金偉新，宋 憑，劉國柱(.電子信息系統(tǒng)復(fù)雜電磁環(huán)境效應(yīng)國家重點(diǎn)實(shí)驗室，河南 洛陽 47003；2.國防大學(xué)信息作戰(zhàn)與指揮訓(xùn)練教研部，北京 0009； 3.西安通信學(xué)院軍事通信指揮系，西安 7006)

基于關(guān)聯(lián)分布函數(shù)的相互依賴網(wǎng)絡(luò)脆弱性分析

金偉新1,2，宋 憑1,3，劉國柱1
(1.電子信息系統(tǒng)復(fù)雜電磁環(huán)境效應(yīng)國家重點(diǎn)實(shí)驗室，河南 洛陽 471003；2.國防大學(xué)信息作戰(zhàn)與指揮訓(xùn)練教研部，北京 100091； 3.西安通信學(xué)院軍事通信指揮系，西安 710106)

首先綜述了國內(nèi)外互依網(wǎng)絡(luò)級聯(lián)脆性的研究現(xiàn)狀，分析目前研究取得的成果與問題，而后在此基礎(chǔ)上，針對目前研究的薄弱環(huán)節(jié)——互依網(wǎng)絡(luò)之間的關(guān)聯(lián)機(jī)制與關(guān)聯(lián)機(jī)理進(jìn)行了深入分析與重點(diǎn)研究，構(gòu)建了基于關(guān)聯(lián)分布函數(shù)的相互依賴網(wǎng)絡(luò)脆弱性分析模型，并給出了互依網(wǎng)絡(luò)脆弱性評估的六類判據(jù)。最后，給出了研究結(jié)論與建議。

互依網(wǎng)絡(luò)；級聯(lián)失效；脆弱性；模型

0 引言

由此可見，對于互相依賴網(wǎng)絡(luò)的脆弱性分析，其主要研究內(nèi)容包括：1)互依網(wǎng)絡(luò)各構(gòu)成網(wǎng)絡(luò)自身拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)及其動力學(xué)特性；2)互依網(wǎng)絡(luò)相互依賴關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)及其動力學(xué)特性；3)互相依賴“網(wǎng)絡(luò)的網(wǎng)絡(luò)”的拓?fù)涮卣骷捌鋭恿W(xué)特性。

我們認(rèn)為，對互依網(wǎng)絡(luò)脆弱性的研究，相對于其他部分研究而言，互依網(wǎng)絡(luò)之間依賴、關(guān)聯(lián)關(guān)系拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)及其動力學(xué)性質(zhì)的分析、研究最為關(guān)鍵。而比較而言，綜述目前的研究進(jìn)展，這一部分的研究也是極其薄弱的部分。

鑒于此，論文重點(diǎn)對互依網(wǎng)絡(luò)相互依賴、關(guān)聯(lián)的網(wǎng)絡(luò)間的連接、依賴結(jié)構(gòu)的拓?fù)淠Ｐ图捌鋭恿W(xué)特性進(jìn)行建模分析，嘗試推進(jìn)目前互依網(wǎng)絡(luò)脆弱性研究局限于耦合強(qiáng)度、一對一連接等過于簡化的、與現(xiàn)實(shí)互依網(wǎng)絡(luò)差異較大的“衡同”依賴等均質(zhì)化假設(shè)，構(gòu)建與實(shí)際依賴、連接多樣化關(guān)系一致的多樣化連接、依賴網(wǎng)絡(luò)模型；在此基礎(chǔ)上，形成脆弱性分析結(jié)果與結(jié)論。

1 基于關(guān)聯(lián)分布函數(shù)的相互依賴網(wǎng)絡(luò)脆弱性建模

為了描述互依網(wǎng)絡(luò)的關(guān)聯(lián)特征，用圖1給出3個互依網(wǎng)絡(luò)A、B、C的內(nèi)部連接與外部依賴關(guān)系。由圖1可以看出，互相依賴網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)之間的關(guān)系包含兩類：同網(wǎng)絡(luò)內(nèi)部節(jié)點(diǎn)之間的連接關(guān)系與不同網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)之間的依賴關(guān)系。依賴關(guān)系是有向的。兩個網(wǎng)絡(luò)可以互相依賴，比如因特網(wǎng)與電力網(wǎng)。

