劉一鳴，李 杰，劉秀鋒，蘭 洋，杜 瑾

（中北大學(xué)電子測試技術(shù)國防科技重點實驗室，太原030051）

一種加速度計的標(biāo)定補償方法研究*

劉一鳴，李 杰*，劉秀鋒，蘭 洋，杜 瑾

（中北大學(xué)電子測試技術(shù)國防科技重點實驗室，太原030051）

針對微慣性測量組合（MIMU）中的三軸加速度計因為安裝誤差的緣故，會在惡劣的錐運動環(huán)境下出現(xiàn)誤差發(fā)散問題，本文提出一種基于三軸位置速率轉(zhuǎn)臺的靜態(tài)旋轉(zhuǎn)多位置補償標(biāo)定方法。本文通過分析誤差角補償模型來設(shè)計相應(yīng)的標(biāo)定試驗流程，然后利用非線性擬合的數(shù)據(jù)處理方法，準(zhǔn)確計算出標(biāo)度因數(shù)矩陣和加速度計電壓。最后，經(jīng)過標(biāo)定試驗和誤差計算，與十二位置標(biāo)定法對比發(fā)現(xiàn)，本文所設(shè)計的標(biāo)定補償方法能夠?qū)⒄`差小一個數(shù)量級，能有效提高加速度計輸出精度，具有重要的工程實踐意義。

MIMU；安裝誤差；標(biāo)定；標(biāo)度因數(shù)；

慣性導(dǎo)航廣泛運用于姿態(tài)測量、武器制導(dǎo)、車輛導(dǎo)航等軍事與民用等領(lǐng)域，具有廣闊的應(yīng)用前景；其核心部件，MIMU是由三軸互相正交的加速度計和陀螺儀組成的三維慣性測量組合器件。其中加速度計用于敏感載體三軸的比力，其性能好壞對解算載體導(dǎo)航信息的準(zhǔn)確性有直接影響。加速度計通過標(biāo)定補償能有效提高輸出精度，所以進(jìn)行標(biāo)定補償研究具有非常重要的意義。

現(xiàn)階段常用的三軸加速度計十二位置翻轉(zhuǎn)標(biāo)定方法［1-2］，具有易于實現(xiàn)，計算簡便和標(biāo)定試驗用時較短等優(yōu)點，但精度往往并不盡如人意。本文在精度要求較高，且對標(biāo)定時間并不嚴(yán)格限定的條件下，設(shè)計了一種多位置的標(biāo)定試驗和基于非線性擬合的標(biāo)度因數(shù)矩陣計算方法（下文中簡稱為旋轉(zhuǎn)位置法）。經(jīng)過試驗驗證，該方法與十二位置法相比，最終轉(zhuǎn)換得到的比力精度能提高一個數(shù)量級，具有重要的工程實用意義。

1 三軸加計誤差角模型

加計安裝至MIMU基座上時，由于基座支架的加工誤差、加計在安裝過程中產(chǎn)生的安裝誤差角以及慣性元器件真實輸入敏感軸和理想的輸入軸之間的失準(zhǔn)角等因素會導(dǎo)致三軸加速度計的實際輸入軸是一個非直角坐標(biāo)系［3］。所以有必要對MIMU進(jìn)行組合級的標(biāo)定測試，實現(xiàn)斜坐標(biāo)系到直角坐標(biāo)系之間的比力轉(zhuǎn)換。

設(shè)正交直角坐標(biāo)系b系（OXbYbZb）為MIMU中三軸加計理論敏感軸向所構(gòu)成的坐標(biāo)系。三軸加速度計真實輸入軸因為不正交角和安裝誤差角等原因，構(gòu)成一個斜坐標(biāo)系，其原點與b系原點重合，簡計為a系（OXaYaZa）。如圖1所示。

圖1 坐標(biāo)系定義

標(biāo)定的主要任務(wù)就是將在斜坐標(biāo)系下的慣性元器件輸入量測值轉(zhuǎn)換至b系中，即a系比力與b系比力的相互轉(zhuǎn)化［4］。對a系中某一軸加速度計而言，忽略標(biāo)度因數(shù)的非線性和高次分量可以得加計的最簡模型［5］，如下式所示：

式中，i為表示a系中的某一軸（Xa，Ya或Za軸）；Ui為加速度計的輸出電壓，單位為V；ki為是加計標(biāo)度因數(shù)，表征輸出電壓與敏感到的比力之間的關(guān)系，單位為V/gn；aai為加速度計敏感到的比力，單位為gn；Ui0為加計電壓零點，即加速計敏感到的比力為零時的輸出電壓，單位為V。

