王理峰，朱道元(.南京鐵道職業(yè)技術(shù)學(xué)院 社科部，南京003;.東南大學(xué) 數(shù)學(xué)系，南京 0096)

二次損失下帶約束的增長(zhǎng)曲線模型的Minimax估計(jì)

王理峰1，朱道元2
(1.南京鐵道職業(yè)技術(shù)學(xué)院 社科部，南京210031;2.東南大學(xué) 數(shù)學(xué)系，南京 210096)

文章對(duì)于帶橢球約束的增長(zhǎng)曲線模型，在二次損失函數(shù)下給出回歸系數(shù)在線性估計(jì)類中的Mini?max估計(jì)，證明該估計(jì)是壓縮有偏、可容許估計(jì)。在一些特殊的情形下，該估計(jì)包括了增長(zhǎng)曲線功效嶺回歸估計(jì)、多元線性Minimax估計(jì)等。

增長(zhǎng)曲線模型；Minimax估計(jì)；二次損失函數(shù)；橢球約束

0 引言

Minimax估計(jì)是一類重要的估計(jì)，它使極大風(fēng)險(xiǎn)極小化，是避免損失的一種選擇，因此在實(shí)際生活中有重要的用途。用Minimax原理來估計(jì)模型的回歸系數(shù)最早由Kuks和Olman(1971，1972)提出，之后有許多學(xué)者用這種原理來研究模型的估計(jì)和預(yù)測(cè)問題。Minimax估計(jì)與損失函數(shù)和所考慮的估計(jì)類有關(guān)，主要是在矩陣損失與二次損失函數(shù)下，在齊次線性估計(jì)類和非齊次線性估計(jì)類中展開的。但實(shí)際應(yīng)用中總是對(duì)參數(shù)有或多或少的認(rèn)識(shí)，會(huì)得到一些約束條件。譚萄[1]和高婷婷[2]給出了帶等式約束的多元回歸系數(shù)線性估計(jì)在齊次線性估計(jì)類中的Minimax估計(jì)。周明華[3]在矩陣損失函數(shù)下，研究帶橢球約束的增長(zhǎng)曲線模型中回歸系數(shù)的線性Minimax估計(jì)。HelgeBlaker[4]討論二次損失下帶約束的線性回歸模型的線性Minimax估計(jì)。橢球約束下增長(zhǎng)曲線模型的Minimax估計(jì)并不能通過拉直后利用HelgeBlaker的結(jié)論得到。本文將研究二次損失下帶橢球約束的增長(zhǎng)曲線的Minimax估計(jì)，一定意義上這也是將HelgeBlaker的主要結(jié)果推廣到了增長(zhǎng)曲線情形。

為了計(jì)算方便，將介紹幾個(gè)符號(hào)及引理：

符號(hào)1[5]:a∨b=max(a，b),a∧b=min(a，b),x+=max(x，0)

若A為n×n階對(duì)稱矩陣，有譜分解A=PDP'，其中P為n×n階正à陣，D為對(duì)角陣，其對(duì)角元記為di，i=1，2，…，n。定義 A+=PD+P′，其中 D+=diag((d1∨0)，…(di∨0)，…(dn∨0))。

引理1[5]:A?(B1+B2)=A?B1+A?B2,(A1?B1)(A2?B2)=(A1A2)?(B1B2),tr(A?B)=trA·trB

引理2[5]:E(xAx)=u'Au+tr(AΣ)，其中Ex=u，var(x)=Σ。

證明：參見文獻(xiàn)[5]

引理4:對(duì)于線性模型y=Xβ+e，E(e)=0，cov(e)=σ2∑，∑＞0。若rk(Xn×p)=p，則?～Cβ?A(X'∑-1X)-1A'≤A(X'∑-1X)-1C'

證明：參見文獻(xiàn)[5]

本文采用的二次損失函數(shù)為L(zhǎng)(B?，B，A)=tr(B?-B)'A (B?-B)，A為 p×p階正定陣，其相應(yīng)的風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)為EL(B?，B，A)。

1 模型準(zhǔn)備

其中Y為n×q階觀測(cè)矩陣，X1，X2為n×p，t×q階設(shè)計(jì)矩陣且rk(X1)=p，rk(X2)=t。E=(e1…eq)為n×q階誤差矩陣，W=(wij)為已知的q階非零非負(fù)定陣。B為 p×t階未知參數(shù)矩陣，滿足橢球約束tr(X2'B'X1'FX1BX2)≤ρ，其中F為n×n階非負(fù)定陣。記≤ρ}，模型（1）的最小二乘估計(jì)為：

1．1 增長(zhǎng)曲線模型典則化

增長(zhǎng)曲線模型的估計(jì)問題，在典則形式下變的易理解。下面將把模型（1）化為典則形式。

對(duì)X1進(jìn)行奇異值分解，其中U1、V1分別為n×n、p×p階正à陣，為n×p階矩陣。的(i，i)元為，其余位置為0，則：其中的非零特征根，其中

同理對(duì)X2進(jìn)行奇異值分解U2、V2分別為t×t、q×q階正à陣，為t×q階矩陣，的(i，i)元為其余位置為0，則其中為的非零特征根，其中

模型（2）的最小二乘估計(jì)為:

1．2 將模型進(jìn)一步簡(jiǎn)化處理

為使tr(B'X'FXB)、L(?，B，A)能化為簡(jiǎn)潔形式，須規(guī)定A、F、W滿足條件1：

估計(jì)R只需考慮模型（3）即可，而模型中D1，D2為對(duì)角陣，這樣問題就變得簡(jiǎn)潔，易求。將模型（3）拉直得：

參數(shù)約束空間可簡(jiǎn)化為：

損失函數(shù)可簡(jiǎn)化為:

2 橢球約束下增長(zhǎng)曲線模型的Minimax估計(jì)的求解

對(duì)于模型（3）有：

定理1：將模型（3）寫成元素形式為：

則模型（3）的Minima風(fēng)險(xiǎn)為：

其中?表示所有p×p階矩陣組成的類，τ表示所有t×t階矩陣組成的類，

證明：（1）首先證明使極大風(fēng)險(xiǎn)極小化的K，L是對(duì)角矩陣，本文利用Speckman[6]的思路來討論。記KL的 (i，j)元為

取R滿足：i≠m，j≠n時(shí)，rij=0。則：

所以：

當(dāng)且僅當(dāng)矩陣K，L為對(duì)角陣時(shí)上面等號(hào)成立。即證明了使極大風(fēng)險(xiǎn)極小化的矩陣K，L是對(duì)角陣。

顯然ν2在約束條件邊界上達(dá)到。下面利用Lagrange乘子法求ν2：

對(duì)于 h＞0，i=1，…，p， j=1，…，t，記 G(R，h)=則

當(dāng)kilj=(kilj)*，i=1，…，p，j=1，…，t時(shí)，上面不等式仍成立。而：

由上面的不等式及證明中的(1)部分可知：

由定義1知(kilj)*zij為rij的Minimax估計(jì)。即?M，ij= (kilj)*zij，i=1，…，p， j=1，…，t

綜上即證定理。

由上面的定理容易得到本文的主要定理：

定理2：對(duì)于增長(zhǎng)曲線回歸模型(1)，B∈Θ={B| tr(X2' B'X1'FX1BX2)≤ρ}，F(xiàn)滿足條件1，則 β=νec(B)的線性Minimax估計(jì)為：其中h滿足:

令?表示任意的p×n階矩陣組成的類，τ表示任意的q×t階矩陣組成的類。則線性Minimax估計(jì)的風(fēng)險(xiǎn)為：

證明：由前面的變換知：

則：

由定理1知：

寫成矩陣形式為：

下面證明νecB?M為νecB的線性Minimax估計(jì)：為R的線性Minimax估計(jì)，由定義1知

綜上即證定理。

3 增長(zhǎng)曲線Minimax估計(jì)的性質(zhì)

增長(zhǎng)曲線Minimax估計(jì)具有以下性質(zhì)：

顯然成立。

而β=(V2?V1)r，由引理3知?M是β的可容許估計(jì)。

4 增長(zhǎng)曲線Minimax估計(jì)的特例

例2：當(dāng) X2X2'=I時(shí)，其中h滿足：其Minimax風(fēng)險(xiǎn)為：

該結(jié)果與文獻(xiàn)[7]所求的多元線性模型的Minimax估計(jì)結(jié)果一致。

[1]譚萄.多元回歸系數(shù)線性估計(jì)的Minimax可容許性[J].廣西師范大學(xué)學(xué)報(bào)，2001，19(1).

[2]高婷婷，田麗.矩陣損失下帶約束的多元回歸系數(shù)的Minimax估計(jì)[J].安徽師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2009,32(1).

[3]周明華等.受橢球約束回歸系數(shù)在矩陣損失下的線性Minimax估計(jì)[J].浙江工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào),1998,26(3).

[4]Blaker H.Minimax Estimation in Linear Regression Under Restric?tions[J].Journal of Statistical Planning and Inference,2000,(90).

[5]王松桂.線性模型的理論及其應(yīng)用[M].合肥：安徽科技出版社, 1987.

[6]Speckman P,Spline Smoothing and Optimal Rates of Convergence in Nonparametric Regression Models[J].Annals of Statistics,1985,(13).

[7]王理峰,朱道元.有約束的多元線性回歸模型的Minimax估計(jì)[J].重慶工商大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版）,2009,26(6).

（責(zé)任編輯/易永生）

O212.1

A

1002-6487（2016）24-0007-05

王理峰（1981—），女，河南平頂山人，碩士,講師，研究方向：多元統(tǒng)計(jì)分析。（通訊作者）朱道元（1947—），男，江蘇揚(yáng)州人，教授，研究方向：多元統(tǒng)計(jì)分析與數(shù)學(xué)建模。