由此可見，互依網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)之間的關(guān)聯(lián)關(guān)系至少存在兩種不同類別，采用傳統(tǒng)單一變量度分布函數(shù)很難給出準(zhǔn)確描述。如何做到既能表現(xiàn)網(wǎng)內(nèi)之間的連接，又能描述不同網(wǎng)絡(luò)之間的依賴關(guān)系，聯(lián)合概率分布函數(shù)模型可能是互依網(wǎng)絡(luò)脆弱性分析建模的首選模型。但這一點(diǎn)，在過去的研究中并沒有獲得很好的關(guān)注和重視。

網(wǎng)絡(luò)A節(jié)點(diǎn)i與網(wǎng)絡(luò)B節(jié)點(diǎn)j各類連接、依賴關(guān)系如圖2。

假設(shè)由A網(wǎng)絡(luò)與B網(wǎng)絡(luò)共同構(gòu)成的互相依賴的大網(wǎng)絡(luò)為Q網(wǎng)絡(luò)，其節(jié)點(diǎn)i的度概率分布函數(shù)為pQ(x，y，z)，其中x是同網(wǎng)絡(luò)內(nèi)部連接度、y是各網(wǎng)絡(luò)指向其他網(wǎng)絡(luò)的出度(被依賴連接)、z是其他網(wǎng)絡(luò)指向它的連接入度(依賴連接)。Q網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)集合分別為N，該集合節(jié)點(diǎn)總數(shù)為n。

基于上述假設(shè)，可得：

N=NA∪NB

(1)

n=nA+nB

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

至此，可以給出節(jié)點(diǎn)i的度概率分布函數(shù)pQ(x,y,z)的計算模型。

對于網(wǎng)絡(luò)A，不同節(jié)點(diǎn)集度聯(lián)合概率分布函數(shù)分別為

(7)

(8)

(9)

(10)

同理，對于網(wǎng)絡(luò)B，不同節(jié)點(diǎn)集度聯(lián)合概率分布函數(shù)分別為

(11)

(12)

(13)

(14)

基于網(wǎng)絡(luò)與概率理論，不難推得式(15)：

(15)

在得到連接、依賴關(guān)聯(lián)的度聯(lián)合概率分布函數(shù)后，可以運(yùn)用生成函數(shù)方法對互依網(wǎng)絡(luò)因故障或遭攻擊后其最大互聯(lián)組件，即分裂后的最大互聯(lián)子網(wǎng)絡(luò))的規(guī)模和分裂組件(分裂的互聯(lián)子網(wǎng)絡(luò))的平均規(guī)模及其臨界閾值條件進(jìn)行建模，并作出分析，獲取有價值的結(jié)論。

對于網(wǎng)絡(luò)A，其各集合節(jié)點(diǎn)對應(yīng)的聯(lián)合度概率分布生成函數(shù)分別為

(16)

(17)

(18)

(19)

同理，對于網(wǎng)絡(luò)B，其各集合節(jié)點(diǎn)對應(yīng)的聯(lián)合度概率分布生成函數(shù)分別為

(20)

(21)

(22)

(23)

從而，在相依網(wǎng)絡(luò)的A網(wǎng)絡(luò)(或B網(wǎng)絡(luò))任選一條邊，該邊將會是如下3種不同類別的邊之一：A網(wǎng)絡(luò)(或B網(wǎng)絡(luò))內(nèi)部節(jié)點(diǎn)互連的邊；A網(wǎng)絡(luò)(或B網(wǎng)絡(luò))指向B網(wǎng)絡(luò)(或A網(wǎng)絡(luò))的邊(B依賴A的邊)；B網(wǎng)絡(luò)(或A網(wǎng)絡(luò))指向A網(wǎng)絡(luò)(或B網(wǎng)絡(luò))的邊(A依賴B的邊)。這3種不同的邊抵達(dá)節(jié)點(diǎn)的度概率分布生成函數(shù)分別為

