陳洪云，鄭安壽，韓艷玲

(中國(guó)地質(zhì)大學(xué)(武漢) 數(shù)學(xué)與物理學(xué)院， 湖北 武漢 430074)

介質(zhì)中靜電場(chǎng)能量的教學(xué)研究

陳洪云，鄭安壽，韓艷玲

(中國(guó)地質(zhì)大學(xué)(武漢) 數(shù)學(xué)與物理學(xué)院， 湖北 武漢 430074)

靜電場(chǎng)； 能量密度； 極化能； 電介質(zhì)

靜電場(chǎng)是電磁學(xué)中的基本內(nèi)容之一，雖然我們不能直接觀察到靜電場(chǎng)，但它是客觀存在的，是一種物質(zhì)，所以它也有能量，人們對(duì)于靜電場(chǎng)及其能量進(jìn)行了不同情況的研究[1-11].對(duì)于靜電場(chǎng)能量的介紹是大學(xué)物理及電磁學(xué)等教材的必選內(nèi)容，許多資料介紹了靜電場(chǎng)能量的不同公式形式以及推導(dǎo)方法，比如，在文獻(xiàn)[6]中，通過均勻帶電的氣球膨脹來推導(dǎo)真空中的靜電場(chǎng)能量密度，雖然其過程顯得簡(jiǎn)單易懂，但是卻不夠全面，因?yàn)樗鼪]有涉及在介質(zhì)中的情況；另外，在很多資料中也有用電容器模型來推導(dǎo)靜電場(chǎng)的能量[6，8]；當(dāng)然，還有其他嚴(yán)格的靜電場(chǎng)能量推導(dǎo)方法的介紹[7，9]，然而這個(gè)過程對(duì)于一般工科學(xué)生來說，其過程顯得相對(duì)繁瑣.

鑒于以上情況，作者介紹了一種通過相對(duì)比較容易理解的靜電場(chǎng)能量公式

(1)

(式中的電勢(shì)u是去掉電荷dq后所剩下的電荷在電荷dq處產(chǎn)生的電勢(shì))來推導(dǎo)的比較普遍的靜電場(chǎng)公式

(2)

有些文獻(xiàn)，包括教材都有介紹這個(gè)方法[9-11].但是，我們?cè)诖诉M(jìn)行這樣的推導(dǎo)是基于以下原因：1) 我們不僅考慮了體電荷，還考慮了面電荷，這一點(diǎn)是非常必要的，因?yàn)橐环矫婷骐姾梢伯a(chǎn)生靜電場(chǎng)，它也有靜電能量，另外，靜電場(chǎng)可能存在的不連續(xù)性要求考慮不同邊界的情況，需進(jìn)行分區(qū)域積分，這就涉及到面電荷；2) 對(duì)于有介質(zhì)的情況，我們不僅考慮了自由電荷，還考慮了極化電荷， 因?yàn)闃O化電荷也會(huì)產(chǎn)生電場(chǎng).

1 一般靜電場(chǎng)能量推導(dǎo)

下面由靜電場(chǎng)能量公式(1)來推導(dǎo)普遍能量公式(2)，分真空和有介質(zhì)的情況：

1.1 真空僅有自由電荷的情形根據(jù)式(1)， 真空中的靜電場(chǎng)能量可以寫為：

(3)

上式中ρf和σf分別表示自由電荷的體密度和面密度，第一項(xiàng)積分號(hào)下標(biāo)vρ表示有體電荷的區(qū)域積分.因?yàn)椋酣尅=ρf和D=ε0E，代入(3)式中，得

(4)

注意到公式(3)中是對(duì)有體電荷的區(qū)域積分，在無體電荷而有電場(chǎng)的區(qū)域▽·D=0.所以(4)式可以變?yōu)閷?duì)有電場(chǎng)的所有區(qū)域積分.又因?yàn)椋酣尅?uD)=▽u·D+u▽·D，所以，(4)式可以變?yōu)椋?/p>

(5)

根據(jù)高斯定理和E=-▽u，(5)式又可以寫為：

(6)

(7)

圖1 區(qū)域1和2的邊界為s，面上的自由電荷面密度為1和2

綜合以上討論，可以得出真空中的靜電場(chǎng)能量為：

(8)

