宋潔, 張春霞

(西北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院, 甘肅 蘭州 730070)

(X,Y)-Gorenstein 同調(diào)維數(shù)

宋潔, 張春霞

(西北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院, 甘肅 蘭州 730070)

研究(X,Y)-Gorenstein 投射與內(nèi)射模的一些同調(diào)性質(zhì), 給出模的 (X,Y)-Gorenstein 投射與內(nèi)射維數(shù)的等價刻畫.

同調(diào)性質(zhì)；(X,Y)-Gorenstein 投射(內(nèi)射)模; (X,Y)-Gorenstein 投射(內(nèi)射)維數(shù)

Gorenstein 同調(diào)代數(shù)的研究源于 Auslander 和 Bridger[1]的工作, 目前對這一領(lǐng)域的研究已取得了非常豐富的成果(參見文獻(xiàn) [2-6]). 稱R-模M是Gorenstein投射模[2], 如果存在投射R-模的正合序列P=…→P1→P0→P0→P1→…使得M?Im(P0→P0), 且對任意投射R-模Q, HomR(-,Q) 仍保持 序列P的正合性. 對偶地, 可定義Gorenstein內(nèi)射模. 作為對Gorenstein投射與內(nèi)射模的推廣, 2015 年, Pan等[7]對兩個給定的R-模類X與Y, 介紹并研究了 (X,Y)-Gorenstein 投射與內(nèi)射模類, 考察了各種 (X,Y)-Gorenstein 投射模之間的關(guān)系. 筆者繼續(xù)研究 (X,Y)-Gorenstein 投射與內(nèi)射模的一些同調(diào)性質(zhì), 并給出模的 (X,Y)-Gorenstein 投射與內(nèi)射維數(shù)的等價刻畫, 推廣了已有Gorenstein 投射與內(nèi)射模的相關(guān)結(jié)論.

本文中環(huán)R均指有單位元的結(jié)合環(huán), 模均指左R-酉模. 用P表示投射R-模類,I表示內(nèi)射R-模類,FI表示FP-內(nèi)射R-模類,GI表示Gorenstein內(nèi)射R-模類,N表示正整數(shù)集.

1 (X,Y)-Gorenstein 投射與內(nèi)射模的同調(diào)性質(zhì)

定義1.1[4]X,Y是兩個R-模類,M是R-模.

1) 稱正合序列

X=…→X1→X0→M→0

為M的左X-分解, 如果對所有i≥0,Xi∈X.

2) 稱正合序列

Y=0→M→Y0→Y1→…

為M的右Y-分解, 如果對所有i≥0,Yi∈Y.

3) 稱序列Y是HomR(X,-)(HomR(-,X)) 正合的, 如果對任意X∈X, 序列HomR(X,Y)(HomR(Y,X)) 正合.

定義1.2[7]設(shè)X,Y是兩個R-模類且P?X. 稱R-模M是(X,Y)-Gorenstein投射模, 如果存在正合序列

X=…→X1→X0→X0→X1→…

使得:

1) 對所有i0,Xi,Xi∈X;

2)M?Im(X0→X0);

3) 序列X是HomR(-,Y) 正合的.

設(shè)X,Y是兩個R-模類且I?Y. 稱R-模M是 (X,Y)-Gorenstein內(nèi)射模, 如果存在正合序列

Y=…→Y1→Y0→Y0→Y1→…

使得:

1) 對所有i0,Yi,Yi∈Y;

2)M?Im(Y0→Y0);

3) 序列Y是HomR(X,-) 正合的.

記 (X,Y)-Gorenstein投射與內(nèi)射R-模類分別為 (X,Y)-G P與 (X,Y)-G I.

由文獻(xiàn) [7] 可知對偶于關(guān)于 (X,Y)-Gorenstein 內(nèi)射模的每一個結(jié)論都可得 (X,Y)-Gorenstein 投射模的相應(yīng)結(jié)論. 因此, 以下我們只討論關(guān)于 (X,Y)-Gorenstein 內(nèi)射的情形.

注記1.1 1) 根據(jù)定義可知Y?(X,Y)-G I.

2) 序列Y中每個態(tài)射的核, 余核, 象都是 (X,Y)-Gorenstein 內(nèi)射模.

