☉湖北省襄陽市第五中學(xué) 曹標(biāo)平

轉(zhuǎn)化消元盡顯數(shù)學(xué)之神韻

☉湖北省襄陽市第五中學(xué) 曹標(biāo)平

我們在解決數(shù)學(xué)問題時，常把復(fù)雜、生疏、抽象、困難、未知的問題變成簡單、熟悉、具體、容易、已知的問題來解決，這是一種思想方法，也是一種策略.若再能從題目的本身特征出發(fā)，靈活巧妙運用消元法，不僅可以簡化解題過程，而且有利于培養(yǎng)思維能力.

本文以2016年新課標(biāo)Ⅰ卷理數(shù)壓軸題及其一些變式題為例，讓我們一起好好體會把“未知”轉(zhuǎn)化為“已知”、復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為簡單問題的基本數(shù)學(xué)思想方法在導(dǎo)數(shù)類壓軸題中的應(yīng)用.

例1（2016年新課標(biāo)Ⅰ卷理科）已知函數(shù)f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2有兩個零點.

（1）求a的取值范圍；

（2）設(shè)x1，x2是f（x）的兩個零點，證明：x1+x2＜2.

解析：（1）略.

（2）不妨設(shè)x1＜x2，由（1）知x1∈（-∞，1），x2∈（1，+∞），2-x2∈（-∞，1）.

f（x）在（-∞，1）上單調(diào)遞減，所以x1+x2＜2等價于f（x1）＞f（2-x2）.

即證f（2-x2）＜0.

由于f（2-x2）=-x2e2-x2+a（x2-1）2，而f（x2）=（x2-2）ex2+ a（x2-1）2=0，所以f（2-x2）=-x2e2-x2 -（x2-2）ex2

.

設(shè)g（x）=-xe2-x-（x-2）ex，則g′（x）=（x-1）（e2-x-ex）.

所以，當(dāng)x＞1時，g′（x）=0.

而g（1）=0，故當(dāng)x＞1時，g（x）＜0.

從而g（x2）=f（2-x2）＜0，故x1+x2＜2.

點評：本題轉(zhuǎn)化思想主要體現(xiàn)在兩點：①x1，x2本不在f（x）的同一個單調(diào)區(qū)間內(nèi)，但通過移項使得x1和2-x2在f（x）的同一個單調(diào)減區(qū)間內(nèi)；②要證明x1，x2間的關(guān)系，利用分析法轉(zhuǎn)化為證明函數(shù)值間的不等關(guān)系.本題消元法主要體現(xiàn)在利用f（x1）=0直接消去x1和利用f（x2）=0消去參數(shù)a.

例2已知f（x）=在x=-1處的切線方程為ex-y+ e=0.

（1）求實數(shù)a，b的值；

（2）若存在不相等的實數(shù)x1，x2，使得f（x1）=f（x2），求證：x1+x2>0.

解析：（1）由

所以f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞增，在（0，+∞）上單調(diào)遞減，且f（0）=1>0.

不妨設(shè)x1<00.

要證x1+x2>0?x2>-x1?f（x2）

只需證明g（x）<0即可.

g（x）=（x+1）e-x+（x-1）ex（x<0），g′（x）=x（ex-e-x）>0，所以g（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞增，所以g（x）

點評：本題是通過移項的方法將不在同一個單調(diào)區(qū)間內(nèi)的兩個數(shù)轉(zhuǎn)化到同一個單調(diào)區(qū)間內(nèi)來研究，另外直接利用題中條件f（x1）=f（x2）消去x2.

例3已知函數(shù)f（x）=x-alnx，a∈R.

（1）研究f（x）在定義域上的單調(diào)性.

（2）設(shè)函數(shù)f（x）有兩個不同的零點x1，x2，且x1

①求a的取值范圍；

②求證：x1·x2>e2.

