鄭 睿，呂文元

(1.上海財經大學公共經濟與管理學院, 上海 200433，2.上海理工大學管理學院, 上海 200093)

?

考慮故障停機的生產控制與維修計劃聯合決策模型

鄭 睿1，呂文元2

(1.上海財經大學公共經濟與管理學院, 上海 200433，2.上海理工大學管理學院, 上海 200093)

通過生產控制與維修計劃協同決策，降低生產成本。首先描述生產過程，分析各項費用。其次，建立了考慮生產過程失控、故障率和故障停時間的生產過程控制、生產計劃優(yōu)化和維修管理聯合優(yōu)化決策的模型。通過模型求解，聯合制定出生產過程檢查策略、生產計劃(經濟生產批量、生產批次)以及維修計劃(PM間隔期)，實現單位時間內總費用最低的目標。再次，案例研究，分析生產過程失控、故障率和故障停機時間對于經濟生產批量、生產過程檢查策略和生產系統維修計劃的影響。該模型從理論上解決了生產過程控制、生產計劃優(yōu)化和維修管理聯合優(yōu)化決策難題，對于指導企業(yè)制定生產計劃和生產系統的檢修計劃，進而提高產品質量、降低生產成本、確保準時交貨都具有指導意義和實用價值。

經濟生產批量；預防維修；生產控制；維修計劃

1 引言

機械制造企業(yè)生產設備的維修費用占制造成本的15-30%，故障停機率高達14.18%[1]，給企業(yè)帶來很大的經濟損失，以及因延期交貨產生的信譽損失。因此，設備維修管理是制造企業(yè)生產管理的重要職能，該職能與生產計劃優(yōu)化、在制品庫存控制、產品質量管理職能一樣，對于降低生產成本、提高產品質量、及時交貨起到至關重要的作用。

從設備維修管理研究的經典文獻中可以看出[2-5]，許多設備維修管理的研究局限于優(yōu)化檢查周期和更新策略，追求設備維修費用最低的目標，僅僅關注設備維修本身[6]，與生產計劃(經濟生產批量和生產批次)、產品質量控制和在制品庫存控制是相互獨立的。近些年來，國際學術界愈來愈重視將設備維修管理與生產計劃、產品質量管理和在制品庫存控制一體化研究[7-8]。

Rosenblatt和Lee[9]和Porteus[10]最早開始研究生產工藝劣化對生產批量大小的影響，隨后Lee和Rosenblatt[11]修正經典的EMQ模型，確定出最優(yōu)的生產批量和工藝設備的檢查計劃。許多研究人員進一步擴展了Lee 和 Rosenblatt[11]的模型，如Lee 和Park[12]考慮缺陷產品的售前返修費用和售后保修費用的差異，研究了劣化生產系統的生產計劃和檢修策略的聯合優(yōu)化問題。Kim等[13]推導出了生產周期和檢查計劃的表達式。

Lee和Rosenblatt[11]的經典模型假定生產系統可靠運行，不會發(fā)生故障。顯然這個假定條件與實際情況不符，Groenevelt等[14]和Makis和Fung[15]放松了這個假定條件，Groenevelt等[14]分析設備故障對生產批量的影響，認為設備故障發(fā)生率越高，生產批量應該相應增加。Groenevelt等[16]進一步考慮安全庫存策略情況下，設備故障發(fā)生率和修理時間對于最優(yōu)生產批量、在制品安全庫存水平的影響。Markis教授等[17-18]研究生產過程失控和設備故障對生產計劃、檢查策略的影響，給出了更具有普適性的EMQ模型。Giri 和 Dohi[19]以及Chakraborty等人[20]都做了類似的研究工作。

最新研究進展：潘爾順和金垚等[21]引入田口損失函數和控制圖，設定控制圖參數并確定經濟生產批量，使得生產總成本最小。Bouslah等[7]研究設備故障率高、產品缺陷率高、并帶有中間緩沖庫存的生產系統，如何確定出生產批量，并制定出產品質量控制策略。Widyadana和Wee[8]研究易腐品在預防維修策略下的經濟生產批量的問題，以及Chakraborty和Giri[22]研究生產過程失控情況下最優(yōu)安全庫存量以及生產策略聯合優(yōu)化決策問題。

