于均值的Toeplitz估計(jì)性能更優(yōu)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果論證了本文算法的有效性。

圖5 相關(guān)信號DOA估計(jì)誤差示意圖

圖6 非相關(guān)信號DOA估計(jì)誤差示意圖

4 結(jié)束語

本文在傳統(tǒng)MUSIC算法以及Toeplitz矩陣的基礎(chǔ)上，提出了一種新的DOA估計(jì)算法。該算法主要有2個創(chuàng)新點(diǎn)：(1)提出利用相關(guān)矩陣二階矩和補(bǔ)零操作相結(jié)合的信號源個數(shù)估計(jì)方法；(2)提出利用最大差值對Toeplitz進(jìn)行篩選的方法。實(shí)驗(yàn)結(jié)果證明了本文思路的合理性以及算法的有效性。

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DOA Estimation Algorithm Based on MUSIC-like

ZHAO De-gong

(Unit 91404 of PLA，Qinhuangdao 066001，China)

Aiming at the problem of direction of arrival (DOA) estimation of correlation signal,this paper puts forward a signal DOA estimation method based on the maximal difference value sub-array,performs eigenvalue decomposition to the full rank matrix constructed by Toepllitz,fetches the eigenvalue after sequencing,and uses the difference value of eigenvalue to realize full rank matrix filtration,as well as realizes signal DOA estimation combining with traditional MUSIC algorithm.The theory analysis and simulation experiment show that the method proposed in this paper has better resolution in DOA estimation of correlation signal.

direction of arrival estimation;correlation signal;Toeplita matrix

2016-10-09

TN911.7

A

CN32-1413(2016)06-0069-04

10.16426/j.cnki.jcdzdk.2016.06.015