3) 若X=I, Y=I, 則(X,Y)-Gorenstein 內(nèi)射模即通常的 Gorenstein 內(nèi)射模[2].若X=FI, Y=I,則 (X,Y)-Gorenstein 內(nèi)射模即 GorensteinFP-內(nèi)射模[6]或Ding內(nèi)射模[3]. 若X=G I, Y=I,則 (X,Y)-Gorenstein內(nèi)射模為內(nèi)射模[8]. 若I?X, Y=I,則 (X,Y)-Gorenstein 內(nèi)射模為X-Gorenstein 內(nèi)射模[8].

定義1.3 設(shè)X是一個R-模類,M是R-模. 定義M的X內(nèi)射維數(shù)

若這樣的n不存在, 則規(guī)定X-idR(M)=∞.

特別地, 當(dāng)X=(X,Y)-GI時, 用 (X,Y)-GidR(M)表示M的 (X,Y)-GI內(nèi)射維數(shù).

命題1.1 設(shè)M是R-模. 則以下條件等價:

1)M∈(X,Y)-GI.

3) 存在短正合序列 0→K→Y→M→0使得Y∈Y,K∈(X,Y)-GI.

命題1.1的證明 1)?2)?3)由 (X,Y)-Gorenstein 內(nèi)射模的定義得.

…→Y1→Y0→K→0.

因此M存在HomR(X,-) 正合的左Y-分解

…→Y1→Y0→Y→M→0.

用HomR(X,-) 作用于短正合序列 0→K→Y→M→0, 可得長正合序列

根據(jù)命題 1.1 與維數(shù)轉(zhuǎn)移可得以下結(jié)論.

推論1.1 設(shè)R-模M是(X,Y)-Gorenstein 內(nèi)射模. 則對任意具有有限X內(nèi)射維數(shù)的R-模L, 有

命題1.2 設(shè)0→M′→M→M″→0 是R-模的短正合序列. 則以下結(jié)論成立:

1) 若M′,M″∈(X,Y)-GI, 則M∈(X,Y)-GI.

2) 若M′,M∈(X,Y)-GI, 則M″∈(X,Y)-GI.

3) 若R-模類Y關(guān)于直積封閉, 則 (X,Y)-GI關(guān)于直積與直和項封閉.

2) 因為M∈(X,Y)-GI, 所以存在R-模的 短正合序列0→K→Y→M→0 使得Y∈Y,K∈(X,Y)-GI. 考慮以下拉回圖:

因為K,M′∈(X,Y)-GI, 所以由1)知T∈(X,Y)-GI. 再由命題 1.1 3)可得M″∈(X,Y)-GI.

3) 因為Y關(guān)于直積封閉, 所以 (X,Y)-GI也關(guān)于直積封閉. 再由1), 2)及文獻(xiàn)[4]中命題 1.4 可得(X,Y)-GI 關(guān)于直和項封閉.

4) 因為M″∈(X,Y)-GI, 所以存在R-模的短正合序列 0→K→Y→M″→0 使得Y∈Y,K∈(X,Y)-GI. 考慮拉回圖:

2 (X,Y)-Gorenstein 投射與內(nèi)射維數(shù)

根據(jù)命題1.1與維數(shù)轉(zhuǎn)移可得以下結(jié)論.

命題2.1 設(shè)

再次，大學(xué)生基礎(chǔ)水平以及學(xué)習(xí)方法因素。大學(xué)學(xué)習(xí)階段，學(xué)生的學(xué)習(xí)具有很強(qiáng)的自主性、目的性以及選擇性，其學(xué)習(xí)目的多數(shù)是為了未來的發(fā)展或興趣。部分學(xué)生沒有正確認(rèn)識大學(xué)學(xué)習(xí)的特點(diǎn)，從而一直采取高中所用的學(xué)習(xí)方法，在課堂接受知識與課后鞏固知識、拓展知識等方面存在很大的困難，部分學(xué)生還存在嚴(yán)重的偏科現(xiàn)象，在理解知識方面的困難增大。還有部分學(xué)生的學(xué)習(xí)能力較差，其閱讀、分析、理解、推理以及應(yīng)用知識的能力較差，也使得其出現(xiàn)學(xué)業(yè)問題。[2]

0→M→G0→…→Gn-1→Kn→0

是R-模的正合序列. 若每個Gi∈(X,Y)-GI, 則對任意具有有限X內(nèi)射維數(shù)的R-模L及任意i∈, 有?).

