許金煒（上海大學(xué)理學(xué)院，上海200444）

基于虛擬變量回歸與SARIMA組合模型的GDP預(yù)測

許金煒
（上海大學(xué)理學(xué)院，上海200444）

文章根據(jù)我國1992年至2015年的GDP季度數(shù)據(jù)，建立了虛擬變量回歸（DVR）模型、SARIMA模型及其組合（DVR-SARIMA）模型，并進行了比較與分析，結(jié)果發(fā)現(xiàn)組合（DVR-SARIMA）模型的擬合效果最好，預(yù)測性能亦是最好，且利用組合（DVR-SARIMA）模型對我國未來的季度GDP進行了預(yù)測，以期對我國未來的總體經(jīng)濟增長情況做出合理的分析與判斷。

虛擬變量回歸模型；SARIMA模型；組合模型；GDP；預(yù)測

0 引言

國內(nèi)生產(chǎn)總值（Gross Domestic Product），簡稱GDP，是指按市場價格計算的一個國家（或地區(qū)）所有常住單位在一定時期內(nèi)生產(chǎn)勞動的最終成果。GDP不僅能夠在總體上度量國民產(chǎn)出和收入規(guī)模，也能夠在整體上度量經(jīng)濟波動和經(jīng)濟周期狀態(tài)，因此GDP被認(rèn)為是衡量一個國家（或地區(qū)）經(jīng)濟狀況的最重要的指標(biāo)之一，同時也是政府制定經(jīng)濟發(fā)展戰(zhàn)略和經(jīng)濟政策的重要依據(jù)。

目前，國內(nèi)已經(jīng)有很多學(xué)者嘗試使用各種預(yù)測模型，包括時間序列分解法、線性回歸模型、指數(shù)平滑法、趨勢外推法、灰色預(yù)測以及時間序列模型等方法，對我國GDP進行建模分析預(yù)測，但預(yù)測精度并不算高，依舊有待改善。本文通過將虛擬回歸（DVR）模型與SARIMA模型進行組合，從而更加精確地擬合了我國季度GDP數(shù)據(jù)，并且有效降低了預(yù)測誤差，對我國未來的GDP數(shù)據(jù)也進行了更加精確地預(yù)測。

1 模型的概述

1．1 虛擬變量回歸模型

在回歸分析中，因變量不僅受到定量變量（如收入、產(chǎn)出、價格、成本、身高、溫度等）的影響，還會受到定性變量的影響，如季節(jié)、文化程度、性別、種族、宗教和地區(qū)等因素，這些因素在某些情況下是因變量的重要影響因素，建立模型時不能忽略。量化這些因素的途徑之一，就是構(gòu)造一個取值為0或1的人工變量，取1表示這種因素起影響作用，取0表示這種因素不起影響作用。假定這種取值為0或1的變量被稱為虛擬變量（Dummy Variable）。這種變量實質(zhì)上就是一個將數(shù)據(jù)區(qū)分為相互排斥類別（如男性或女性）的工具。

引入虛擬變量后，回歸方程中同時含有一般解釋變量和虛擬變量，這種結(jié)構(gòu)的模型便被稱為虛擬變量回歸模型（Dummy Variable Regression Model），在本文中簡稱為DVR模型。此外，需注意虛擬變量的設(shè)置原則：若定性變量有m個類別，則回歸方程中只需引入m-1個虛擬變量，否則就會陷入“虛擬變量陷阱”，即多重共線性。

由于許多基于季度或月度數(shù)據(jù)的經(jīng)濟時間序列都表現(xiàn)出季節(jié)特征（規(guī)則地擺動），因此在建立模型時，需要考慮季節(jié)因素變動的影響，而虛擬變量法便是其中一種研究方法，本文在應(yīng)用DVR模型研究我國季度GDP時間序列時，根據(jù)虛擬變量設(shè)置原則，需引入如下三個虛擬變量：

