陶 征， 劉 旭， 郭勤濤

(1.鄭州大學機械工程學院 鄭州，450001) (2.南京航空航天大學機電學院 南京，210016)

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響應面法用于磨機傳動系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)振動模型修正*

陶 征1， 劉 旭1， 郭勤濤2

(1.鄭州大學機械工程學院 鄭州，450001) (2.南京航空航天大學機電學院 南京，210016)

大型設備傳動系統(tǒng)的扭轉(zhuǎn)振動影響系統(tǒng)的正常工作，嚴重時會導致系統(tǒng)損壞，避免共振是緩解扭轉(zhuǎn)振動的有效手段，針對此問題，以某大型磨機設備為研究對象，建立以響應面法的有限元模型修正理論為基礎的方法。通過扭轉(zhuǎn)振動分析，經(jīng)顯著參數(shù)篩選，以顯式的響應面模型逼近特征量與設計參數(shù)間復雜的隱式函數(shù)，對傳動系統(tǒng)有限元模型可能存在的誤差進行修正。在獲得較精確模型的基礎上，對其傳動系統(tǒng)進行了基于響應面的優(yōu)化設計，調(diào)整系統(tǒng)的模態(tài)頻率，使其有效避開了系統(tǒng)的工作頻率，實現(xiàn)了傳動系統(tǒng)的優(yōu)化，表明以響應面法的有限元模型修正方法對傳動系統(tǒng)設計具有參考價值。

傳動系統(tǒng)； 響應面法； 模型修正； 扭轉(zhuǎn)振動

引 言

隨著機械工業(yè)技術的進步，機械設備的設計水平在不斷提高，其傳動系統(tǒng)也越來越復雜。如果傳動系統(tǒng)設計不合理，就有可能使機械傳動系統(tǒng)產(chǎn)生較大的扭轉(zhuǎn)振動而損壞，使機械設備無法正常工作，甚至出現(xiàn)嚴重后果。美國馬凱德水泥廠就曾經(jīng)因為傳動系統(tǒng)設計的不合理使其所用的設備產(chǎn)生共振[1]。重慶地維水泥公司的球磨機傳動系統(tǒng)也出現(xiàn)過劇烈的振動現(xiàn)象[2]。

基于有限元模型修正的方法對傳動系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)振動的動力學特性進行分析，成為優(yōu)化設計、提高機械設備整體動態(tài)性能的一個基本方法?；陧憫娴挠邢拊Ｐ托拚椒ㄊ墙陙碛邢拊Ｐ托拚夹g新的研究方向[3-6]，其以顯式的響應面模型逼近特征量與設計參數(shù)間復雜的隱式函數(shù)關系，可以更好地解決傳動系統(tǒng)中存在的不確定參數(shù)這一問題，同時修正過程運行快、效率高。

筆者針對某大型磨機在設計過程中要求避免產(chǎn)生共振的問題，首先，通過建立其傳動系統(tǒng)的有限元模型，以實際磨機的固有頻率為目標，基于響應面法對其有限元模型進行了模型修正，獲得精度較高的有限元模型；然后，通過坎貝爾圖確定系統(tǒng)共振頻率的半功率共振區(qū)，進而對有限元模型進行新的目標參數(shù)優(yōu)化，從而使得在新的設計參數(shù)下的磨機系統(tǒng)共振頻率有效的避開了主要工作頻率，最終達到了解決磨機在工作過程中產(chǎn)生共振問題的目的。

1 理論基礎

基于響應面的有限元修正法包含的理論基礎主要有試驗設計、參數(shù)篩選、響應面擬合及參數(shù)修正[7-8]。

1.1 顯著性參數(shù)篩選

響應面的輸入?yún)?shù)應是具有對特征量有顯著影響的設計參數(shù)。顯著參數(shù)的篩選方法是以試驗設計為基礎，在參數(shù)的設計空間內(nèi)確定樣本點，利用樣本點進行有限元分析計算獲得樣本值，并對其進行方差分析，進而達到確定影響系統(tǒng)特性的顯著性參數(shù)的目的。筆者以模態(tài)頻率為指標，挑選顯著參數(shù)作為待修正對象。