這些研究為批量生產計劃與設備維修協同決策提供了很好的思路。但是尚未考慮生產過程失控、設備故障率、維修時間等因素共同作用對于生產批量和生產過程檢查策略問題的影響。事實上，由于生產過程劣化與失控，不得不經常糾正生產過程以控制產品質量。由于生產系統隨機發(fā)生故障，不得不開展預防維修(Preventive Maintenance, PM)活動以減少突發(fā)故障造成的重大停機損失。因此，研究生產過程劣化、設備故障率和故障停機時間這些因素對于生產計劃(經濟生產批量、生產批次)和維修計劃(預防維修間隔期)的影響，聯合優(yōu)化生產計劃、生產過程的檢查計劃以及生產系統的維修計劃，這方面工作仍需要進一步研究。

本文首先描述研究的問題，闡述生產過程，分析生產相關的各項費用，并確定優(yōu)化目標，即聯合制定出最優(yōu)的生產過程檢查策略、生產計劃(經濟生產批量、生產批次)以及維修計劃(PM間隔期)，實現單位時間內總費用最低的目標，見2節(jié)。其次，將生產過程控制、生產計劃制定和生產系統維修管理相結合，建立了考慮故障停機的生產過程控制、生產計劃優(yōu)化和維修管理聯合優(yōu)化決策的模型，見3節(jié)。再次，案例分析，舉例說明生產過程失控、故障率和故障停機時間對于經濟生產批量、生產過程檢查策略和生產系統維修計劃的影響。本文創(chuàng)新之處在于：建立了考慮故障停機因素的生產過程控制、生產計劃優(yōu)化和維修管理聯合優(yōu)化決策的模型。該模型從理論上探討了故障停機如何影響生產計劃優(yōu)化和維修管理聯合優(yōu)化決策。對于指導企業(yè)制定生產計劃、生產系統的檢查和維修計劃，進而提高產品質量、降低生產成本、確保準時交貨都具有指導意義和實用價值。

2 問題描述

與傳統的經濟生產批量(Economic Manufacturing Quantity, EMQ)模型所描述的生產系統一樣，開始生產時庫存為零。由于生產率p大于需求率d，庫存以(p-d)的速率上升。經過生產周期TP時，完成批量Q的生產，庫存也達到最大值。這時停止生產，庫存按需求率d下降。當庫存減少到0時，開始下一周期的生產。

不同之處在于：(1)生產過程是個劣化過程，每次開始生產時，生產過程處于受控狀態(tài)，生產的產品都是合格的。隨著生產的進行，生產過程可能失控，如圖1所示，經過Tc時間后狀態(tài)失控，“”表示狀態(tài)失控。一旦生產過程失控，將生產一定比例的缺陷產品。為減少缺陷產品費用，一方面，在生產運行期間，對生產系統定期檢查，“■”表示檢查活動，每次檢查費用為Ci，在生產周期TP期間的檢查次數為n。另一方面，對缺陷產品進行修復，修復費用為Cd。所有缺陷產品都檢查出來并返修，進而用于消耗。(2)生產系統還會隨機地發(fā)生故障，一旦故障發(fā)生，立即對生產系統進行更新維修，更新維修費用為Cf。當維修時間較長時，即當維修時間y>z2-z1時，發(fā)生缺貨費用，其中(z2-z1)表示庫存量消耗時間。(3)當生產系統發(fā)生故障時，只有將現在庫存量消耗完畢，才開始下一批次的生產。(4)由于生產系統發(fā)生故障所引發(fā)的更新維修費用高，以及由于生產系統沒能及時修復所引發(fā)的缺貨損失費用高。應該盡可能避免生產系統故障的發(fā)生。為了防止生產系統故障停機，m個生產批量后，對生產系統進行預防維修，預防維修為Cp，顯然Cp