則可建立如下DVR模型：

1．2 SARIMA模型

ARMA模型是一種常用的隨機時序模型，是時間序列模型中的經(jīng)典模型，由美國統(tǒng)計學(xué)家Box和英國統(tǒng)計學(xué)家Jenkins創(chuàng)立，亦稱B－J方法。ARMA模型共有三種基本類型：自回歸模型、移動平均模型以及自回歸移動平均模型，這三種模型都是平穩(wěn)隨機過程，如果對于一個時間序列，經(jīng)過差分之后可以變換成一個平穩(wěn)的ARMA過程，那么該過程則稱為單整自回歸移動平均過程。

（1）自回歸（AR）模型

如果時間序列{Yt}是它的前期值和隨機項的線性函數(shù)，則可表示為：

稱該時間序列{Yt}為自回歸序列，式（2）為p階自回歸模型，記為AR(p)。c為常數(shù)項，實參數(shù)θ1，θ2，…，θp稱為自回歸系數(shù)，是AR(p)模型的待估參數(shù)；隨機項εt是相互獨立的白噪聲序列，且服從正態(tài)分布N(0，σε2)，且隨機項εt與滯后變量yt-1，yt-2，…，yt-p不相關(guān)。

記Bk為k步滯后算子，即Bkyt=yt-k，則式（2）可表示為：

令θ(B)=1-θ1B-θ2B2-…θpBp，則式（2）可簡寫為：θ(B)yt=c+εt。

（2）移動平均（MA）模型

如果時間序列{Yt}是它的當(dāng)前和前期的隨機誤差項的線性函數(shù)，則可表示為：

稱該時間序列{Yt}為移動平均序列，式（3）為q階移動平均模型，記為MA(q)。c為常數(shù)項，實參數(shù)?1，?2，…，?q稱為移動平均系數(shù)，是MA(q)模型的待估參數(shù)。

引入滯后算子，并令?(B)=1-?1B-?2B2-…?qBq，則式（3）可簡寫為：yt=c+?(B)εt。

（3）自回歸移動平均（ARMA）模型

如果時間序列{Yt}是它的當(dāng)前和前期的隨機誤差項以及前期值的線性函數(shù)，則可表示為：

稱該時間序列{Yt}為自回歸移動平均序列，式（4）為（p，q）階的自回歸移動平均模型，記為ARMA(p，q)。c為常數(shù)項，實參數(shù)θ1，θ2，…，θp稱為自回歸系數(shù)，?1，?2，…，?q稱為移動平均系數(shù)，都是ARMA(p，q)模型的待估參數(shù)。

引入滯后算子，則式（4）可簡記為：

（4）單整自回歸移動平均（ARIMA）模型

如果時間序列{Yt}的d階差分 Xt=(1-B)dYt是一個平穩(wěn)的ARMA(p，q)過程，其中d≥1是整數(shù)，則有：

稱該時間序列{Yt}為單整自回歸移動平均序列，即式（5）為（p，d，q）階的單整自回歸移動平均模型，記為ARIMA(p，d，q)。

（5）季節(jié)單整自回歸移動平均（SARIMA）模型

在一些時間序列中，存在明顯的周期性變化，這種周期是由于季節(jié)性變化（包括季度、月度等變化）或者其他一些固有因素引起的，這類序列就稱為季節(jié)性時間序列，季節(jié)時間序列模型（Seasonal ARIMA Model），或者稱為乘積季節(jié)模型（Multiplicative Seasonal Model），便是處理這類時間序列的模型之一，記為SARIMA。

設(shè)季節(jié)序列的變化周期為s，則一次季節(jié)差分可以表示為：(1 -Bs)yt=yt-yt-s。對于非平穩(wěn)時間序列，有時需要進行D階季節(jié)差分之后才能轉(zhuǎn)換為平穩(wěn)序列。記P表示季節(jié)自回歸最大滯后期，Q表示季節(jié)移動平均最大滯后期，于是SARIMA模型的一般表達(dá)式可定義如下：