對于A網(wǎng)絡(luò)，

(24)

(25)

(26)

同理，對于B網(wǎng)絡(luò)，

(27)

(28)

(29)

基于此，可以推導(dǎo)互依網(wǎng)絡(luò)A或B某一節(jié)點(diǎn)因故障或攻擊失效后，因為連接、依賴級聯(lián)引發(fā)連鎖失效，進(jìn)入穩(wěn)定態(tài)后，Q最大互聯(lián)組件(族)規(guī)模S及破碎組件的平均規(guī)模〈s〉。

(30)

(31)

(32)

(33)

(34)

(35)

(36)

由此得，攻擊A網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)或A網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)發(fā)生故障后，網(wǎng)絡(luò)裂解后互聯(lián)組件的平均規(guī)模〈s1〉為

(37)

再由(30)可得：

(38)

所以，有式(39)成立：

(39)

同理，由(31)、(32)可以推得：

(40)

(41)

將(16)～(19)、(39)～(41)式代入式(37)，得：

(42)

同理可得，攻擊B網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)或B網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)發(fā)生故障后，網(wǎng)絡(luò)裂解后互聯(lián)組件的平均規(guī)?！磗2〉為

(43)

由此可見，只要以下條件任何一項得到滿足，式(42)、(43)就會發(fā)散，由A、B網(wǎng)絡(luò)構(gòu)成的互依網(wǎng)絡(luò)就會癱瘓，這說明互依網(wǎng)絡(luò)較之于單一網(wǎng)絡(luò)，其脆弱性表現(xiàn)更加多樣化，倘是這些脆弱點(diǎn)遭遇攻擊，都可能致整體網(wǎng)絡(luò)失能。

這些條件是：

(44)

(45)

(46)

(47)

(48)

(49)

但上述條件達(dá)成，是針對互依網(wǎng)絡(luò)的不同區(qū)域進(jìn)行的：(44)、(47)主要針對互依網(wǎng)絡(luò)各網(wǎng)絡(luò)自身連接，而(45)、(48)重點(diǎn)在于依賴連接關(guān)系，(46)、(49)重點(diǎn)在被依賴關(guān)系。實(shí)際運(yùn)用時，可以視攻擊或防御的成本、難度單獨(dú)或綜合實(shí)施，提高或加強(qiáng)互依網(wǎng)絡(luò)的攻擊或防御效果。

2 基于關(guān)聯(lián)分布函數(shù)的相互依賴網(wǎng)絡(luò)脆弱性模型分析

當(dāng)將式(24)～(29)分別代入式(44)～(49)，可以獲得更清晰的互依網(wǎng)絡(luò)脆弱性分析判據(jù)。

當(dāng)將式(24)、(27)分別代入式(44)、(47)時，分別獲得以下判據(jù)：

(50)

(51)

這就是我們在單一網(wǎng)絡(luò)脆弱性分析時獲得的判據(jù)，此時A、B網(wǎng)絡(luò)各自已經(jīng)癱瘓。

當(dāng)分別將(25)、(26)、(28)、(29)代入(45)、(46)、(48)、(49)時，便得到了互依網(wǎng)絡(luò)相互依賴的脆弱性判據(jù)，而這一點(diǎn)在單一網(wǎng)絡(luò)的脆弱性分析時是不能獲取的。這些判據(jù)為

(52)

(53)

(54)

(55)

盡管推導(dǎo)過程復(fù)雜，但上述判據(jù)的形式是簡潔的。上述判據(jù)表明，互依網(wǎng)絡(luò)的脆弱性主要取決于互依網(wǎng)絡(luò)度關(guān)聯(lián)分布函數(shù)的一階矩與二階矩，這為我們采用何種關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)設(shè)計以利于改善互相依賴網(wǎng)絡(luò)的魯棒性提供了理論指導(dǎo)和數(shù)據(jù)支持。