設(shè)a系上三軸加速度計敏感到的比力為：

同理可設(shè)b系中三軸比力為：

如圖1所示，因為誤差角的存在，必然使得i軸上加計敏感到的比力，能正交分解到b系的3個軸向上［6］；i軸與b系三軸存在夾角設(shè)為γiX、γiY和γiZ。根據(jù)坐標(biāo)變換理論可知，i軸正交分解至b系可用下式表達(dá)：

代入式（1）可得：

推廣到三軸加速度計，寫成矩陣的形式：

定義標(biāo)度因數(shù)矩陣（簡稱K矩陣）為：

上述分析表明三軸組合的加速度計要補償安裝誤差角，完成a系比力向b系比力的轉(zhuǎn)換需要標(biāo)定得到K矩陣。

2 加計標(biāo)定試驗分析

加計標(biāo)定采用三軸位置速率轉(zhuǎn)臺進(jìn)行各個軸向的靜態(tài)旋轉(zhuǎn)多位置試驗。轉(zhuǎn)臺精度遠(yuǎn)高于加速度計精度，所以標(biāo)定過程中忽略轉(zhuǎn)臺的誤差，可以認(rèn)為轉(zhuǎn)臺內(nèi)框或者中框的旋轉(zhuǎn)等同于b系中某一軸的旋轉(zhuǎn)。標(biāo)定時間較短，加計零漂非常小，故忽略不計。

試驗過程中，利用GDL3-WD-ZB三軸位置速率搖擺溫控轉(zhuǎn)臺對MIMU進(jìn)行轉(zhuǎn)臺標(biāo)定試驗。其中，MIMU 3個軸向的加速度計均為SILICON DESIGNS公司的Model 1221L系列加速度計，量程均為±2gn。

2.1 加速度計標(biāo)定試驗設(shè)計

①標(biāo)定之前，按照圖2安裝三軸加速度計至轉(zhuǎn)臺內(nèi)框臺面中心，即X軸垂直于轉(zhuǎn)臺臺面，Y、Z軸與轉(zhuǎn)臺臺面平行。

圖2 三軸加計標(biāo)定安裝圖

②標(biāo)定X軸加速度計時（X做主軸），首先驅(qū)動轉(zhuǎn)臺轉(zhuǎn)動至X、Z軸加速度計軸水平，Y軸加速度計鉛垂向下的位置處，如圖3（a）所示。再驅(qū)動轉(zhuǎn)臺使其繞Zb軸旋轉(zhuǎn)，并使Xb軸在與水平面的夾角為θ1、θ2、θ3、…的多個位置上靜置30 s（本文標(biāo)定試驗時采用0°、15°、30°、…、360°等25個位置）；采集與角度對應(yīng)的輸出電壓U1、U2、U3、…。理論上，Xb靜置于角度θ時，X軸加計輸出的比力應(yīng)該僅含重力分量，為sinθ［7］。

③標(biāo)定Y軸時，驅(qū)動內(nèi)框轉(zhuǎn)動至如圖3（b）所示的位置，即X、Y水平，Z軸豎直向上。再驅(qū)動轉(zhuǎn)臺使MIMU繞Xb軸轉(zhuǎn)動，靜置的角度和時間與標(biāo)定X軸時相同。同理，驅(qū)動轉(zhuǎn)臺旋轉(zhuǎn)至圖3（c）所示得位置，使X軸豎直向上，Y、Z軸水平；再驅(qū)動轉(zhuǎn)臺旋轉(zhuǎn)Y軸。

圖3 加速度計標(biāo)定初始狀態(tài)及轉(zhuǎn)動軸

上述采集的電壓值采樣率為5 000 Hz，每個位置的電壓值以平均值參與計算。

2.2 加速度計標(biāo)定數(shù)據(jù)分析

因為誤差角γ的存在，處于a系中的三軸加速度計敏感到的比力并不僅僅只有重力分量sinθ，而是受γ和θ的共同影響。為了正確的進(jìn)行輸出電壓與重力分量之間的擬合，有必要對按照標(biāo)定試驗得出的輸出信號做出相應(yīng)的分析，建立模型。

首先分析在標(biāo)定X軸過程中，電壓輸出與轉(zhuǎn)臺旋轉(zhuǎn)框靜止角度θ的關(guān)系。轉(zhuǎn)臺靜止時加計僅能敏感到重力分量。標(biāo)定初始階段，Y軸豎直朝下（加速度計輸出為-1gn）；標(biāo)定過程中相當(dāng)于以角度θ旋轉(zhuǎn)Z軸。根據(jù)坐標(biāo)變換理論［8-9］，轉(zhuǎn)臺靜止時，三軸上敏感到的重力分量可以通過下式計算：