常用的試驗設計方法有D-最優(yōu)設計、正交設計、均勻設計、拉丁方設計及中心復合設計等[9]。運用正交設計方法和均勻設計方法擬合低階模型可獲得良好的精度，同時它們還具有直接通過表格設計的簡單高效的特點，所以筆者采用正交設計和均勻設計相結(jié)合的方法，來進行參數(shù)的篩選和響應面擬合。

方差分析用于檢驗因素是否顯著影響試驗結(jié)果。其基本思想是計算由各個因素引起的離差平方和及由誤差引起的離差平方和，然后除以各自的自由度，求出它們的比值(F值)進行假設檢驗。假設對有限元模型的設計參數(shù)X(因素)進行F檢驗，統(tǒng)計量則為

(1)

其中：SX，SE分別為因素和誤差的離差平方和；fX，fE分別為因素和誤差的自由度。

1.2 響應面擬合

在有限元模型修正中，通常以二次多項式作為響應函數(shù)，其表達的曲面即為響應面。假設系統(tǒng)的特征量y為因變量，設計參數(shù)為xi，i=1，2，…，k，含交互項的二次多項式響應函數(shù)形式為

(2)

若樣本點不足，可以通過試驗設計增加新的樣本點，進而在有限元模型中計算樣本值，然后將所有樣本數(shù)據(jù)代入式(2)，通過最小二乘法獲得系數(shù)β的估計

(3)

解式(3)可得β值，即得到響應面函數(shù)表達式。為進一步提高響應面的精度，采用了含交互項的三次多項式作為響應函數(shù)。根據(jù)下列公式進行響應面精度檢驗

R2值表示響應面模型與有限元模型之間的差異程度，值越大，二者差異越小。RMSE的值與R2值相反。若檢驗后的精度不符合要求，則需要增加樣本點數(shù)。

1.3 參數(shù)修正

有限元模型修正可歸結(jié)為以下優(yōu)化問題

s.t.VLB≤p≤VUB

(6)

2 磨機傳動系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)振動分析

某大型磨機的傳動系統(tǒng)如圖1所示。其中：1為電機；2為電機端高速聯(lián)軸器；3為減速器端高速聯(lián)軸器；4為減速器；5為減速器端低速聯(lián)軸器；6為小齒輪軸聯(lián)軸器；7為小齒輪；8為磨機(包括磨機筒體、大齒輪及載荷)。

圖1 某磨機傳動系統(tǒng)簡圖Fig.1 The transmission system diagram of a mill

2.1 初始有限元模型的建立

當量扭轉(zhuǎn)系統(tǒng)是研究傳動系統(tǒng)扭振問題應用最為廣泛的一種模型，它將系統(tǒng)中各部件作為集中質(zhì)量考慮，通過扭轉(zhuǎn)剛度連接，構(gòu)成單一軸線的當量扭振模型[10]。建立當量模型時，原系統(tǒng)各部件參數(shù)可向任一傳動軸等效轉(zhuǎn)換，但需要按轉(zhuǎn)換前后系統(tǒng)的動能和勢能保持不變的原則，來確定轉(zhuǎn)換后模型中各部件的參數(shù)。參數(shù)的等效方法依照式(7)和式(8)

(7)

(8)

其中：Ir，Kr分別為第r軸上的轉(zhuǎn)動慣量和扭轉(zhuǎn)剛度；Is，Ks分別為等效到第s軸上的轉(zhuǎn)動慣量和扭轉(zhuǎn)剛度；ur-s為第r軸和第s軸的轉(zhuǎn)速比。

筆者使用有限元軟件PATRAN建立傳動系統(tǒng)的集中質(zhì)量有限元模型，該模型共有8個轉(zhuǎn)動慣量和7個扭轉(zhuǎn)剛度，分別為依照式(7)、式(8)等效到高速電機軸后各個部件的轉(zhuǎn)動慣量及其之間的扭轉(zhuǎn)剛度，如圖2所示。

