王中興，陳 晶，蘭繼斌

(廣西大學數(shù)學與信息科學學院，廣西 南寧 530004)

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基于二元語義Archimedean S-模集成算子的群決策方法

王中興，陳 晶，蘭繼斌

(廣西大學數(shù)學與信息科學學院，廣西 南寧 530004)

對于二元語義環(huán)境下的多指標群決策問題，本文采用擴展Archimedean S-模定義二元語義的新運算法則，并基于新運算法則給出對權重進行自適應調(diào)整的二元語義擴展Archimedean S-模集成(TASTA)算子、二元語義擴展Archimedean S-模加權平均(TASTWA)算子和二元語義向量擴展Archimedean S-模加權平均(V-TASTWA)算子。以及提出一種基于TASTWA算子和V-TASTWA算子的群決策方法，并通過實例說明決策方法的可行性與有效性。

二元語義；群決策；Archimedean S-模

1 引言

由于客觀事物的復雜性、不確定性以及人們思維的模糊性，決策者通常采用語言形式(如“好”、“一般”、“差”等語言術語)對事物進行定性的描述。雖然語言術語形式的評價貼近實際，但在實際應用中有時出現(xiàn)語言術語失真等問題。為克服語言術語在實際應用中存在的不足，Herrera[1-2]提出了采用二元組的形式即二元語義表達決策者的評價，因而二元語義在群決策中的應用受到了國內(nèi)外學者廣泛關注[3-13]。

目前，基于二元語義的群決策方法的研究主要集中在以下兩個方面：一方面是研究二元語義的集成算子[2,4-7]。Herrera和Martinez[2]提出二元語義有序加權平均(T-OWA)算子。姜艷萍和樊治平[4]將模糊集成算子中的有序加權幾何(OWG)算子擴展到二元語義有序加權幾何(T-OWG)算子，并進一步分析了TOWA算子和T-OWG算子所具有的性質(zhì)。魏峰等[5]結合T-WA算子和T-OWA算子提出二元語義混合加權平均(T-HWA)算子，以及給出一種基于T-HWA算子的語言群決策方法。張堯和樊治平[6]針對指標值和權重值均為語言評價信息的群決策問題，提出拓展語言有序加權平均(ELOWA)算子，并應用到多指標決策問題中。劉兮等[7]針對具有語言評價信息的多屬性決策問題，提出了二元語義廣義有序加權平均(T-GOWA)算子和二元語義誘導有序加權幾何(T-IOWG)算子。另一方面則是研究指標或?qū)＜覚嘀氐拇_定方法[8-13]。徐天應和干曉蓉[9]基于粗糙集理論處理離散語言信息，提出粗糙集信息熵法確定指標權重的方法，并應用在二元語義多指標群決策中。王曉等[10]針對屬性權重信息未知的情形建立基于離差最大化的目標規(guī)劃模型，得到求解屬性權重公式。周宇峰和魏法杰[11]建立先驗權重評價指標體系和后驗權重的度量準則，針對專家評價信息為模糊判斷矩陣時的情形給出計算后驗權重的方法。張異和魏法杰[12]考慮了語言評價過程中修飾語言的重要性，以及不同專家的猶豫程度對其權重的影響，提出一種組合賦權的方法來確定專家權重。

值得指出的是，Herrera等[2,4-7]定義的二元語義運算法則在實際應用中存在越界現(xiàn)象。為此，本文基于擴展Archimedean S-模定義二元語義的新運算法則，有效地避免二元語義在運算時所出現(xiàn)越界的問題。以及考慮專家評價與群體評價的一致性，對專家權重進行自適應調(diào)整，給出二元語義TASTA算子、TASTWA算子和V-TASTWA算子，進而提出一種基于TASTWA算子和V-TASTWA算子的二元語義群決策方法。最后通過數(shù)值實例驗證方法的可行性與有效性。

2 預備知識

2.1 Archimedean S-模

定義2.1[14-15]二元函數(shù)S:[0,1]×[0,1]→[0,1]被稱為S-模，若S滿足下面條件：

1)(交換律)S(x,y)=S(y,x),?x,y∈[0,1]；

2)(結合律)S(x,S(y,z))=S(S(x,y),z),?x,y, z∈[0,1]；

3)(單調(diào)性) 若x≤x′,y≤y′，則S(x,y)≤ S(x′,y′)；

4)(邊界條件)S(0,x)=x,?x∈[0,1]。

定義2.2[14-15](Archimedean條件) 若S-模對任意的x∈(0,1)，都有S(x,x)>x成立，則稱此S-模為Archimedean S-模。

定義2.3[16]稱二元函數(shù)S:[0,τ]×[0,τ]→[0,τ]