圖1 隨機故障發(fā)生和對生產過程周期檢查情況下的經濟生產批量模型

從上述問題描述可以看出，生產相關費用除了EMQ模型涉及的生產準備費用，庫存費用之外，還包括檢查費用，修復費用，更新維修費用，預防維修費用，缺陷產品的返修費用,以及可能發(fā)生的缺貨費用。研究目的是：確定出最佳的經濟生產批量Q*，最優(yōu)檢查次數n*，以及最優(yōu)的生產批次m*，使得單位時間內總費用期望值C(Q,n,m)最低。

3 故障停機情況下的生產計劃、生產過程檢查計劃與維修計劃聯合決策模型

3.1 假定條件

除了EMQ模型所提出假定條件之外，如產品需求率d、生產率p一定的，需求是持續(xù)的，并且p>d；還增加了以下假定條件：

1)生產過程劣化與生產系統隨機發(fā)生故障相互獨立；

2)對生產過程的檢查時間忽略不計，并且失控狀態(tài)下的生產過程，經過檢修后恢復到受控狀態(tài)，且恢復費用Cr為常量，修復時間也忽略不計。

3)生產過程經過一個隨機時間Tc以后開始狀態(tài)失控，Tc服從指數分布，其參數為λc；生產系統發(fā)生故障的時間Td為隨機變量，Td服從威布爾分布，其參數為λd和β；生產系統故障發(fā)生后，故障修理時間為Tr，Tr服從指數分布，其參數為λr。

一般說來，生產過程劣化和設備隨機發(fā)生故障是相關的。由于對生產過程經常檢查，可以及時糾正生產過程的失控狀態(tài)。假定條件1提出二者相互獨立是合理的。假定條件2提出生產過程的檢查時間忽略不計，以及對失控狀態(tài)的生產過程修復時間也忽略不計，這是因為檢查時間和修復時間與生產周期TP相比很小。假定條件3提出生產過程失控后恢復費用Cr為常量，當然也可假定Cr(w)是w的函數，其中w指生產過程從開始失控到被檢查發(fā)現的時間間隔；當w比較小時，假定恢復費用Cr為常量是合理的。假定條件3的有關參數，可以根據故障記錄數據統計分析得出。

3.2 參數定義

p：生產率(個/天)；

d：需求率(個/天，p>d)；

Cs：生產準備費用(元/次)；

h：庫存費用(元/個/天)；

Ci：檢查費用(元/次)；

Cr:將生產過程恢復到“受控”狀態(tài)的費用(元/次)；

Cf：設備故障維修的費用(元/次)；

Cp：設備預防維修的費用(元/次)；

Cd：缺陷產品的修復費用(元/個)；

Cl：缺貨費用(元/個.天)；

α：“失控”狀態(tài)下生產的缺陷產品的比例(%)；

Q：生產批量(個)；

n：生產周期中檢查的次數(次)；

m：生產批次(次)；

Td：生產系統發(fā)生故障時，生產系統的運行時間；

Tc：生產過程處于受控狀態(tài)的時間；

Tr：生產系統發(fā)生故障停機時所化的維修時間；

E(C)：總費用的期望值；

E(T)：周期長度的期望值。

3.3 模型建立

3.3.1 目標函數

根據更新理論[23]，單位時間內總費用的期望值：

(1)

其中，E(C)為總費用期望值；E(T)為周期長度期望值。

3.3.2 周期長度期望值E(T)的計算

首先，計算E(T)。假設生產系統發(fā)生故障的時間為Td，令Td=t。由于存在二種類型的周期，一種類型為長周期，即生產m個生產批次后，生產系統仍正常運行，沒有故障發(fā)生。另一種類型是短周期，即在完成m個生產批次之前，生產系統發(fā)生故障。假定生產系統發(fā)生故障的時間服從f(t)的隨機變量，則：

(2)

其中，z1為設備發(fā)生故障周期內的生產運行時間，令z2為該周期的長度：

(3)

[x]表示x的整數部分，[t·p/Q]表示生產系統發(fā)生故障時，生產系統已經運行的完整的生產批次。

3.3.3 總費用的期望值E(C)的計算

同理，計算周期內總費用的期望值E(C):

(4)

生產準備費用：

(5)

庫存費用：

(6)

每一生產周期內生產過程檢查n次，每次檢查費用為Ci。因此，在t時刻發(fā)生故障時檢查費用：

(7)

