許 文●

華中科技大學(xué)附屬中學(xué)(430074)

立體電場例析

許 文●

華中科技大學(xué)附屬中學(xué)(430074)

在近幾年全國與各地的高考物理試題中，我們看到常常以點電荷的立體電場為背景的相關(guān)試題.這類試題從多側(cè)面、多角度、全方位的對電場中場強與電勢的分布特征、場強與電勢的關(guān)系、電場力做功與電勢能的變化規(guī)律等進(jìn)行考查，要求考生從立體的角度全面的認(rèn)識電場的性質(zhì)，這對考生的能力要求明顯提高.因此我們在高考備考復(fù)習(xí)中，對常見一些典型電場在了解其平面分布特征后，要向立體延伸，具有一定的空間想象力，建立正確的電場圖景.本文對常見的電場的立體分布特征作出分析與總結(jié).

一、勻強電場

勻強電場各處的場強大小相等、方向相同.其特征有：(1)電場線平行等距，其等差等勢面(線)也平行等距；(2)沿場強E方向相距為d的兩點的電勢差為U，有U=Ed；(3)沿同一方向兩點間的電勢差與距離成正比；(4)平行等長的兩線段端點的電勢差相等；(5)勻強電場中某線段中點的電勢等于兩端點電勢的(算術(shù))平均值.

例1 (2009寧夏)空間有一均勻強電場，在電場中建立如圖1所示的直角坐標(biāo)系O-xyz，M、N、P為電場中的三個點，M點的坐標(biāo)(0，a，0)，N點的坐標(biāo)為(a，0，0)，P點的坐標(biāo)為(a，a/2，a/2).已知電場方向平行于直線MN，M點電勢為0，N點電勢為1V，則P點的電勢為

評析 本題利用電場線與等勢面垂直的關(guān)系先作出等勢面，再利用勻強電場中沿場強方向兩點間的電勢差與電場強度的關(guān)系為U=Ed，沿同一方向兩點間的電勢差與距離成正比來進(jìn)行求解.求解的關(guān)鍵是找出P點在xoy平面的等勢點P′，將此立體的勻強電場在xoy平面的分布圖畫出.

A．UDC=4 V B．UDC=3 V

C．E=200 V/m D．E=400/3 V/m

解析 由題意知AB是勻強電場中的一條等勢線.作DO垂直于底面ABC于O，連CO交AB于M(圖4所示)，由幾何知識可知CM⊥AB，MC是一條電場線，DO是一條等勢線.由于OC=2MC/3，則

評析 本題由題給條件容易判斷AB是一條等勢線，由等勢面與電場線垂直可知MC是一條電場線，再由三垂線定理等幾何知識判斷DO也是一條等勢線，這是問題求解的關(guān)鍵.

二、點電荷電場

點電荷的電場線以點電荷為中心，沿徑向向外輻射，其等勢面是以點電荷為球心的球面，離球心越近，等差等勢面也越密.電場的分布特征具有多種對稱性.

例3 水平面上A、B、C三點固定著三個電荷量為Q的正點電荷，將另一質(zhì)量為m的帶正電的小球(可視為點電荷)放置在O點，OABC恰構(gòu)成一棱長為L的正四面體，如圖5所示.已知靜電力常量為k，重力加速度為g，為使小球能靜止在O點，小球所帶的電荷量q為

評析 由正四面體的對稱性，判斷A、B、C三個相同的點電荷在O點產(chǎn)生的場強均與過O點的豎直線成θ角，并用幾何知識表達(dá)出此角度的函數(shù)值，這是對放在O點的帶電小球建立力的平衡方程的基礎(chǔ).

三、等量雙點電荷電場

1．等量異種點電荷電場(圖6)有以下特征：

(1)兩點電荷連線上：各點的場強方向從正電荷指向負(fù)電荷；兩點電荷連線上中點O場強最小，靠近兩兩點電荷，場強變大；與O點對稱的兩點場強相等；順著電場線方向電勢逐漸降低.

(2)兩點電荷連線的中垂面(線)上：各點的場強方向均相同，且與中垂面(線)垂直；在中垂面(線)上到O點等距離處各點的場強相等.中垂面內(nèi)各點的電勢相等(一般取無限處的電勢為零，則中垂面內(nèi)各點的電勢均為零).

2．等量同種點電荷電場(圖7)有以下特征：

(1)兩點電荷連線上：連線中點O處場強為零，靠近兩兩點電荷，場強變大；與O點對稱的兩點場強大小相等、方向相反；順著電場線方向電勢逐漸降低.

(2)兩點電荷連線的中垂面(線)上：從O點到無限遠(yuǎn)處作任一射線，此線上從O點到無限遠(yuǎn)處各點場強先變大后變小，場強方向與該射線平行；與O點等距離的兩點場強大小相等.

例4 (2014湖南模擬)如圖8所示，A、B、C、D是真空中一正四面體的四個頂點.現(xiàn)在A、B兩點分別固定電量為+q、-q的兩個點電荷，則下列說法正確的是( ).

