張希杰

所謂構(gòu)造的思想方法，就是指在對問題進行透徹地分析，對其實質(zhì)進行深刻地了解的基礎上，借助于邏輯分析或長期積累的經(jīng)驗，發(fā)揮高度的想象和創(chuàng)造性，將原來的問題從原來的模式轉(zhuǎn)化為更能反映其本質(zhì)特征的新模式的思想方法。構(gòu)造思想是一種很活躍的創(chuàng)造性思想方法，它能溝通數(shù)學各個不同的分支，甚至還能溝通數(shù)學與其他的學科，實現(xiàn)跨度極大的問題轉(zhuǎn)化，這是一種難度大、規(guī)律不易掌握的高層次的思想方法。歷史上有不少著名的數(shù)學家，如歐幾里得、歐拉、高斯、拉格朗日等人，都曾經(jīng)用“構(gòu)造法”成功地解決過數(shù)學上的難題。數(shù)學是一門創(chuàng)造性的藝術，蘊含著豐富的美，而靈活、巧妙的構(gòu)造令人拍手叫絕，能為數(shù)學問題的解決增添色彩，更具研究和欣賞價值。近幾年來，構(gòu)造法及其應用又逐漸為數(shù)學教育界所重視，在高考和數(shù)學競賽中有著一定的地位。其中以構(gòu)造函數(shù)法、構(gòu)造方程法、構(gòu)造圖形法、構(gòu)造模型法等最為常見。

一、構(gòu)造函數(shù)求解

[例1]已知a>0，b>0，求證：a㏑（a+b）-b

分析：這是一個含有二元變量的對數(shù)不等式，似乎很難找到突破口，我們不妨將求證部分等價變形為a[ln（a+b）-lna]

二、構(gòu)造方程求解

[例2]設實數(shù)a、b、c滿足a2-bc-8a+7=0b2+c2+bc-6a+6=0，求a的取值范圍。

分析：由已知得bc=a2-8a+7b+c=±（a-1），故構(gòu)造方程x2±（a-1）x+a2-8a+7=0

∴△=[±（a-1）]2-4（a2-8a+7）≥0

即a2-10a+9≤0。

∴1≤a≤9

三、構(gòu)造圖形求解

[例3]已知一個三棱錐相對兩棱兩兩相等，且棱長分別為5，，求此三棱錐體積（圖1）

分析：不妨作如圖所示三棱錐A-BCD，直接求體積顯然十分困難。因為圖形不特殊，但能否著眼于相對的棱相等來聯(lián)想有沒有類似這樣的新的圖形呢？于是想到構(gòu)造長方體，長方體的面對角線有這種結(jié)構(gòu)。

如圖：作長方體EFGH-E1F1G1H1由長方體的對稱性不妨設相對的兩條面對角線的長分別為5、則三棱錐G1-E1FH正好是符合題意的四面體，設長方體各棱長分別為x、y、z，則有：

四、構(gòu)造模型求解

[例4]（哥尼斯堡七橋問題）18世紀哥尼斯堡為東普魯士首府，布勒爾河穿城而過，河中有一小島圖3。當?shù)氐木用癯５竭@散步，“如何能不重復地一次走遍這七座橋而返回出發(fā)地呢？”許多人均未成功，這便產(chǎn)生了上著名的“七橋問題”。1735年 歐拉對該問題進行抽象，構(gòu)造出圖論中的“一筆畫”模型（如圖4）才知該問題無解，這一模型的構(gòu)造充分展示出歐拉超人的智慧

從以上各例不難看出，構(gòu)造法是一種極富技巧性和創(chuàng)造性的解題方法，體現(xiàn)了數(shù)學中發(fā)現(xiàn)、類比、化歸的思想，也滲透著猜想、探索、特殊化等重要的數(shù)學方法。運用構(gòu)造法解數(shù)學題可從中欣賞數(shù)學之美，感受解題樂趣，更重要的是可開拓思維空間，啟迪智慧，并對培養(yǎng)多元化思維和創(chuàng)新精神大有裨益。構(gòu)造法體現(xiàn)了數(shù)學發(fā)現(xiàn)的思維特點，“構(gòu)造”不是“胡思亂想”，不是憑空“臆造”，而是要以所掌握的知識為背景，以具備的能力為基礎，以觀察為先導，以分析為武器，通過仔細地觀察、分析、去發(fā)現(xiàn)問題的各個環(huán)節(jié)以及其中的聯(lián)系，從而為尋求解法創(chuàng)造條件。最后還應指出，構(gòu)造法并非是上述題型的唯一解法，并且構(gòu)造法也不只限于本文提到的幾種，對于同一道題既能有幾種構(gòu)造法，也可以用其它方法來解，應注意在學習研究的過程中注意對學生創(chuàng)新性思維的培養(yǎng)，使學生體會知識間的內(nèi)在聯(lián)系和互相轉(zhuǎn)化，能創(chuàng)造性的構(gòu)造解決問題的有力條件，巧妙地解決問題，從而獲得學習的愉悅感和成功的體驗。在數(shù)學競賽輔導過程中，需要長期給學生進行有針對性的數(shù)學思想方法的訓練。其中構(gòu)造法解題的思想，就是一種值得推廣的解題思想方法。通過構(gòu)造，可以建立起各種數(shù)學知識之間的聯(lián)系與相互轉(zhuǎn)化，讓學生在熟練掌握各種數(shù)學知識的前提下交互使用，融會貫通。