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        圓中的一個面積關系

        2017-01-17 18:36:09王江鋒
        數(shù)學學習與研究 2016年17期
        關鍵詞:平行線過點線段

        王江鋒

        文[1]對2009年高考理科數(shù)學(湖北卷)20題(Ⅱ)問做了推廣,得到了圓錐曲線的一個面積公式,筆者讀后很感興趣,故而對圓進行了研究,得到了圓中的一個面積公式.

        我們先來證明兩個引理.

        引理1 在四邊形ABCD中,對邊AD∥BC,對角線AC與BD交于E,過E做AD的平行線交CD于P,記△ADP,△APB,△BPC的面積分別為S1,S2,S3,則S22=4S1S3.

        證明 如圖1所示,∵AD∥BC∥EP,

        ∴ADBC=AEEC=DEEB=DPPC,S△ABC=S△DBC.S△ABE=S△DEC.又S△AEP=S△DEP,S△BEP=S△CEP,

        ∴S△APB=S△AEB+S△AEP+S△BEP=S△AEB+S△DEP+S△CEP

        =S△AEB+S△DCE=2S△AEB.

        因此S△AED=S△APD=S1,S△BCE=S△BCP=S3,S△AEB=12S2,

        又 S△AEDS△AEB·S△BCES△AEB=DEEB·ECAE=1,S2△AEB=S△AED·S△BCE=S1S3.

        故而14S22=S1S3,S22=4S1S3.

        引理2 若線段AD∥BC,AC與BD交于E,記△AED,△AEB,△BCE的面積分別為S1,S2,S3,則S22=S1S3.

        證明 S△AEDS△AEB·S△BECS△AEB=DEEB·ECAE=1,S2△AEB=S△AED·S△BEC,S22=S1S3.

        定理1 已知直線l0:Ax+By+C=0和圓K:x2+y2=r2,其中r>0,C≠0.過點P-ACr2,-BCr2的直線交圓K于A,B兩點,分別過點A,B的兩條平行線與直線l0交于點A1,B1,記△AA1P,△A1B1P,△BB1P的面積分別為S1,S2,S3,則S22=4S1S3.

        證明 如圖所示,分別過A,B兩點做直線l0的垂線,垂足分別為A2、B2,線段AB1、BA1交于點Q.設過點P的直線l的傾斜角為θ.則直線l的參數(shù)方程為x=tcosθ-ACr2,y=tcosθ-BCr2.

        設A(t1cosθ-ACr2,t1cosθ-BCr2),A(t2cosθ-ACr2,t2cosθ-BCr2),由于點A,B在圓上,所以

        t1cosθ-ACr22+t1cosθ-BCr22=r2,t2cosθ-ACr22+t2cosθ-BCr22=r2.

        因此,t1,t2是方程tcosθ-ACr22+tcosθ-BCr22=r2的兩個不等根.故而有

        t1+t2=2r2C(Acosθ+Bsinθ),①

        t1t2=r2C2(A2r2+B2r2-C2).②

        由點到直線的距離公式得AA2=t1(Acosθ+Bsinθ)-A2r2+B2r2-C2CA2+B2,BB2=t2(Acosθ+Bsinθ)-A2r2+B2r2-C2CA2+B2.

        又PAPB=t1t2,下證AA2BB2=PAPB.即證AA2BB2=t1t2.

        AA2BB2=t1t2.交叉相乘并去絕對值符號t1≠t22(Acosθ+Bsinθ)t1t2-A2r2+B2r2-C2C2t1+t2=0.

        由①②知上式成立.由上面的引理1可知,S22=4S1S3.

        定理2 已知直線l0:Ax+By+C=0和圓K:(x-a)2+(y-b)2=r2,其中r>0,C≠0,過點P(a-ACr2,b-BCr2)的直線交圓K于A,B兩點,分別過點A,B的兩條平行線與直線l0交于點A1,B1,記△AA1P,△A1B1P,△BB1P的面積分別為S1,S2,S3,則S22=4S1S3.

        【參考文獻】

        [1]沈毅.圓錐曲線中的一個面積關系[J].數(shù)學通報,2010(4).

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