定理2.1 設(shè)M是R-模且 (X,Y)-GidR(M)=n<∞. 則存在正合序列

0→M→G→Y→0,

0→G′→Y′→M→0

使得G′,G∈(X,Y)-G I, Y-idR(Y′)≤n, Y-idR(Y)≤n-1(當(dāng)n=0 時,Y=0).

定理2.1的證明 對n進(jìn)行歸納. 當(dāng)n=0 時,M∈(X,Y)-GI.由命題 1.1 3) 知存在正合序列 0→M→M→0→0和0→G′→Y′→M→0 使得Y′∈Y,G′∈(X,Y)-GI.若 (X,Y)-GidR(M)=n>0, 則存在正合序列

0→M→G0→G1→…→Gn→0

使得每個Gi∈(X,Y)-GI. 令K1=Im(G0→G1). 則有正合序列

0→M→G0→K1→0,

0→K1→G1→…→Gn→0.

因此 (X,Y)-GidR(K1)≤n-1. 由歸納假設(shè)知存在正合序列 0→G″→Y″→K1→0 使得Y-idR(Y″)≤n-1,G″∈(X,Y)-GI. 考慮拉回圖:

由命題 1.2 1) 知G∈(X,Y)-GI, 于是存在正合序列 0→G′→L→G→0 使得L∈Y,G′∈(X,Y)-GI.考慮拉回圖:

由上圖中中間一行的正合性可知Y-idR(Y′)≤n. 因此 0→M→G→Y″→0和0→G′→Y′→M→0 即為所需正合序列.

根據(jù)推論 1.1 與定理 2.1 可得以下結(jié)論.

推論2.1 設(shè)M是R-模且(X,Y)-GidR(M)=n<∞. 若Y?X, 則M存在長度為n的HomR(-,(X,Y)-GI)正合的右(X,Y)-GI-分解.

命題2.2 設(shè) 0→M→G0→G1→K→0 是R-模的正合序列. 若G0,G1∈(X,Y)-GI, 則存在以下正合序列

0→M→G→Y→K→0, 0→M→Y′→G′→K→0

使得Y,Y′∈Y,G,G′∈(X,Y)-GI.

命題2.2的證明 因為G1∈(X,Y)-GI, 所以存在短正合序列0→G2→Y→G1→0 使得Y∈Y,G2∈(X,Y)-GI. 令L=Im(G0→G1). 考慮拉回圖:

和拉回圖：

因為G0,G2∈(X,Y)-GI, 所以由命題 1.2 1) 可知G∈(X,Y)-GI. 因此由短正合序列 0→M→G→C→0 與0→C→Y→K→0 即得所需正合序列 0→M→G→Y→K→0, 其中Y∈Y,G∈(X,Y)-GI.

同理, 存在正合序列 0→M→Y′→G′→K→0 使得Y′∈Y,G′∈(X,Y)-GI.

命題2.3 設(shè) (Mi)i∈I是一簇R-模,I是指標(biāo)集. 若R-模類Y關(guān)于直積封閉, 則

(X,Y)-GidR(∏Mi)=sup{(X,Y)-GidR(Mi)|i∈I}.

命題2.3證明 因為 (X,Y)-GP關(guān)于直積封閉, 所以“≤”顯然成立. 因此只需證明“≥”成立即可, 即需證明若M′是M的直和項, 則(X,Y)-GidR(M′)(X,Y)-GidR(M).

設(shè)(X,Y)-GidR(M)=n<∞.對n進(jìn)行歸納. 當(dāng)n=0時,M∈(X,Y)-GI. 由命題1.2的3)知M′∈(X,Y)-GI, 所以 (X,Y)-GidR(M′)=(X,Y)-GidR(M)=0. 若n>0,記M=M′⊕M″. 取正合序列0→M′→I′→K′→0 和0→M″→I″→K″→0, 其中I′,I″∈I. 考慮交換圖:

0 0 0

0 0 0由上圖中中間一列的正合性可知 (X,Y)-GidR(K′⊕K″)=n-1. 因此由歸納假設(shè)得 (X,Y)-GidR(K′)≤(X,Y)-GidR(K′⊕K″)=n-1, 所以(X,Y)-GidR(M′)≤n, 即 (X,Y)-GidR(M′)≤(X,Y)-GidR(M).