3 實(shí)例分析

為了探索不同關(guān)聯(lián)分布函數(shù)對互依網(wǎng)絡(luò)脆弱性的影響，在復(fù)雜系統(tǒng)仿真平臺Netlogo上開發(fā)了由指控網(wǎng)絡(luò)、情報網(wǎng)絡(luò)、作戰(zhàn)網(wǎng)絡(luò)和通信網(wǎng)絡(luò)4類互相依賴網(wǎng)絡(luò)構(gòu)成的體系網(wǎng)絡(luò)脆弱性分析軟件，對不同關(guān)聯(lián)分布函數(shù)對體系網(wǎng)絡(luò)的脆弱性影響進(jìn)行了建模與仿真分析。軍事上，體系網(wǎng)絡(luò)是通過通信網(wǎng)絡(luò)將其構(gòu)建、連接為一個可動態(tài)組構(gòu)的整體。我們設(shè)計的關(guān)聯(lián)分布函數(shù)為冪律分布與波松分布混合的復(fù)合分布函數(shù)，這符合大多現(xiàn)實(shí)網(wǎng)絡(luò)的實(shí)際。

(56)

其中，α、x、y、z分別表示兩類分布的混合比、通信節(jié)點(diǎn)網(wǎng)內(nèi)連接度與網(wǎng)間連接出度和連接入度。當(dāng)α= 0時，表示關(guān)聯(lián)分布為冪律分布；當(dāng)α= 1時，表示關(guān)聯(lián)分布為波松分布。

對于波松分布，由于

(57)

(58)

(59)

(60)

其中，λ1、λ2、λ3分別為通信節(jié)點(diǎn)網(wǎng)內(nèi)連接平均度與網(wǎng)間連接平均出度和平均入度，其仿真生成使用ER算法。

對于冪律分布，由于

(61)

(62)

(63)

(64)

其中，m1、m2、m3分別為通信節(jié)點(diǎn)網(wǎng)內(nèi)連接最小度與網(wǎng)間連接最小出度和最小入度，γ1、γ2、γ3分別為通信節(jié)點(diǎn)網(wǎng)內(nèi)連接度分布與網(wǎng)間連接出度和入度分布標(biāo)度指數(shù)，其仿真生成使用BA算法。

運(yùn)用已開發(fā)的基于關(guān)聯(lián)分布函數(shù)互相依賴的體系網(wǎng)絡(luò)脆弱性分析仿真平臺，對α= 1、α= 0、α= 0.5三種不同混合比的體系網(wǎng)絡(luò)，分別使用基于關(guān)聯(lián)分布函數(shù)的度優(yōu)先攻擊與基于常規(guī)指控、傳感節(jié)點(diǎn)優(yōu)先攻擊方法，對體系網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行攻擊，獲得了下列仿真結(jié)果。

當(dāng)α= 1時，攻擊前、后體系網(wǎng)絡(luò)拓?fù)溲莼鐖D3所示，基于關(guān)聯(lián)分布函數(shù)的度優(yōu)先攻擊與基于常規(guī)指控、傳感節(jié)點(diǎn)優(yōu)先攻擊失聯(lián)連邊與失聯(lián)節(jié)點(diǎn)數(shù)值曲線如圖4所示。

當(dāng)α= 0時，攻擊前、后體系網(wǎng)絡(luò)拓?fù)溲莼鐖D5所示，基于關(guān)聯(lián)分布函數(shù)的度優(yōu)先攻擊與基于常規(guī)指控、傳感節(jié)點(diǎn)優(yōu)先攻擊失聯(lián)連邊與失聯(lián)節(jié)點(diǎn)數(shù)值曲線如圖6所示。