根據(jù)式（4）、式（5）以及三軸上的重力分量可知

其中電壓Uij表示標(biāo)定j軸加速度計時，i軸加計的輸出電壓。結(jié)合圖3，依據(jù)相同的分析方法可以得到標(biāo)定Y軸時的電壓輸出與θ的關(guān)系。

同理標(biāo)定Z軸時，存在：

根據(jù)式（5）～式（8）整理成更為一般的形式：

式（9）說明了轉(zhuǎn)臺旋轉(zhuǎn)框靜置角度θ與加速度計輸出電壓之間的函數(shù)關(guān)系。其中C是電壓中余弦分量的系數(shù)Cij組成的矩陣。按照不同的標(biāo)定方式，矩陣C與K矩陣之間的轉(zhuǎn)換矩陣E可能會發(fā)生改變，但正弦項系數(shù)組成的矩陣始終為K矩陣。

2.3 加速度計的十二位置標(biāo)定法

經(jīng)典的十二位置法就是轉(zhuǎn)臺靜置角度僅有0°、90°、180°、270°時的特殊情況，標(biāo)定軸加計在90°和270°敏感到的比力以及輸出的電壓分別為g，-g和U+g和U-g。以下式計算標(biāo)度因數(shù)矩陣和加計零位電壓［10］：

3 三軸加計標(biāo)定實驗驗證

3.1 加速度計誤差角模型驗證

通過上述分析可知，采用旋轉(zhuǎn)位置法進(jìn)行標(biāo)定，加計輸出電壓中存在正弦和余弦分量。標(biāo)度因數(shù)曲線橫坐標(biāo)為重力分量，縱坐標(biāo)為輸出電壓。下面通過式（9）分析曲線形狀。以x=sinθ代入式（9）可知標(biāo)度因數(shù)曲線：

由數(shù)學(xué)理論可知，其函數(shù)表達(dá)式所表示的曲線為平面上一斜橢圓［11］，且橢圓中心位于（0，Uio），如圖4所示。

圖5為以三軸加計標(biāo)定的實驗數(shù)據(jù)畫出的標(biāo)度因數(shù)曲線。圖像以3×3的形式排列，排列順序與K矩陣一致。圖中曲線與理論分析所得到的曲線一致，驗證了前文中理論分析的正確性。

圖4 加計理論輸出電壓曲線

圖5 加計標(biāo)定電壓

3.2 標(biāo)度因數(shù)矩陣的求解及擬合誤差

根據(jù)標(biāo)度因數(shù)的單位V/gn可知，求取標(biāo)度因數(shù)矩陣時，需要進(jìn)行加速度計輸出電壓與對應(yīng)重力分量之間的非線性擬合。但是式（12）形式復(fù)雜，實現(xiàn)擬合困難，同時擬合系數(shù)多，初值難以確定，所以擬合精度也無法保證。相比較而言按照式（9）直接進(jìn)行角度θ與電壓的非線性擬合較為簡單，易于實現(xiàn)。擬合得出正弦項系數(shù)都是K矩陣中的元素。例如標(biāo)定i軸加計時，j軸加計輸出的電壓為U1、U2、U3、…，與對應(yīng)的靜置角度θ1、θ2、θ3、…進(jìn)行擬合，得出的正弦項系數(shù)為K矩陣中的Kij，常數(shù)項為該軸及速度計電壓零點。

非線性擬合的計算借助MATLAB軟件。非線性擬合Nlinfit函數(shù)應(yīng)用時，需要給出所擬合函數(shù)系數(shù)的初值，且初值越精確，擬合速度越快，精度越高。這里可以先用十二位置法求取一次標(biāo)度因數(shù)矩陣和加計零點作為非線性擬合的初值，再代入Nlinfit函數(shù)中進(jìn)行擬合。圖6為最終的擬合結(jié)果和擬合誤差，擬合誤差為擬合曲線與標(biāo)度因數(shù)曲線的差值。

如圖6所示，原始的電壓數(shù)據(jù)與擬合曲線之間的差值普遍在0.5 mV以下，各軸的擬合方差在 10-8～10-6之間，說明非線性擬合結(jié)果較為理想。

式（10）描述了標(biāo)度因數(shù)矩陣與式（9）中標(biāo)度因數(shù)和余弦系數(shù)矩陣C的轉(zhuǎn)換關(guān)系，理論上存在：