解析：（1）x∈（0，+∞），f′（x）=1-

當(dāng)a≤0時，f′（x）>0，所以f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；

當(dāng)a>0時，f（x）在（0，a）上單調(diào)遞減，在（a，+∞）上單調(diào)遞增.

（2）①因為f（x）有兩個不同的零點，由（1）知：

②由①知0

要證x1·x2>e2?lnx1+lnx2>2?>2?x1+x2>2a? x2>2a-x1?f（x2）>f（2a-x1）?f（x1）>f（2a-x1）?f（x1）-f（2ax1）>0.

設(shè)g（x）=f（x）-f（2a-x），x∈（0，a），只需證明g（x）<0即可.所以g（x）在（0，a）上單調(diào)遞減.

所以g（x）>g（a）=0，得證.

點評：首先通過取對數(shù)，將乘積問題轉(zhuǎn)化成和的問題，再通過等價轉(zhuǎn)換將對數(shù)問題轉(zhuǎn)化成我們熟悉的一次多項式問題，最后利用例3的方法完成本題.需要注意的是本題對x2的處理很有講究，如果像例1那樣利用f（x2）=0消去參數(shù)x2，那么后面的數(shù)據(jù)處理會帶來很多麻煩.由于數(shù)學(xué)試題的多樣性和靈活性，我們要合理地設(shè)計好轉(zhuǎn)化的途徑和方法，避免死搬硬套題型.

例4 已知函數(shù)f（x）=xlnx-ax2，若函數(shù)f（x）有兩個極值點x1，x2（x1

證明：因為函數(shù)f（x）有兩個極值點x1，x2，所以f′（x）= lnx-2ax+1=0有兩個不等的實根，所以即直線y=2a與函數(shù)g（x）=的圖像有兩個不同的交點.

所以g（x）的圖像如圖1所示，而直線y=2a與函數(shù)g（x）=的圖像有兩個不同的交點，所以2a∈（0，1），即a∈且

圖1

所以（fx1）=x1lnx1-=x1lnx1-·x21=< 0.

點評：本題通過分離參數(shù)的方法將函數(shù)零點問題轉(zhuǎn)化成直線與函數(shù)圖像交點問題，進而求出a和x1的范圍，再利用代入消元的方法就可以直接消去參數(shù)a.

例5設(shè)f（x）=

（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；

（2）若存在x1，x（2x1

解析：（1）略.

所以x1<1

圖2

消元的目的是：減少變量的個數(shù)，簡化形式，便于計算，在應(yīng)用過程中，體現(xiàn)一種整體思想和轉(zhuǎn)化思想.學(xué)習(xí)和掌握消元法，不但對鞏固基礎(chǔ)知識、提高解題能力有重要作用，而且能為進一步學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)提供幫助.中學(xué)階段常用的消元法有代入消元法、加減消元法、放縮消元法等.

著名的數(shù)學(xué)家、莫斯科大學(xué)教授C.A.雅潔卡婭曾在一次向數(shù)學(xué)奧林匹克參賽者發(fā)表《什么叫解題》的演講時提出：“解題就是把要解題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解過的題.”數(shù)學(xué)的解題過程，就是從未知向已知、從復(fù)雜到簡單的化歸轉(zhuǎn)換過程.

在數(shù)學(xué)操作中實施轉(zhuǎn)化時，我們要遵循熟悉化、簡單化、直觀化、標(biāo)準(zhǔn)化的原則，即把我們遇到的問題，通過轉(zhuǎn)化變成我們比較熟悉的問題來處理；或者將較為煩瑣、復(fù)雜的問題，變成比較簡單的問題；或者比較難以解決、比較抽象的問題，轉(zhuǎn)化為比較直觀的問題，以便準(zhǔn)確把握問題的求解過程，比如數(shù)形結(jié)合法.按照這些原則進行數(shù)學(xué)操作，轉(zhuǎn)化過程省時省力，猶如順?biāo)浦?，?jīng)常滲透等價轉(zhuǎn)化思想，可以提高解題的水平和能力.