林泰鳳 范學(xué)基

（1.福州民族中學(xué)，福建福州350600；2.羅源第一中學(xué)，福建福州350600）

一道圓錐曲線教材例題的探究與引申

林泰鳳1 范學(xué)基2

（1.福州民族中學(xué)，福建福州350600；2.羅源第一中學(xué)，福建福州350600）

高中數(shù)學(xué)教材中選用的例題大都值得在解題教學(xué)中進(jìn)行探究與引申。筆者在實(shí)際教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)人教社普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書《數(shù)學(xué)·選修2—1（A版）》第41頁(yè)例3進(jìn)行探究與引申，讓學(xué)生在觸類旁通的過(guò)程中認(rèn)識(shí)到許多知識(shí)間的聯(lián)系，大大提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)了學(xué)生在探究中發(fā)現(xiàn)并提出數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力。

發(fā)散思維；探究學(xué)習(xí)

高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課中，大部分教師的處理策略是通過(guò)組織學(xué)生回憶構(gòu)建章節(jié)知識(shí)體系，用例習(xí)題進(jìn)行考點(diǎn)題型以及方法的講練，以達(dá)到記憶理解知識(shí)和掌握技能方法的應(yīng)試要求，在這個(gè)過(guò)程，雖然有不少教師對(duì)例題進(jìn)行精選并相應(yīng)變式，但多以覆蓋考點(diǎn)題型為主，對(duì)例題的背景探究和引申拓展較少。本文嘗試從一道課本例題的復(fù)習(xí)出發(fā)對(duì)學(xué)生進(jìn)行引導(dǎo)反思逐步深化有關(guān)知識(shí)的認(rèn)識(shí)理解，借以拋磚引玉。

在一節(jié)圓錐曲線復(fù)習(xí)課中，筆者選用了人教社2007年2月第2版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書《數(shù)學(xué)·選修2—1（A版）》中第41頁(yè)例3：如圖1，設(shè)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為(-5,0)，(5,0)。直線AM，BM相交于點(diǎn)M，且它們的斜率之積是，求點(diǎn)M的軌跡方程。

進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生思考，若把結(jié)論1中長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)換成短軸兩端點(diǎn)，結(jié)論還成立嗎？換成一般的過(guò)橢圓中心的弦的兩端點(diǎn)呢？答案是肯定的，讓學(xué)生嘗試證明，參考如下：

設(shè)M(x0,y0)是橢圓=1(a＞b＞0)上任意一點(diǎn)，AB是橢圓的任意一條過(guò)原點(diǎn)的弦，設(shè)

因此有如下推廣結(jié)論：

特別地，若把圓看成橢圓中長(zhǎng)軸長(zhǎng)與短軸長(zhǎng)相等的特殊情形，可得該斜率之積為定值。

圓錐曲線具有概念的統(tǒng)一性，那么橢圓的情形是否可以類比到雙曲線？類似可證得如下結(jié)論：

在得到上述結(jié)論后，再引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行如下聯(lián)想：上述結(jié)論2、3的討論中若設(shè)點(diǎn)M是橢圓（或雙曲線）上任意一點(diǎn)，AB(A,B,M三點(diǎn)不共線)是過(guò)橢圓（或雙曲線）中心O的任意一條弦，取弦BM的中點(diǎn)P，如圖2所示，則OP為△ABM的中位線，故OP∥AM，所以kOP=kAM，則由結(jié)論2、3，有kOP·kBM=kAM·kBM=-或）。因而，由上述討論有如下推論：

結(jié)論2、3概括起來(lái)看就是由過(guò)定點(diǎn)（即中心）得對(duì)應(yīng)連線的斜率的乘積為定值，再引導(dǎo)學(xué)生考慮并探究其逆命題是否成立，也就是若橢圓（或雙曲線）上一點(diǎn)與動(dòng)弦的兩端點(diǎn)的連線的斜率之積為定值，能否得到該弦恒過(guò)定點(diǎn)？事實(shí)上，我們可得如下結(jié)論：