圖6 電壓擬合誤差

表1列出了根據(jù)實驗數(shù)據(jù)擬合得出的K矩陣與通過矩陣C計算得到的K矩陣及其差值。

表1 標(biāo)度因數(shù)矩陣計算結(jié)果

如表1所示，最大差值僅為0.35 mV，比K矩陣中的元素小2個數(shù)量級，在誤差允許范圍內(nèi)。上述數(shù)據(jù)說明實驗與理論相符，再次驗證了標(biāo)定模型的正確性。

3.2 標(biāo)定補償結(jié)果

為驗證本文所述標(biāo)定方法的優(yōu)劣，需要進(jìn)行標(biāo)定補償誤差分析。取標(biāo)定過程中采集到的電壓和最終求得的K矩陣，計算加速度計受到的重力分量，與理論值進(jìn)行對比，分析標(biāo)定誤差。誤差越小，說明該種方法計算得出的標(biāo)度因數(shù)矩陣補償能力越好。

圖7是同一組數(shù)據(jù)分別用旋轉(zhuǎn)位置法以及十二位置法得出的K矩陣和僅使用單軸標(biāo)度因數(shù)進(jìn)行計算得出的標(biāo)定誤差曲線。

通過旋轉(zhuǎn)位置法得出的K矩陣標(biāo)定誤差普遍都在0.1 mg～1 mg之間。十二位置法的補償誤差基本在1 mg～3 mg之間。顯然多位置法比十二位置法求得的更接近理論值，具有精度上的優(yōu)勢。

圖8為通過計算X，Y，Z軸加速度計分別處于與水平面夾角為30°時的輸出比力，并與理論值進(jìn)行對比的局部圖像。此時三軸上的理論輸出應(yīng)該均為0.5gn。通過圖像能直觀的看出旋轉(zhuǎn)位置標(biāo)定法優(yōu)于十二位置法。

圖7 標(biāo)度因數(shù)補償誤差對比

圖8 三軸加計補償對比

4 結(jié)束語

MIMU是慣性導(dǎo)航系統(tǒng)中的核心，其中各慣性傳感器輸出的準(zhǔn)確性直接了影響最終導(dǎo)航解算的精確程度［12］。進(jìn)行加速度計標(biāo)定是提高加計輸出精度的重要途徑之一。本文提出一種精度較高的基于轉(zhuǎn)臺的多位置標(biāo)定方法。建立了加速度計的誤差角模型，并分析了在旋轉(zhuǎn)多位置標(biāo)定方法下輸出電壓信號的組成；計算表明實驗數(shù)據(jù)與理論分析契合，驗證了標(biāo)定方法的正確性。經(jīng)過補償誤差分析，說明利用多位置法標(biāo)定，進(jìn)行非線性擬合求出的標(biāo)度因數(shù)矩陣相比十二位置法標(biāo)定得出的標(biāo)度因數(shù)矩陣精度更高，誤差更小，具有較強的工程實用價值。

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劉一鳴（1992-），男，漢族，中北大學(xué)碩士研究生。主要研究方向為MEMS器件誤差補償及導(dǎo)航算法研究等，liu1992326@ 163.com；

李 杰（1976-），男，教授，博士生導(dǎo)師，主要研究方向為微系統(tǒng)集成理論與技術(shù)，慣性感知與控制技術(shù)，組合導(dǎo)航理論，計算幾何與智能信息處理等，Lijie@ nuc.edu.cn。

A Study on Calibration-Compensation Method for Accelerometer

LIU Yiming，LI Jie*，LIU Xiufeng，LAN Yang，DU Jin
（Science and Technology on Electronic Test，North University of China，Taiyuan030051，China）

Aiming at the problem that because of fixing error of the 3-axis accelerometer installed in the micro inertial measurement unit（MIMU）will enlarged in harsh cone movement situation，this paper puts forward a calibrationcompensation method which is based on multi-position static rotation of the 3-axis position speed turntable.According to the establishment of the angle error compensation model to design the completed experiment process of calibration，and finally，calculating calibration factor matrix and accelerometer’s zero voltage accurately based on the method of nonlinear fitting data processing.according to the calibration experiment and error calculation contrast，this error of calibration method is one order of magnitude smaller than the previous one，improving the output accuracy of the accelerometer effectively，having significant engineering application meaning.

MIMU；fixing error；calibration；calibration factor

V241.62

A

1004-1699（2016）12-1846-07

??7230

10.3969/j.issn.1004-1699.2016.12.011

項目來源：國家自然科學(xué)基金項目（51575500）

2016-05-26修改日期：2016-06-23