(τ>0)為擴展S-模，若S滿足下面條件：

1)(交換律)S(x,y)=S(y,x),?x,y∈[0,τ]；

2)(結合律)S(x,S(y,z))=S(S(x,y),z),?x,y, z∈[0,τ]；

3)(單調(diào)性) 若x≤x′,y≤y′，則S(x,y)≤ S(x′,y′)；

4)(邊界條件)S(0,x)=x,?x∈[0,τ]。

類似的，若擴展S-模對任意的x∈(0,τ)，都有S(x,x)>x成立，則稱此擴展S-模為擴展Archime-dean S-模。

Lan Jibin等[16]指出對任意的擴展Archimedean S-模可表示為：

Sφ(x,y)=φ-1(φ(x)+φ(y))。

(1)

其中φ(t)為一元連續(xù)且嚴格單調(diào)遞增的函數(shù)，滿足條件φ(0)=0,φ(τ)=+。例如，取，則。

2.2 二元語義

二元語義是指采用一個二元組(li,αi)形式來表達專家的評價信息。其中l(wèi)i∈L為語言術語；αi∈[-0.5,0.5)為符號轉(zhuǎn)移值，表示語言術語的集成結果與L集中最貼近的語言術語li的偏差。

定義2.4[1]設語言術語li∈L，則通過函數(shù)?:L→L×[-0.5,0.5)可將li轉(zhuǎn)換為相應的二元語義，即?(li)=(li,0)。

定義2.5[1]設β∈[0,τ]為與語言術語經(jīng)集成后相對應的實數(shù)，則β可通過函數(shù)Δ:[0,τ)→

L×[-0.5,0.5)轉(zhuǎn)換為相應的二元語義，即Δ(β)=(li,αi)。其中：

(2)

以上“round”為四舍五入取整函數(shù)。

1)若i>j，則(li,αi)?(lj,αj)；

2)若i=j，則

①當αi>αj時，則(li,αi)?(lj,αj)；

②當αi=αj時，則(li,αi)=(lj,αj)；

③當αi<αj時，則(li,αi)(lj,αj)。

1)(li,αi)⊕(lj,αj)=Δ(Δ-1(li,αi)+Δ-1(lj,αj))；

2)λ?(li,αi)=Δ(λ(Δ-1(li,αi)))。

為了克服二元語義運算法則所存在的上述缺陷，下文將基于擴展Archimedean S-模，給出一種二元語義的新運算法則。

3 基于擴展Archimedean S-模的二元語義決策方法

3.1 二元語義新運算法則

1)(li,αi)⊕(lj,αj)=Δ(φ-1(φ(Δ-1(li,αi))+φ(Δ-1(lj,αj))))；

2)λ?(li,αi)=Δ(φ-1(λφ(Δ-1(li,αi))))。

其中φ(t)為一元連續(xù)且嚴格單調(diào)遞增的函數(shù)，滿足條件φ(0)=0,φ(τ)=+。

新運算法則具有下列性質(zhì)。

1)(交換律)(li,αi)⊕(lj,αj)=(lj,αj)⊕(li,αi)；

2)(結合律)((li,αi)⊕(lj,αj))⊕(lk,αk)=(li,αi)⊕((lj,αj)⊕(lk,αk))；

3)(數(shù)乘分配律)λ((li,αi)⊕(lj,αj))=λ(li,αi)⊕λ(lj,αj)；

證明1)由定義3.1有：

(li,αi)⊕(lj,αj)=Δ(φ-1(φ(Δ-1(li,αi))+φ(Δ-1(lj,αj))))=(lj,αj)⊕(li,αi)。

2)((li,αi)⊕(lj,αj))⊕(lk,αk)=Δ(φ-1(φ(Δ-1(li,αi))+φ(Δ-1(lj,αj))))⊕(lk,αk)=Δ(φ-1(φ(Δ-1(li,αi))+φ(Δ-1(lj,αj))+φ(Δ-1(lk,αk)))=(li,αi)⊕((lj,αj)⊕(lk,αk))。

3)λ((li,αi)⊕(lj,αj))=λΔ(φ-1(φ(Δ-1(li,αi))+φ(Δ-1(lj,αj))))=Δ(φ-1(λφ(Δ-1(li,αi))+λφ(Δ-1(lj,αj))))=λ(li,αi)⊕λ(lj,αj)。

β=φ-1(φ(Δ-1(li,αi))+φ(Δ-1(lj,αj)))∈[0,τ]。

從而由定義3.1、定義2.5有：

3.2 二元語義集成算子

在實際的群決策問題中，由于專家的專業(yè)水平、工作經(jīng)驗和綜合能力等不同，各專家對評價對象給出的評價往往存在著差異性。因此，為了提高決策的準確性，需要對專家權重進行適當?shù)恼{(diào)整，即對那些與群體評價差異較大或者一致度較低的專家應賦予較小的權重。反之，對與群體評價差異較小或一致度較高的專家應賦予較大的權重。基于此思想，本文以專家評價與群體評價的一致度對專家的權重進行自適應調(diào)整，并提出以下幾種集成算子。