【結(jié)論4】（1）M(x0,y0)是橢圓=1(a＞b＞0)上一定點(diǎn)，A,B是橢圓上異于點(diǎn)M的兩動(dòng)點(diǎn)，若kAM·kBM=m（m為常數(shù)，m≠），則直線AB必過(guò)定點(diǎn)

（2）M(x0,y0)是雙曲線=1(a＞0,b＞0)上一定點(diǎn)，A,B是雙曲線上異于點(diǎn)M的兩動(dòng)點(diǎn)，若kAM·kBM=m（m為常數(shù)，m≠），則直線AB必過(guò)定點(diǎn)

以下證明（1）：

設(shè)a(x1,y1)，B(x2,y2)，則現(xiàn)進(jìn)行坐標(biāo)平移，把點(diǎn)M(x0,y0)移到新坐標(biāo)系的原點(diǎn)O′，即令，則在新坐標(biāo)系XO′Y中，有原橢圓方程可化為，即，又∵點(diǎn)，故原橢圓方程可化為b2X2_2b2x0X+a2Y2+2a2y0Y=0。①設(shè)直線AB的方程為Y=kX+n，由已知點(diǎn)A,B異于點(diǎn)M，得n≠0。將直線AB的方程與方程①聯(lián)立，整理得(b2+a2k2)X2+a(b2x0+a2kn+a2ky0)X+a2n2+2a2y0n=0。

由韋達(dá)定理得，X1+X2=，則，所以直線AB的方程為，故在新坐標(biāo)系XO′Y中，直線AB過(guò)定點(diǎn)，所以在原坐標(biāo)系中，直線AB過(guò)定點(diǎn)（，即點(diǎn)。證畢。

特別地，當(dāng)m=-時(shí)，則直線AB過(guò)原點(diǎn)O；當(dāng)m=-1，且點(diǎn)M為橢圓的左頂點(diǎn)時(shí)，則直線AB過(guò)定點(diǎn)

由此可以輕松解決以下例題：

例1.已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，橢圓C上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為3，最小值為1。

（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）若直線l;y=kx+m與橢圓C相交于A,B（A,B不是左右頂點(diǎn)），且AB為直徑的圓過(guò)橢圓C的左頂點(diǎn)，求證：直線l過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)。

證明如下：

設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，則tanα=kMA=,進(jìn)行坐標(biāo)變換，令X=x+a,Y=y,則 tanα=

由題知直線AB不垂直于x軸（否則α+β=π），設(shè)直線Ab的方程為Y=kX+n……②

若再把橢圓的情形類比到雙曲線，類似可證得如下結(jié)論：

結(jié)論5、6可以歸結(jié)為圓錐曲線上一動(dòng)弦兩端到同形狀頂點(diǎn)（橢圓的左頂點(diǎn)，雙曲線的右頂點(diǎn)和拋物線的頂點(diǎn)）的傾斜角的和為定值，則該弦所在直線過(guò)定點(diǎn)，其他非頂點(diǎn)的定點(diǎn)的情形又怎么樣？還有，反之一定成立嗎？另外可以發(fā)現(xiàn)結(jié)論5中α+β=情形的定點(diǎn)也就是結(jié)論4中k·k=m=1的定點(diǎn)AMBM的特殊情形，而α+β=θ(0＜θ＜π,θ≠)情形下的定點(diǎn)（此時(shí)為結(jié)論4中當(dāng)m=-1，且點(diǎn)M為橢圓的左頂點(diǎn)時(shí)的情形）為極點(diǎn)的極線上，雙曲線中也是如此情況，這里更深層次的聯(lián)系是什么，為什么這樣，還有待進(jìn)一步探究，限于篇幅在此不再展開。

［1］沈文選，張垚，冷崗松.奧林匹克數(shù)學(xué)中的幾何問(wèn)題［M］.長(zhǎng)沙：湖南師范大學(xué)出版社，2009．

［2］余明芳，王欽敏.例談高中數(shù)學(xué)探究性課題的選擇與教學(xué)設(shè)計(jì)［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2015(11)．

［3］章建躍．?dāng)?shù)學(xué)·選修2—1（A版）［M］.北京：人民教育出版社，2007．

（責(zé)任編輯：王欽敏）