以下定理推廣了文獻(xiàn) [4] 中定理 2.22 及文獻(xiàn) [8] 中命題 2.15.

定理2.2 設(shè)M是R-模且(X,Y)-GidR(M)<∞,n是自然數(shù). 則以下條件等價:

1) (X,Y)-GidR(M)≤n.

4) 對每個R-模的正合序列

0→M→G0→…→Gn-1→Kn→0.

若Gi∈(X,Y)-GI,Y?X且Y關(guān)于直積封閉, 則Kn∈(X,Y)-GI.

5) 對任意0≤t≤n的整數(shù)t, 存在R-模的正合序列

0→M→C0→…→Ct→…→Cn→0

使得Ct∈(X,Y)-GI,Ci∈Y(i≠t).

6) 對任意0≤t≤n的整數(shù)t, 存在R-模的正合序列

0→M→C0→…→Ct→…→Cn→0

使得Ct∈Y,Ci∈(X,Y)-GI(i≠t).

7) 對任意1≤t≤n的整數(shù)t, 存在R-模的正合序列

0→M→C0→…→Ct→…→Cn→0

使得Ci∈(X,Y)-GI(0≤i

8) 對任意1≤t≤n的整數(shù)t, 存在R-模的正合序列

0→M→C0→…→Ct→…→Cn→0

使得Ci∈Y(0≤i

定理2.2的證明 1) ? 2) 因為 (X,Y)-GidR(M)≤n, 所以存在正合序列

0→M→G0→…→Gn-1→Gn→0

2)?3)顯然.

3)?4)考慮正合序列

0→Kn→H0→…→Hm-1→Hm→0

4)?1) 顯然.

5)?1) 顯然.

1)?5) 對n進(jìn)行歸納. 當(dāng)n=0時, 結(jié)論顯然成立. 假設(shè)n≥1.因為(X,Y)-GidR(M)≤n, 所以存在正合序列

0→M→G0→G1→…→Gn→0

使得每個Gi∈(X,Y)-GI. 令K1=Im(G0→G1). 則(X,Y)-GidR(K1)≤n-1. 由歸納假設(shè)知存在正合序列

0→K1→C1→…→Ct→…→Cn→0

使得Ct∈(X,Y)-GI(1≤t≤n),Ci∈Y(i≠t). 因此只需證明當(dāng)t=0 時結(jié)論成立即可.考慮正合序列

0→K1→C1→C2→…→Cn→0,

其中C1∈(X,Y)-GI,Ci∈Y(i≠1).令K2=Im(C1→C2). 則有短正合序列0→K1→C1→K2→0, 因此有正合序列0→M→G0→C1→K2→0, 其中G0,C1∈(X,Y)-GI. 再由命題 2.2可知存在正合序列0→M→C0→Y→K2→0 使得Y∈Y,C0∈(X,Y)-GI. 因此存在正合序列

0→M→C0→…→Ct…→Cn→0

使得C0∈(X,Y)-GI,Ci∈Y(i≠0).

類似于1) ?5) 的證明方法可得1)?6),1)?7),1)?8).

推論2.2 設(shè)M是R-模且(X,Y)-GidR(M)<∞. 則有

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(責(zé)任編輯 趙燕)

(X,Y)-Gorenstein homological dimensions

SONG Jie, ZHANG Chunxia

(College of Mathematics and Statistics, Northwest Normal University, Lanzhou 730070, China)

We investigate some basic homological properties of (X,Y)-Gorenstein projective and injective modules and introduce some equivalent characterizations of (X,Y)-Gorenstein projective and injective dimensions of modules.

homologic properties;(X,Y)-Gorenstein projective(injective)module; (X,Y)-Gorenstein projective(injective)dimension

2016-03-27

國家自然科學(xué)基金(11401475)資助

宋潔(1991-)，女，碩士生，E-mail:songjie2728@153.com;zhangcx@nwnu.edu.cn

1000-2375(2017)01-0076-06

O153.3

A

10.3969/j.issn.1000-2375.2017.01.015