1.2 在介質(zhì)中的情形由式(1)，此時(shí)有自由電荷和極化電荷，所以靜電場(chǎng)能量寫為：

(9)

ρp和σp分別為極化電荷的體密度和面密度.將ρp=-▽·P和▽·D=ρf代入上式(9)中，結(jié)合▽·(uD)=▽u·D+u▽·D和▽·(uP)=▽u·P+u▽·P，再利用高斯定理得，

(10)

(11)

所以，與(9)式中對(duì)應(yīng)的能量為：

(12)

顯然，由于公式(1)所得到的介質(zhì)中的靜電場(chǎng)能量是準(zhǔn)確的，所得到的結(jié)果(12)式僅僅對(duì)應(yīng)有介質(zhì)情況的純靜電場(chǎng)能量，而介質(zhì)中的靜電場(chǎng)能量應(yīng)該還包括電介質(zhì)的極化能[10]：

(13)

所以，介質(zhì)中的靜電場(chǎng)能量為純電場(chǎng)能量加上介質(zhì)的極化能，

(14)

值得注意的是在文獻(xiàn)[10]中，也以同樣的方法推導(dǎo)了靜電場(chǎng)的能量.雖然其考慮了極化電荷的影響，但是沒有考慮面電荷，因此我們認(rèn)為它是不全面的；另外，在推導(dǎo)過程中，其是先讓極化電荷存在，在(1)式中僅僅計(jì)算自由電荷，也可以得到同樣的結(jié)果，所以我們認(rèn)為，這個(gè)證明在反映物理本質(zhì)的過程上不明顯.而在[9]中，雖然計(jì)算了面電荷，但是卻沒有計(jì)算極化電荷，這顯然也是不全面的.

2 小 結(jié)

[1] 吳婷婷，陸肖勵(lì)，蔣永進(jìn). 一個(gè)靜電場(chǎng)問題的若干討論[J].大學(xué)物理，2012,31(1):17-19.

[2] 曹鶴飛，劉尚合，孫永衛(wèi)，等.航天器內(nèi)部孤立導(dǎo)體表面帶電面積效應(yīng)研究[J].物理學(xué)報(bào)，2013,62(14):1-5.

[3] 冀敏，蔣平.帶電導(dǎo)體系的電場(chǎng)能量[J].物理與工程，2015，25(3):34-37.

[4] 盧桂琳，王紹紅，賀仁華.靜電場(chǎng)邊界問題專題教學(xué)方法探索及推廣應(yīng)用[J].大學(xué)教育，2016,2:139-140.

[5] 王繼瑞.靜電能量的計(jì)算分析[J].現(xiàn)代商貿(mào)工業(yè)，2012,10:187.

[6] 張三慧.大學(xué)物理學(xué)[M].北京：清華大學(xué)出版社，2015.

[7] 郭碩鴻.電動(dòng)力學(xué)[M].北京：高等教育出版社，1978.

[8] 梁燦彬，秦光戎，梁竹健.電磁學(xué)[M].北京：高等教育出版社，1980.

[9] 施國(guó)良，張國(guó)雄.宏觀場(chǎng)論[M].北京：中國(guó)地質(zhì)出版社，2011.

[10] 鳳孟琨.靜電場(chǎng)、介質(zhì)和能量[J].蘇州大學(xué)學(xué)報(bào)，1987，3(4):428-434.

[11] 張俊玲，王玲.靜電場(chǎng)中的能量討論[J].山西師大學(xué)報(bào)，1995，9(2):22-24.

Teaching Research of Static Electric Fields Energy of Dielectric

Chen Hongyun, Zheng Anshou, Han Yanling

(School of Mathematics and Physics, China University of Geosciences, Wuhan 430074, China)

static electric fields; energy density; polarization energy; dielectric

2016-07-28

中國(guó)地質(zhì)大學(xué)(武漢)本科教學(xué)工程項(xiàng)目

陳洪云(1977-)，男，江西吉水人，博士、講師，研究方向：導(dǎo)波光學(xué)、非線性光學(xué)，E-mail: jxnuchen@126.com

1004-1729(2016)04-0399-04

G 642.4

A DOl：10.15886/j.cnki.hdxbzkb.2016.0059