稱式（6）為(p，d，q)×(P，D，Q)階的季節(jié)時間序列模型或者乘積季節(jié)模型。如果含有時間趨勢項，則可以定義如下模型：

1．3 組合模型

結(jié)合模型式（1）與模型式（7），則可定義DVR-SARIMA組合模型，其一般表達(dá)式如下：

稱式（8）為(p，d，q)×(P，D，Q)階的虛擬變量季節(jié)時間序列組合模型或者虛擬變量乘積季節(jié)組合模型。

1．4 ADF單位根檢驗

考慮如下回歸方程：

其中，εt為純粹的白噪聲誤差項，Δyt=yt-yt-1，Δyt-1=yt-1-yt-2，以此類推。常數(shù)項c表示漂移項，t表示時間或趨勢變量。

ADF單位根檢驗的原假設(shè)（含有單位根）為H0:δ=0，備擇假設(shè)（不含單位根）為H1:δ＜0。對于式（9），如果拒絕原假設(shè)，則認(rèn)為原時間序列{Yt}具有平穩(wěn)性或退勢平穩(wěn)性；如果不能拒絕原假設(shè)，則依次剔除時間或趨勢變量項、漂移項繼續(xù)進行ADF單位根檢驗，直至拒絕原假設(shè)，若一直不能拒絕原假設(shè)，則說明原時間序列{Yt}是一個單位根序列，建立模型前還需做進一步的平穩(wěn)性處理。

1．5 模型選擇準(zhǔn)則

（1）R2準(zhǔn)則

一個回歸模型擬合優(yōu)度的度量指標(biāo)之一就是R2，定義為：

其中，TSS表示離差平方和，反映因變量波動的大??；ESS表示回歸平方和，反映由模型解釋變量計算出來的擬合值的波動；RSS表示殘差平方和，反映因變量總的波動中不能通過回歸模型解釋的部分。

但是用R2作為衡量標(biāo)準(zhǔn)存在一個問題，即如果將某個對因變量影響非常小的變量添加到模型中后，R2并不會變小。如果僅僅依據(jù)R2增加就將這個變量包含于模型中，將是不合理的，因為新增變量降低了自由度。于是可用調(diào)整后的R2進行度量，記為Rˉ2，定義為：

其中，n表示樣本量，k表示解釋變量個數(shù)，這樣就可以在一定程度上避免將影響微弱的變量添加到模型中，顯然，

（2）赤池信息準(zhǔn)則（AIC）

在AIC準(zhǔn)則中，進一步對模型中增加自變量進行了懲罰，其定義為：

其中，2(k +1)/n為懲罰因子。

（3）施瓦茨信息準(zhǔn)則（SC）

與AIC準(zhǔn)則思想類似，SC準(zhǔn)則的定義為：

在進行模型選擇時，通常Rˉ2的值越大越好，而AIC與SC的值則越小越好。

2 模型的建立與分析

2．1 數(shù)據(jù)來源

本文所使用的我國1992年至2015年的GDP季度數(shù)據(jù)（單位：億元）均來自于國家統(tǒng)計局網(wǎng)站。

2．2 模型建立

2.2.1 ADF單位根檢驗

根據(jù)我國1992年至2015年的GDP季度數(shù)據(jù)，可以繪制原GDP季度序列折線圖以及取自然對數(shù)后的LOG(GDP)季度序列折線圖，分別如圖1和圖2所示：

圖1 GDP季度序列圖

圖2 LOG(GDP)季度序列圖

從圖1和圖2可以看出，無論是原GDP季度序列，還是LOG(GDP)季度序列，隨著時間的推移，它們均有明顯的上升趨勢，但LOG(GDP)季度序列與時間的線性關(guān)系更強。

下面分別對這兩個序列進行ADF單位根檢驗，其檢驗結(jié)果如表1所示：

表1 ADF單位根檢驗

從ADF單位根的檢驗結(jié)果可以看出，只有含漂移項與時間趨勢項的LOG(GDP)序列通過了ADF單位根檢驗，于是便可以根據(jù)LOG(GDP)序列建立帶有漂移項與時間趨勢項的模型。

2.2.2 模型的參數(shù)估計

記t=1表示1992年第一季度，t=2表示1992年第二季度，以此類推，t=94表示2015年第二季度，則根據(jù)式（1）、式（7）與式（8）模型的具體表達(dá)式，用EViews軟件對其進行參數(shù)估計，所得具體模型的表達(dá)式如下：

DVR模型：

SARIMA模型：

DVR-SARIMA模型：

2．3 模型分析

首先分析模型的基本統(tǒng)計性質(zhì)，如表2所示：

表2 模型的基本統(tǒng)計性質(zhì)