生產過程由受控狀態(tài)轉變到失控狀態(tài)服從參數為λc的指數分布，生產系統在t時刻發(fā)生故障時，共進行了[npt/Q]次檢查，因此修復費用為：

(8)

設備一旦處于“失控”狀態(tài)就會生產一部分缺陷產品，缺陷產品占該時間段內生產的總產品的比例為α，兩次檢查間隔期間生產的缺陷產品數的期望值為：

(9)

最后一次檢查與生產系統發(fā)生故障之間的缺陷產品數期望值為：

(10)

單個缺陷產品的修復費用為Cd，由公式(9)、(10)可知，缺陷產品返修費用的期望值為：

(11)

(12)

(13)

將式(2)、式(13)分別代入式(1)，即可求解經濟生產批量Q*，最優(yōu)檢查次數n*，以及最優(yōu)的生產批次m*。

4 利用粒子群算法求解模型

本文利用粒子群算法，求解最優(yōu)的經濟生產批量Q*，最優(yōu)檢查次數n*，以及最優(yōu)的生產批次m*，實現單位時間內總費用最低的優(yōu)化目標。

粒子群算法是模擬鳥群覓食過程中的遷徙和群聚行為面提出一種全局搜索算法。假定由n個粒子組成的種群，X=(X1，X2，…，Xn)，每個粒子是一個D維向量，如第i個粒子可以表示成一個D維的向量Xi=[xi1,xi2,…,xiD]，代表第i個粒子在D維搜索空間中的位置，表示一個問題的潛在解。根據目標函數可計算出每個粒子位置Xi對應的適應度值。第i個粒子的速度記為Vi=[vi1, vi2,…, viD]，其個體極值記為Pibest=[pi1, pi2, …, piD]，種群全局的極值記為Pgbest=[pg1, pg2,…, pgD]。在每一次迭代過程中，粒子通過個體極值和全局極值更新自身的速度和位置，更新模型為[24]：

vi(t+1)=vi(t)+c1×r1×[pbest-xi(t)]+c2×r2×[Pgbest-xi(t)]

(14)

xi(t+1)=xi(t)+rvi(t+1)

(15)

其中，c1和c2為非負常數，稱為加速因子，一般取值c1=c2=2；r1和 r2為分布于[0,1]之間的隨機數。

5 案例分析

假定生產過程處于正常狀態(tài)的時間服從指數分布Fc(t)=1-e-λct，生產系統故障停機的時間服從威布爾分布Fd(t)=1-e-(λdt)β，以及維修時間服從指數分布Fr(t)=1-e-λrt。具體參數為：d=600個/天，p=1000個/天，Cs=100元/次，h=0.5元/個/天，Ci=20元/次，Cr=20元/次，Cd=4元/個，Cf=800元/次，Cl=4元/個，α=0.7，并利用粒子群算法進行求解，計算結果如表1、2所示。

為了簡單起見，首先不考慮缺貨情況，計算結果如表1所示。

從表1中可以看出，隨著缺陷率λc的增加，經濟生產批量Q*比較穩(wěn)定，但是最優(yōu)檢查次數n*增加，單位時間內總費用期望值C(Q,n,m)增大。這是因為缺陷率λc增加時，生產過程由受控狀態(tài)轉變到失控狀態(tài)的可能性增加，進而生產出更多的缺陷產品，導致生產過程的修復費用和缺陷產品費用增加。為控制生產過程轉變到失控狀態(tài)，所投入的檢查次數n*增多，相應的檢查費用增加。由于檢查費用、修復費用和缺陷產品費用增加，因而單位時間內總費用期望值C(Q,n,m)隨著缺陷率λc增加而相應地增加。

進一步觀察發(fā)現：λd=0.1，隨著β增大，生產批次m顯著減少。這是因為：隨著β增大，生產系統故障率增大，需要更多的預防維修活動減少故障損失。

從表2的結果可以看出，隨著故障率λd增加時，雖然生產批量、以及生產周期內的檢查次數基本穩(wěn)定。但是，生產批次m顯著減少。這是因為隨著λd增加，設備故障停機的可能性增加，為減少高額的故障停機維修費用，有必要減少生產批次，做好生產系統的預防維修工作。