A．C、D兩點的場強相同，電勢相同

B．C、D兩點的場強不同，電勢不同

C．將一正電荷從C點移到D點，靜電力對該正電荷先做正功后做負(fù)功

D．將一正電荷從C點移到D點，靜電力對該正電荷先做負(fù)功后做正功

解析 在A點放置點電荷+q，在B點放置點電荷-q，則在正四面體空間的電場分布是兩個等量異種電荷產(chǎn)生電場.由兩等量異種電荷電場的分布特點可知：正四面體的C點處于A、B兩個等量異種電荷連線在側(cè)面ACB內(nèi)的中垂線上，故C點的電勢φC=0，場強EC的方向平行于AB連線(由A指向B)；D點處在A、B兩個等量異種電荷連線在側(cè)面ADB內(nèi)的中垂線上，故D點的電勢φD=0，場強ED的方向平行于AB連線(由A指向B)；由于C、D兩點與A、B兩點電荷的距離相等，可知C、D兩點場強的大小相等.

本題正確選項為A.

評析 本題圖8中C點與D點的連線其實在A、B兩個等量異種電荷連線的中垂面上，其中垂面是一個等勢面，CD的連線是一條等勢線，故不管是正電荷還是負(fù)電荷在CD線上移動，靜電力(電場力)均不做功.

例5 (2013武昌區(qū)模擬)如圖9所示，空間中有一個正方體abfe-dcgh，有一對等量異種點電荷分別位于空間中的d點和g點.現(xiàn)在各頂點間移動一正試探電荷，關(guān)于該試探電荷所受的電場力和具有的電勢能，以下判斷正確的是( ).

A．在e點和b點所受電場力相同

B．在a點和f點所受電場力相同

C．在e點和b點電勢能相等

D．在a點和f點電勢能相等

解析 根據(jù)等量異種電荷電場的分布特征可知，h、e、b、c都在過+Q與-Q連線的中垂面上，且e點與b點的到兩個點電荷距離相等，所以e點與b點的場強大小相等，其方向都與中垂面垂直，所以同一試探電荷在e點和b點所受電場力的大小及方向都相同，選項A正確；由于此中垂面是一個等勢面，e點和b點電勢相等，故同一試探電荷在e點和b點電勢能相等，選項C正確；對a點和f點，分別在兩個點電荷的正下方，由等量異種電荷電場線的分布特征可知，a點和f點場強的大小相等，但方向不同，所以同一試探電荷在a點和f點所受電場力的大小相等，方向不同，選項B錯誤；根據(jù)等量異種電荷電場等勢面的分布和順著電場線電勢降低可知，a點的電勢高于f點的電勢，正試探電荷在a點電勢能較大，選項D錯誤.

本題正確選項為AC.

評析 一對等量異種點電荷在空間產(chǎn)生的電場具有對稱性，根據(jù)電場線的分布特征和對稱性，分析場強大小和方向，從而判斷電荷所受電場力大小及方向；根據(jù)等勢面的分布特點，判斷電勢的大小關(guān)系，確定電荷的電勢能的大小關(guān)系.

例6 (2014湖北二模)如圖10所示，真空中有一正四面體ABCD，M、N分別是AB和CD的中點.現(xiàn)在A、B兩點分別固定電荷量為+Q、-Q的點電荷，下列說法中正確的是( ).

A．將試探電荷+q從C點移到D點，電場力做正功，試探電荷+q的電勢能降低

B．將試探電荷-q從M點移到N點，電場力不做功，試探電荷-q的電勢能不變

C．C、D兩點的電場強度相等

D．N點的電場強度方向平行AB，且跟CD垂直

解析CD在兩等量異種電荷AB連線的中垂面內(nèi)，CD是一條等勢線，試探電荷從C點移到D點，電場力不做功，選項A錯誤；MN兩點的連線也在兩等量異種電荷AB連線的中垂面內(nèi)，故MN的連線也是一條等勢線，將試探電荷從M點移到N點，電場力不做功，試探電荷的電勢能不變，選項B正確；根據(jù)等量異種電荷在空間的電場線分布特點知道C、D兩點的電場強度相等，選項C正確；根據(jù)電場疊加原理知道N點的電場強度方向平行AB且跟CD垂直，選項D正確.

本題正確選項為BCD.

評析 明確兩等量異種點電荷中垂面的電場分布特征，認(rèn)識到CD與MN均在等量異種點電荷A、B連線的中垂面內(nèi)，這是求解本題的關(guān)鍵.

通過以上幾例的分析，我們可以看出，對典型的常見電場分布特征的立體考查，這類問題既考查了電場的分布特點與規(guī)律，考查了對稱性思想，也考查了對空間圖形的結(jié)構(gòu)認(rèn)識和空間想象能力，考查了學(xué)科綜合能力.這符合新課程的學(xué)習(xí)理念，很受新高考關(guān)注.

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