圖2 某磨機傳動系統(tǒng)歸一化扭振模型
Fig.2 The normalized torsional vibration model

2.2 模型的修正

對于待修正參數(shù)的選擇，由于傳動系統(tǒng)各部件在幾何參數(shù)和材料確定后，所有的轉(zhuǎn)動慣量J1～J8以及軸的扭轉(zhuǎn)剛度K1，K3，K4，K6都可以確定，但是在傳動系統(tǒng)復雜工況下，聯(lián)軸器的扭轉(zhuǎn)剛度K2，K5及齒輪嚙合剛度K7具有存在誤差或不確定性，所以被選作待修正參數(shù)，分別用A，B，C表示。利用正交設計方法，確定各組樣本數(shù)據(jù)，基于方差分析得出了所有模態(tài)的顯著性參數(shù)篩選結(jié)果，見表1(取顯著水平α=0.05)。

表1 顯著性參數(shù)篩選結(jié)果

Tab.1 The result of significant parameters selection

模態(tài)階次顯著性參數(shù)1ABC2ABC3AB4A5C6C7B

擬合含交互項的三次多項式響應函數(shù)，至少需要13組樣本數(shù)據(jù)，但是由于之前正交設計確定的樣本數(shù)據(jù)只有9組，于是筆者又采用均勻設計方法確定新的樣本數(shù)據(jù)，最終擬合響應面的樣本數(shù)據(jù)增至20組。以模態(tài)頻率為因變量，以3個待修正參數(shù)為自變量，擬合含交互項的三次多項式響應函數(shù)。由于設計空間范圍過小，會造成樣本點代表性不足，影響響應面的精度，也會造成目標值不在響應面所表示的范圍內(nèi)，造成修正結(jié)果失效的問題。圖3是第1階模態(tài)頻率的直觀響應面曲面，[-1,1]是參數(shù)歸一化空間，從圖中可以看出在參數(shù)設計空間內(nèi)，該階模態(tài)頻率的實測值6.26 Hz在響應面表示范圍5.6～6.4 Hz內(nèi)，表明參數(shù)的設計空間范圍是合理的。

圖3 第1階模態(tài)頻率的響應面Fig.3 The response surface of first order modal frequency

以磨機產(chǎn)生振動的實測模態(tài)頻率作為目標值，基于響應面并通過Matlab對初始有限元模型進行修正。修正的結(jié)果見表2。從表2中可以看出，7階模態(tài)頻率的最大誤差由-7.03%降為4.24%，均方誤差由5.21%降為2.01%，說明有限元模型的精度有明顯改善，更接近實際傳動系統(tǒng)的情況。

表2 修正前后頻率及誤差

Tab.2 The frequencies and errors before and after the updating

模態(tài)階次目標值/Hz初始值/Hz修正后值/Hz初始誤差/%修正后誤差/%16．265．826．15-7．03-1．76224．2925．9325．326．754．24370．3268．8371．86-2．122．194171．40163．42170．61-4．66-0．465216．29217．47214．860．55-0．666443．91419．27448．53-5．551．047562．74528．15566．82-6．140．73

2.3 模態(tài)頻率的調(diào)整

判斷系統(tǒng)是否共振的一種方法是基于坎貝爾圖，觀察系統(tǒng)工作頻率是否落在了半功率共振區(qū)[11]?？紤]到阻尼比為0.1時發(fā)生共振的半功率帶寬約是±10%，所以由系統(tǒng)實際的固有頻率及系統(tǒng)的工作頻率得到傳動系統(tǒng)的坎貝爾圖如圖4所示。傳動系統(tǒng)小齒輪工作頻率2.8及53.55 Hz的2倍頻及3倍頻與第1、第4階模態(tài)有沖突(圖中橢圓圈住部分)，此外第2、第7階模態(tài)與磨機筒體工作頻率9.52 Hz的3倍頻以及減速器工作頻率314 Hz的2倍頻有沖突的危險，因此需要提高第1、第4階模態(tài)頻率，以避開系統(tǒng)工作頻率，同時也要避免第2、第7階模態(tài)頻率與工作頻率沖突的發(fā)生。