接下來，探討不同修理時間參數對于各優(yōu)化變量的影響。不缺貨這一柵的結果是假定維修力量無窮大，一旦生產系統發(fā)生故障立刻恢復，因此不存在缺貨可能。當λr=0.4687，0.9374，1.4061時，隨著故障維修時間平均值增長，生產批次m隨之減少。故障維修時間平均值增長后，一方面缺貨費用增長，另一方面，生產批次m減少，意味著需要更多的PM活動以及生產準備費用。因此單位時間內總費用期望值C(Q,n,m)相應增加。

由此可見，加強對生產過程控制可以有效提高產品質量。加強設備維修管理，減少生產系統故障發(fā)生，可以增加生產批次。同時加強維修力量，減少生產系統故障停機的維修時間，可以有效地提高生產批次，對于確保生產穩(wěn)定性，最終減少總生產費用具有重要意義。當然，具體應用時，生產批量、生產批次還要根據企業(yè)的實際情況，如訂單多少、生產模具壽命等因素作出調整。

表1 λd=0.1且不考慮缺貨情況下的計算結果

表2 當λc=0.2，β=1.5時，不同修理時間參數λr的計算結果

6 結語

根據經典的EMQ模型，考慮生產過程失控、故障率和故障停機造成缺貨等因素，建立了生產過程控制、生產計劃和維修計劃聯合優(yōu)化決策模型，并得出以下幾點結論：(1)隨著生產過程缺陷率λc的增加，經濟生產批量Q*比較穩(wěn)定，檢查次數n*增多，相應地單位時間內總費用期望值C(Q,n,m)增大。(2)隨著故障率λd增加時，生產批次m顯著減少。并且，隨著β增大，生產系統故障次數增加，生產批次m進一步減少，需要更多的PM活動。(3)隨著故障維修時間平均值λr增長，缺貨費用增長，而生產批次m隨之減少，需要更多的PM活動以及生產準備費用。加強生產系統的維修管理，不僅可以減少故障費用，而且可以有效地提高生產批次，對于減少缺貨損失進而降低總生產費用具有意義?？紤]生產過程的檢查時間，以及考慮延遲交貨等因素是而模型進一步研究的方向。

[1] 鄭睿，呂文元. 自動生產線的同步維修模型及實例研究[J]. 中國管理科學,2011, 19(1):119-125.

[2] Barlow R E, Proschan F. Mathematical theory of reliability[M], New York: John Wiley and Sons, Inc., 1965.

[3] Dekker R. Applications of maintenance optimization models: a review and analysis[J]. Reliability Engineering and System Safety, 1996, 51(3): 229-240.

[4] Wang Hongzhou. A survey of maintenance policies of deteriorating systems[J]. European Journal of Operational Research, 2002,139(3): 469-489.

[5] 呂文元，鄭睿.基于時間延遲的維修類型優(yōu)化組合模型及案例分析[J]. 系統工程理論與實踐， 2013，33(7)：1654-1660.

[6] Ahmad R, Kamaruddin S. An overview of time-based and condition-based maintenance in industrial application[J]. Computers & Industrial Engineering, 2012,63(1): 135-149.

[7] Bouslah B， Gharbi A，Pellerin R. Joint optimal lot sizing and production control policy in an unreliable and imperfect manufacturing system[J]. International Journal of Production Economics,2013, 144(1):143-156.

[8] Widyadana G A, Wee H M. An economic production quantity model for deteriorating items with preventive maintenance policy and random machine breakdown[J],International Journal of Systems Science, 2012,43(10): 1870-1882.

[9] Rosenblatt M J, Lee H L. Economic production cycles with imperfect production processes[J]. IIE Transactions, 1986, 18(1): 48-55.

[10] Porteus E L. Optimal lot sizing, process quality improvement and setup cost reduction[J]. Operations Research, 1986, 34(1): 137-144.

[11] Lee H L, Rosenblatt M J. Simultaneous determination of production cycle and inspection schedules in a production systems[J]. Management Science, 1987, 33(9): 1125-1136.

[12] Lee J S, Park K S. Joint determination of production cycle and inspection intervals in a deteriorating production system[J]. Journal of the Operational Research Society, 1991, 42(9): 775-83.