當(dāng)α= 0.5時，攻擊前、后體系網(wǎng)絡(luò)拓?fù)溲莼鐖D7所示，基于關(guān)聯(lián)分布函數(shù)的度優(yōu)先攻擊與基于常規(guī)指控、傳感節(jié)點(diǎn)優(yōu)先攻擊失聯(lián)連邊與失聯(lián)節(jié)點(diǎn)數(shù)值曲線如圖8所示。

由以上仿真結(jié)果比對分析不難發(fā)現(xiàn)，無論α= 1、α= 0或α= 0.5何種情形，較之基于非關(guān)聯(lián)分布函數(shù)的攻擊方法，基于關(guān)聯(lián)分布函數(shù)的度優(yōu)先攻擊對相互依賴的體系網(wǎng)絡(luò)的毀傷效果都極為顯著，其中α= 0最顯著，其次α= 0.5，再次α= 1。

4 結(jié)果與結(jié)論

論文提出了基于關(guān)聯(lián)分布函數(shù)的互依網(wǎng)絡(luò)脆弱性建模與分析方法，并理論推導(dǎo)了基于關(guān)聯(lián)分布函數(shù)的互依網(wǎng)絡(luò)脆弱性判定的臨界條件；通過仿真實(shí)驗，基于關(guān)聯(lián)分布函數(shù)的度優(yōu)先攻擊相比較于非關(guān)聯(lián)分布函數(shù)的攻擊方法，攻擊效果更顯著。對于由冪律、波松分布構(gòu)成的混合關(guān)聯(lián)分布函數(shù)，在混合比α= 0時，互依網(wǎng)絡(luò)最脆弱，其次α= 0.5，再次α= 1。

上述研究給我們提供的啟示是：對于互相依賴網(wǎng)絡(luò)的脆弱性研究，我們需要重點(diǎn)關(guān)注互相依賴、互相關(guān)聯(lián)連接的內(nèi)部結(jié)構(gòu)的精細(xì)分析。在兩個互相依賴網(wǎng)絡(luò)的互相依賴、交互的毗連區(qū)、關(guān)聯(lián)部位可能發(fā)現(xiàn)和揭示互依網(wǎng)絡(luò)的關(guān)聯(lián)機(jī)制、結(jié)構(gòu)脆性與動力學(xué)特征。我們下一步工作將結(jié)合不同關(guān)聯(lián)分布函數(shù)的設(shè)計，研究互相依賴網(wǎng)絡(luò)在不同攻擊策略下的級聯(lián)動力學(xué)脆弱性的傳播模式和機(jī)理。

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(責(zé)任編輯 耿金花)

The Analysis for the Vulnerability of the Interdependent and Interconnected Network of Networks Based on the Correlation Degree Distribution Functions

JIN Weixin1,2，SONG Ping1,3，LIU Guozhu1

(1.The State Key Laboratory of Complex Electromagnetic Environment Effects on Electronics and Information System(CEMEE),Luoyang 471003, China;2.The Information Operations and Command Training Department, National Defense University,Beijing 100091,China;3.The Military Communication Comand Department, Xi’an Communication Institute,Xi’an 710106,China)

In this paper, research status quo on the cascading vulnerability of interdependent networks is reviewed firstly. Secondly,its progress and unsolved problem are analyzed.Based on this,the blind area of the present interdependent networks vulnerability research—correlation mechanism and correlation principle of interdependent networks are deeply analyzed and studied,and the vulnerability analysis models which based on the correlation degree distribution functions are built,at the same time,six criteria of interdependent networks vulnerability evaluation are summed up.Lastly,the conclusion and proposal are put forward.

interdependent and interconnected networks;cascade failure; vulnerability; model

10.13306/j.1672-3813.2016.04.002

2014-05-30；

2014-09-13

CEMEE國家實(shí)驗室開放課題基金(CEMEE2014K0201A)；國家自然科學(xué)基金(60974080)

金偉新(1963-),男，河南光山人，副教授，大校，主要研究方向為相互關(guān)聯(lián)與相互依賴網(wǎng)絡(luò)脆弱性、復(fù)雜系統(tǒng)建模與仿真。

N94

A