(3)

p((lθ(k),αθ(k)))=1-

(k=1,2,…,h)

(4)

在下文的定義中，均設φ(t)為一元連續(xù)且嚴格單調(diào)遞增的函數(shù)，滿足條件φ(0)=0,φ(τ)=+。

(5)

考慮到被集成的評價具有不同的權重，下面對TASTA算子進行推廣。

(6)

1)(置換不變性) 設(lη(k),αη(k))(k=1,2,…,h)是(lθ(k),αθ(k))(k=1,2,…,h)的一組重排二元語義序列，則

TASTA((lθ(1),αθ(1)),…,(lθ(h),αθ(h)))=TASTA((lη(1),αη(1)),…,(lη(h),αη(h)))

(7)

TASTWA((lθ(1),αθ(1)),…,(lθ(h),αθ(h)))=TASTWA((lη(1),αη(1)),…,(lη(h),αη(h)))

(8)

2)(冪等性) 設(lθ(k),αθ(k))=(lθ,αθ)(k=1,2,…, h)，則：

TASTA((lθ(1),αθ(1)),…,(lθ(h),αθ(h)))=(lθ,αθ)

(9)

TASTWA((lθ(1),αθ(1)),…,(lθ(h),αθ(h)))=(lθ,αθ)

(10)

(lθ-,αθ-)≤TASTA((lθ(1),αθ(1)),…,(lθ(h),αθ(h)))≤(lθ+,αθ+)

(11)

(lθ-,αθ-)≤TASTWA((lθ(1),αθ(1)),…,(lθ(h),αθ(h)))≤(lθ+,αθ+)

(12)

3.3 TASTWA算子的推廣

為適用于多維二元語義信息的集成，下面將TASTWA進行推廣。首先定義二元語義向量的運算法則。

(13)

(14)

(15)

在實際的多指標群決策問題中，TASTA算子、TASTWA算子和V-TASTWA算子通過一致度確定或修正專家的權重與加權平均集成形成群體評價，以提高決策的準確性。

4 基于新集成算子的群決策方法

步驟1 利用轉(zhuǎn)換函數(shù)?(li)=(li,0)，將各專家的語言評價矩陣R(k)轉(zhuǎn)化為二元語義符號評價矩陣B(k)(k=1,2,…,h)。

若各專家關于各指標的權重信息完全未知，則：

其中：

步驟3 利用TASTWA算子對方案Ai關于各指標的群體二元語義評價進行集成，得到各方案Ai的綜合二元語義評價值ci(i=1,2,…,m)，即：

ci=TASTWA(bi1,bi2,…,bin)

步驟4 根據(jù)定義2.7對綜合二元語義評價值ci(i=1,2,…,m)進行排序，從而得到方案的排序。

5 數(shù)值實例

某企業(yè)擬從推選的4種新產(chǎn)品{A1,A2,A3,A4}中選出1種進行開發(fā)。為此，該企業(yè)組織4位評審專家{E1,E2,E3,E4}，從新產(chǎn)品競爭力(G1)、企業(yè)技術開發(fā)能力(G2)、企業(yè)組織執(zhí)行能力(G3)、開發(fā)風險(G4)和開發(fā)效益(G5)等五方面逐一對4種候選產(chǎn)品進行評審，以便確定最佳開發(fā)的新產(chǎn)品。經(jīng)研究專家們決定選取7標度語言評價集L={l0,l1,l2,l3,l4,l5,l6}，依據(jù)考核指標逐一對候選產(chǎn)品進行評價(語言評價集的具體表達視考核指標而定，如對于新產(chǎn)品競爭力(G1)語言評價集L={很弱，弱，稍弱，一般，稍強，強，很強})，其中，考核指標的權重向量為?=(0.25,0.2,0.15,0.15,0.25)T。各專家給出的語言評價矩陣分別如下：

表1 專家E1給出的語言評價矩陣R(1)

表2 專家E2給出的語言評價矩陣R(2)

表3 專家E3給出的語言評價矩陣R(3)

表4 專家E4給出的語言評價矩陣R(4)

下面釆用本文提出的決策方法進行決策。

步驟1 利用轉(zhuǎn)換函數(shù)?(li)=(li,0)，將語言評價矩陣R(k)轉(zhuǎn)化為二元語義符號評價矩陣B(k)(k=1,2,3,4)，