（2）根據(jù)模型選擇準(zhǔn)則：AIC與SC準(zhǔn)則，DVR-SARIMA模型的AIC與SC值明顯小于DVR模型和SARIMA模型的AIC與SC值；而且DVR-SARIMA模型的殘差平方和也是最小的。

（3）從模型的異方差性來看，根據(jù)White檢驗的P值可以看出SARIMA模型的隨機誤差項序列存在異方差，這將會影響模型的預(yù)測精度。而DVR模型與DVR-SARIMA模型均通過White檢驗，可認(rèn)為隨機誤差項序列不存在異方差性。

再來分析模型的預(yù)測性能，如表3所示：均相對誤差均是最小的，而且DVR-SARIMA模型的Theil系數(shù)的值更接近于0，說明其單位均方根誤差最小，預(yù)測值更接近于實際值，模型的擬合效果最好。此外，偏差比率表示預(yù)測均值與實際均值的偏離程度，方差比率表示預(yù)測方差與實際方差的偏離程度，協(xié)方差比率衡量非系統(tǒng)誤差，三者和為1，根據(jù)表3分析比較，DVR-SARIMA模型的偏差比率與方差比率最小，協(xié)方差比率最大，說明DVR-SARIMA模型的預(yù)測值與實際值更接近，誤差更小。

表3 模型預(yù)測性能

2．4 模型預(yù)測

本文通過橫向比較各模型本身的預(yù)測性能，確定預(yù)測區(qū)間為2012年第三季度至2020年第四季度，這也避免了2008年金融危機對未來季度GDP預(yù)測序列的持續(xù)影響，同時樣本內(nèi)預(yù)測區(qū)間共3年，12個季度，即2012年第三季度至2015年第二季度，可用于比較模型之間的預(yù)測誤差。上述3個模型的預(yù)測結(jié)果如表4所示：

表4 模型的預(yù)測結(jié)果

從DVR-SARIMA模型的預(yù)測結(jié)果來看，盡管我國近幾年經(jīng)濟增速放緩，但在這樣一個全球化、信息化日益增強的大數(shù)據(jù)時代，隨著我國資源配置和經(jīng)濟發(fā)展方式的轉(zhuǎn)變，我國的經(jīng)濟在未來第十三個五年規(guī)劃中，將會得到進一步的提升，至2020年，我國GDP總量超過100萬億元將不再是夢想，此外，如果未來五年不發(fā)生經(jīng)濟危機或者經(jīng)濟振蕩，經(jīng)濟能平穩(wěn)發(fā)展，至2020年，我國GDP總量甚至有可能突破150萬億元。

3 總結(jié)

本文主要對我國的季度GDP預(yù)測做了更精確地研究，從而為我國的經(jīng)濟決策提供一定的參考價值。本文首先對實證分析所涉及的模型進行了概述，包括虛擬變量回歸（DVR）模型、季節(jié)單整自回歸移動平均（SARIMA）模型以及本文提出的虛擬變量季節(jié)時間序列組合（DVR-SARIMA）模型；然后根據(jù)我國實際GDP季度數(shù)據(jù)進行建模分析，并從模型的基本統(tǒng)計性質(zhì)和模型的預(yù)測性能兩方面對上述三種模型進行了具體比較與分析，結(jié)果發(fā)現(xiàn)，無論是基于模型的基本統(tǒng)計性質(zhì)，還是模型的預(yù)測性能，DVR-SARIMA模型都表現(xiàn)出了極強的優(yōu)越性，最后，本文根據(jù)DVR-SARIMA模型對我國未來的GDP進行了預(yù)測，對我國未來的經(jīng)濟增長形勢做了簡要分析：在我國第十三個五年規(guī)劃中，我國經(jīng)濟將會持續(xù)增長，此外，隨著我國經(jīng)濟轉(zhuǎn)型的成熟化，至2020年，我國GDP總量將會突破100萬億元，甚至?xí)懈蟮耐黄啤?/p>

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（責(zé)任編輯/易永生）

F224

A

1002-6487（2016）24-0038-04

許金煒（1991—），男，江蘇如皋人，碩士研究生，研究方向：統(tǒng)計學(xué)。