圖4 傳動系統(tǒng)的坎貝爾圖Fig.4 The Campbell diagrams of transmission system

再次通過基于響應面的有限元修正方法，選擇出對第1，2，4，7階模態(tài)影響顯著的可調(diào)參數(shù)J2，J3，K2，J5，J6及K5等，即聯(lián)軸器的轉(zhuǎn)動慣量與扭轉(zhuǎn)剛度，在參數(shù)設計空間內(nèi)確定樣本數(shù)據(jù)，擬合響應面。以第1、第4階頻率提高后的4階模態(tài)頻率為目標值，以聯(lián)軸器的轉(zhuǎn)動慣量與扭轉(zhuǎn)剛度為待修正參數(shù)，基于響應面并通過Matlab對新的有限元模型再次修正，得到修正過程中參數(shù)變化曲線如圖5所示。

圖5 參數(shù)變化曲線Fig.5 The changing curves of parameter

修正后的頻率見表3。從表3可以看出，修正后的第1、第4階模態(tài)頻率得到提高，分別由6.15，170.61 Hz增至6.62和184.39 Hz。雖然其他模態(tài)也有變化，但都避開了系統(tǒng)的工作頻率，遠離半功率共振區(qū)。將修正后的聯(lián)軸器各參數(shù)等效值按式(7)、式(8)換算為實際值，其結(jié)果及相對調(diào)整量見表4，根據(jù)優(yōu)化設計后的聯(lián)軸器各參數(shù)值調(diào)整磨機傳動系統(tǒng)，結(jié)果表明磨機運行穩(wěn)定，避免了共振現(xiàn)象的發(fā)生。

表3 修正后頻率及相對改變量

Tab.3 The frequencies after updating and the values of relative change

模態(tài)階次修正后值/Hz相對改變量/%16．627．64225．330．04376．676．694184．398．085210．84-1．876444．24-0．967564．09-0．48

表4 優(yōu)化前后聯(lián)軸器各參數(shù)值及調(diào)整量

Tab.4 The values of coupling parameters before and after optimization and adjustment

可調(diào)參數(shù)修正前修正后調(diào)整量/%轉(zhuǎn)動慣量/(kg·m2)J237．236．5-1．88J366．864．3-3．74J598．7112．914．39J696．3111．315．58扭轉(zhuǎn)剛度/((N·m)·rad-1)K21．31×1071．63×10724．43K55．63×1086．05×1087．46

3 結(jié)束語

響應面模型可以準確地反映設計參數(shù)與特征量之間的關系，有效替代有限元模型，避免每次迭代修正都要進行有限元分析，具有快速運行模型的特點。將響應面法應用到機械傳動系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)振動的研究上，從不確定性因素中合理選取顯著參數(shù)，以實測共振模態(tài)頻率為依據(jù)，進行模型修正，進而對傳動系統(tǒng)進行優(yōu)化。實踐表明，優(yōu)化后的磨機運行穩(wěn)定，性能良好，達到了工程要求。針對大型機械傳動系統(tǒng)扭振問題，若在設計和研制階段就利用上述方法對其進行分析，可以為設備良好的可靠性及動態(tài)性能提供保證。

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10.16450/j.cnki.issn.1004-6801.2016.06.029

*江蘇省工程力學分析重點實驗室開放基金資助項目；鄭州市普通科技攻關計劃資助項目(131PPTGG409)

2014-11-24；

2015-01-09

TH113； O327

陶征，男，1970年7月生，博士、講師。主要研究方向為超聲電機及機械結(jié)構(gòu)的動力學分析。曾發(fā)表《基于ANSYS的CX8075加工中心底座的優(yōu)化設計》(《振動、測試與診斷》2012年第32卷第6期)等論文。 E-mail：taozheng@zzu.edu.cn