B(1)=

B(2)=

B(3)=

B(4)=

步驟3 利用TASTWA算子對方案Ai(i=1,2,3,4)

各指標下的群體二元語義評價進行集成，得到方案Ai的綜合二元語義評價值：

c1=(l4,-0.33),c2=(l4,-0.11)

c3=(l3,-0.05),c4=(l3,0.13)

步驟4 根據(jù)定義2.7，對綜合二元語義評價值ci(i=1,2,3,4)進行排序得：c2?c1?c4?c3，從而得到方案的排序A2?A1?A4?A3，可見A2為最佳開發(fā)產(chǎn)品。

6 對比與分析

在這一小節(jié)中，將姜艷萍和樊治平等[4,6-7,13,15]中的方法與本文方法進行對比與分析，如下。

從表5可知，本文方法與已有方法明顯的不同之處在于：姜艷萍和樊治平等[4,7,13,15]中決策方法需要事先給定專家的權重，才能進行決策；而在實際的

表5 不同決策方法對比

決策中，給出專家在各指標下的權重往往比較困難，本文方法則可以根據(jù)專家評價與群體評價的一致度來確定專家權重，省去了確定專家權重的復雜環(huán)節(jié)，也降低了人為因素的影響。

其次，對于專家權重確定的情形，姜艷萍和樊治平等[4,7,15]中決策方法直接集成各語言評價信息，其實質(zhì)是一種主觀賦權的集成方法，決策結果的主觀性較大；而本文方法通過專家評價與群體評價的一致度，客觀的對各專家權重進行自適應調(diào)整，能有效減少主觀賦權對決策的影響。丁勇等[13]基于最小偏差法處理主客觀權重的集成，與本文通過一致度調(diào)整主觀權重信息均適應于群體意見分歧較大的群決策問題。

7 結語

本文基于擴展Archimedean S-模處理二元語義信息，定義二元語義的新運算法則，并提出三種二元語義集成算子，以及基于新集成算子提出一種二元語義群決策方法。新運算法則最突出特點是能避免運算法則越界，群決策方法在獲得群體評價時考慮了群體評價的一致度，有利于提高決策的準確性。實例分析的結果表明該方法是可行的。

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Method for Aggregating Two-tuple Linguistic Information Based on Archimedean S-norm and Their Application to Group Decision Making

WANG Zhong-xing，CHEN Jing，LAN Ji-bin

(College of Mathematics and Information Science, Guangxi University, Nanning, Guangxi 530004, China)

In the actual process of multi-attribute decision making (MADM), due to the complexity of objects and the inherent vagueness of human mind, the decision information is usually suitable to be expressed in natural language rather than a real number. However, natural languages always involve uncertainty and ambiguity, so it is difficult to avoid the loss of information in the process of decision making. The more the information loss, the less accurate results of decision are. In order to improve the accuracy of the decision making, it is necessary to correctly deal with linguistic decision information. And triangular norms, t-norms and s-norms and linguistic two-tuple are among the most effective ways to process linguistic information, and in this paper, based on Archimedean s-norm and linguistic two-tuple, some new operational laws of linguistic information are defined by using a continuous and strictly monotone increasing function and its inverse function. The prominent feature of such operations is that the operations are closed. Some main properties of these operations, such as commutativity, associativity and distribution law, are investigated. Moreover, considering the influence of expert weight on decision making, three new aggregation operators, including two-tuple linguistic extended Archimedean s-norm aggregation (TASTA) operator, two-tuple linguistic extended Archimedean s-norm weight averaging (TASTWA) operator and two-tuple linguistic vector extended Archimedean s-norm weight averaging (V-TASTWA) operator, are developed in this paper. All these aggregation operators use the consistency of group judgment to objectively adjust the expert weight and then effectively improve the accuracy of decision making. Later, a method for multi-attribute group decision making problems with two-tuple linguistic information is proposed based on TASTWA operator and V-TASTWA operator, and a numerical example is given to show its effectiveness and reasonability by comparison with other methods. The method not only overcomes the deficiency that the traditional operational laws of two-tuple linguistic information are not closed, but also makes full use of decision information to obtain the weight value and improves the accuracy and credibility of the results.

two-tuple linguistic information；group decision making；Archimedean s-norm

2015-03-02；

2015-07-29

國家自然科學基金資助項目(71261001)；教育部人文社會科學(12YJC630080)；廣西研究生教育創(chuàng)新計劃項目(YCSZ201451)

簡介：陳晶(1990-)，男(漢族)，湖南衡陽人，廣西大學數(shù)學與信息科學學院，碩士研究生，研究方向：優(yōu)化與決策,E-mail: chenjing_gxu@sina.com.

C934

A

1003-207(2016)08-0146-08

10.16381/j.cnki.issn1003-207x.2016.08.018