[13] Kim C H， Hong Y， Chang S Y. Optimal production run length and inspection schedules in a deteriorating production process[J]. IIE Transactions, 2002, 33(5):421-426.

[14] Groenevelt H， Pintelon L, Seidmann A. Production batching with machine breakdowns and safety stocks[J]. Operations Research, 1992, 40(5): 959-971.

[15] Makis V, Fung J. An EMQ model with inspections and random machine failures[J]. The Journal of the Operational Research Society, 1998, 49(1): 66-76.

[16] Groenevelt H， Pintelon L, Seidmann A. Production lot sizing with machine breakdowns[J]. Management Science, 1992, 38(1):104-123.

[17] Makis V. Optimal lot sizing / preventive replacement policy for an EMQ model with minimal repairs[J]. International Journal of Logistics: Research and Applications, 1998, 1(2): 173-180.

[18] Makis V. Optimal lot sizing and inspection policy for an EMQ model with imperfect inspections[J]. Naval Research Logistics, 1998,45(2): 165-186.

[19] Giri B C, Dohi T. Exact formulation of stochastic EMQ model for an unreliable production systems[J]. The Journal of the Operational Research Society, 2005, 56 (5): 563-575.

[20] Chakraborty T， Giri B C, Chaudhuri K S. Production lot sizing with process deterioration and machine breakdown under inspection schedule[J]. Omega, 2009, 37(2): 257-271.

[21] 金垚, 倉婷, 潘爾順,等. 基于田口質量損失函數和控制圖設計的經濟生產批量模型[J], 計算機集成制造系統, 2011,17(10):2224-2230.

[22] Chakraborty T， Giri B C. Joint determination of optimal safety stocks and production policy for an imperfect production system[J]. Applied Mathematical Modelling, 2012,36(2):712-722.

[23] Ross S M. 應用隨機過程——概率模型導論[M]. 龔光魯,譯,10版，北京： 人民郵電出版社,2011: 327-333.

[24] 李松，劉力軍，翟曼. 改進粒子群算法優(yōu)化BP神經網絡的短時交通流預測[J]. 系統工程理論與實踐，2012，32(9)：2045-2049.

Modelling of Simultaneous Decision Making of Production Control and Maintenance Schedule in the Context of Failure Downtime

ZHENG Rui1, LV Wen-yuan2

(1 School of Public Economy and Management, Shanghai University of Finance & Economics, Shanghai 200433,China)(2 School of Business, University of Shanghai for Science & Technology, Shanghai 200093, China)

The objective is to make simultaneous decision of the production control and maintenance schedule decreasing the product cost. Firstly, the production system is introduced, its production process is given, and all kinds of cost are listed. Secondly, a model is stabled considering the process deterioration rate, the failure rate of production system and failure downtime, simultaneously making decision of the production process control, production planning and maintenance schedule. The established model is used to determine the inspection number in a production run, the production planning including the determination of economic manufacturing quantity (EMQ), the optimal number of production runs, and the interval of preventive maintenance (PM), and further to realize the objective of minimization of the total cost per unit time. Thirdly, a case study is given, which illustrates those factors, such as the deterioration rate of process, failure rate and downtime occurred by failure, affect the decision of production planning, the inspection policy of process and the maintenance schedule. In a word, this established model not only theoretically guides how to simultaneously decision of the production process control, production planning and maintenance schedule, but also can guide enterprises to formulate the optimal production planning and maintenance schedule and further to improve product quality and to decrease production cost.

economic manufacturing quality (EMQ); preventive maintenance (PM); production control; maintenance schedule

2015-03-06；

2016-10-22

國家自然科學基金資助項目(71471116，71071097)；上海市一流學科資助項目(S1201YLXK)；上海市浦江人才計劃資助(14PJC077)

簡介：鄭睿(1971-)，女(漢族)，哈爾濱人，上海財經大學公共經濟與管理學院，博士，講師，研究方向：資產管理， E-mail: zrui888@263.net.

F273；TP301；

A

1003-207(2016)08-0116-07

10.16381/j.cnki.issn1003-207x.2016.08.014