寇桂宴● 陳國林●

贛南師范大學(xué)科技學(xué)院(341000) 安徽省利辛高級中學(xué)(236700)

追蹤高考導(dǎo)數(shù)涉及的證明問題

寇桂宴● 陳國林●

贛南師范大學(xué)科技學(xué)院(341000) 安徽省利辛高級中學(xué)(236700)

縱觀高考命題，近幾年全國卷關(guān)于對導(dǎo)數(shù)的考查要求較高，導(dǎo)數(shù)問題是中學(xué)數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)相互連接的重要部分，一直充當(dāng)著高考壓軸題的角色.

通過對全國卷導(dǎo)數(shù)試題部分進(jìn)行分析，近幾年，導(dǎo)數(shù)部分結(jié)合證明問題考查可謂層出不窮，已經(jīng)成為高考的一個“大餐”，成為了拉開分?jǐn)?shù)的一個重要部分.如何解決高考導(dǎo)數(shù)中的證明問題呢？下面用例題說明.

一、一次求導(dǎo)的基礎(chǔ)證法

例題1 (2015年全國卷2第21題)設(shè)函數(shù)f(x)=emx+x2-mx.

證明：f(x)在(-∞，0)單調(diào)遞減，在(0，+∞)上單調(diào)遞增.

解析f′(x)=m(emx-1)+2x.若m≥0，則當(dāng)x∈(-∞，0)時，emx-1≤0,f′(x)<0；當(dāng)x∈(0，+∞)時，emx-1≥0，f′(x)>0.若m<0，則當(dāng)x∈(-∞，0)時，emx-1>0，f′(x)<0；當(dāng)x∈(0，+∞)時，emx-1<0，f′(x)>0.所以，f(x)在(-∞，0)單調(diào)遞減，在(0，+∞)上單調(diào)遞增.

評注 一階導(dǎo)數(shù)證明問題，屬于導(dǎo)數(shù)中的基礎(chǔ)問題，主要根據(jù)導(dǎo)函數(shù)與0之間的關(guān)系來證明函數(shù)的單調(diào)性的.

二、二次求導(dǎo)的樸實證法

解析 (1)因為f′(x)=-sinx+ax，a∈R,令g(x)=-sinx+ax則g′(x)=-cosx+a，所以當(dāng)a≥1時，g′(x)≥0，即g(x)在R上單調(diào)遞增.又g(0)=0，所以當(dāng)x∈[0,+∞)上為增函數(shù)，在(-∞,0)上為減函數(shù)，又f(0)=0，所以當(dāng)x∈[0,+∞)時，f(x)≥0，當(dāng)x∈(-∞,0)時，f(x)>0，故f(x)≥0對x∈R恒成立，即當(dāng)a≥1時，f(x)≥0，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時，f(x)=0，故當(dāng)a≥1時，f(x)有唯一零點.

綜上，若f(x)≥0時，a的取值范圍為[1,+∞).

評注 二次求導(dǎo)的原因主要是在一次求導(dǎo)后無法判斷極值點或者極值點的判斷相對比較復(fù)雜，另外在題目的設(shè)置中一般二次求導(dǎo)后對于一階導(dǎo)數(shù)都具有單調(diào)性.

三、不可忽視的數(shù)學(xué)歸納證法

(1)討論函數(shù)G(x)=f(x)-g(x)的單調(diào)性；

評注 數(shù)學(xué)歸納法在證明題中一直扮演著不可或缺的地位，在導(dǎo)數(shù)中通常情況下如果遇到與數(shù)列結(jié)合的時候，數(shù)學(xué)歸納法證明會顯得相對明了.因此在遇到證明題的時候不可忘卻數(shù)學(xué)歸納法，因為在閱卷中是根據(jù)解題步驟得分，相比之下其可以讓你多獲分.

四、構(gòu)造函數(shù)的巧妙證法

(2)在(1)中當(dāng)a=0時，函數(shù)y=f(x)的圖象上任意不同的兩點A(x1,y1),B(x2,y2)，線段AB的中點為C(x0,y0)，記直線AB的斜率為k，試證明：k>f′(x0)．

(2)證明：當(dāng)a=0時，f(x)=lnx.

∴h(x)在[1,+∞)上為增函數(shù).

評注 構(gòu)造函數(shù)的方法也是導(dǎo)數(shù)壓軸題?？嫉膬?nèi)容之一.在利用構(gòu)造函數(shù)時一般使用于變形構(gòu)造函數(shù)證明不等式和替換構(gòu)造不等式證明不等式.

五、放縮法的機(jī)智證法

例題5 (2016年安慶二模)已知函數(shù)f(x)=lnx+ax，a∈R.

(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；

(1)a≥0時,f′(x)>0,∴f(x)在(0,+∞)上單調(diào)增；

(2) ∵lnx1+ax1=0,lnx2+ax2=0,∴l(xiāng)nx2-lnx1=a(x1-x2).

評注 利用放縮法在求解導(dǎo)數(shù)問題時一直扮演著較難的角色.在導(dǎo)數(shù)中的放縮可根據(jù)最值點進(jìn)行放縮，這時題目一般會將函數(shù)設(shè)置為在某區(qū)間的單調(diào)函數(shù).

六、數(shù)學(xué)思想的綜合證法

例題6 (2016年福建省寧德質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)=(x-k-1)ex．

(1)當(dāng)x>0時，求f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；

(2)若x1≠x2，且f(x1)=f(x2)，證明：x1+x2<2k．

解析 (1)f′(x)=(x-k)ex,x>0.(ⅰ)當(dāng)k≤0時，f′(x)>0恒成立,∴f(x)的遞增區(qū)間是(0，+∞)，無遞減區(qū)間,無極值. (ⅱ)當(dāng)k>0時，由f′(x)>0,得x>k,由f′(x)<0得0

(2)由已知f(x1)=f(x2)(x1≠x2)，結(jié)合(Ⅰ)可知k>0,f(x)在(-∞,k)上單調(diào)遞減，在(k,+∞)上單調(diào)遞增.又f(k+1)=0，xk，2k-x1>k，故要證x1+x2<2k，只要證2k-x1>x2，只要證f(2k-x1)>f(x2).因f(x1)=f(x2)，即證f(2k-x1)>f(x1).

評注 本題主要考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程的思想、分類整合思想、數(shù)形結(jié)合思想．綜合了函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式等基本知識；考查運(yùn)算求解能力、推理論證能力.因此在解決這類綜合性導(dǎo)數(shù)問題，如果能夠利用數(shù)學(xué)思想對問題分析求解將會大大降低求解難度.

在求解導(dǎo)數(shù)壓軸題時，需要在平時的基礎(chǔ)上善于總結(jié)發(fā)現(xiàn)解題規(guī)律，才能以不變應(yīng)萬變來求解導(dǎo)數(shù)證明問題.善于利用數(shù)學(xué)思想去解決數(shù)學(xué)問題將會提高數(shù)學(xué)的解題能力和速度，因此在學(xué)習(xí)過程中要善于運(yùn)用數(shù)學(xué)思想去求解各類問題.

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