王甫紅，夏博洋，龔學(xué)文

1. 武漢大學(xué)測(cè)繪學(xué)院，湖北 武漢 430079； 2. 地球空間信息技術(shù)協(xié)同創(chuàng)新中心，湖北 武漢 430079

顧及鐘差變化率的GPS衛(wèi)星鐘差預(yù)報(bào)法

王甫紅1,2，夏博洋1，龔學(xué)文1,2

1. 武漢大學(xué)測(cè)繪學(xué)院，湖北 武漢 430079； 2. 地球空間信息技術(shù)協(xié)同創(chuàng)新中心，湖北 武漢 430079

提出了一種基于鐘差變化率擬合建模的衛(wèi)星鐘差預(yù)報(bào)方法。以附加周期項(xiàng)的線性或二次多項(xiàng)式作為基礎(chǔ)模型對(duì)鐘差變化率序列進(jìn)行擬合，最優(yōu)估計(jì)衛(wèi)星鐘差的趨勢(shì)項(xiàng)系數(shù)，然后直接使用精密定軌得到的相應(yīng)時(shí)刻的衛(wèi)星鐘差計(jì)算預(yù)報(bào)初始時(shí)刻的基準(zhǔn)項(xiàng)系數(shù)，來(lái)建立衛(wèi)星鐘差的預(yù)報(bào)模型。以IGS發(fā)布的快速星歷(IGR)的衛(wèi)星鐘差為試驗(yàn)數(shù)據(jù)，對(duì)GPS星座中各種型號(hào)的所有衛(wèi)星鐘差進(jìn)行預(yù)報(bào)。結(jié)果表明：本文方法3 、6、12與24 h的預(yù)報(bào)精度分別可達(dá)0.43、0.58、0.90與1.47 ns，相比于傳統(tǒng)的基于鐘差擬合的預(yù)報(bào)方法，精度分別提高69.3%、61.8%、50.5%與37.2%；與IGS發(fā)布的超快速星歷(IGU)的預(yù)報(bào)鐘差相比，鐘差精度分別提高15.7%、23.7%、27.4%與34.4%。

鐘差變化率；鐘差建模；鐘差預(yù)報(bào)；附加周期項(xiàng)；二次多項(xiàng)式

利用IGS發(fā)布的GPS事后精密軌道與鐘差產(chǎn)品，基于載波相位觀測(cè)數(shù)據(jù)的精密單點(diǎn)定位(PPP)技術(shù)可以實(shí)現(xiàn)厘米甚至毫米級(jí)的定位精度。但I(xiàn)GS發(fā)布的GPS事后精密星歷產(chǎn)品都存在不同程度的時(shí)間延遲，因此無(wú)法應(yīng)用于實(shí)時(shí)導(dǎo)航定位。雖然目前IGS發(fā)布的實(shí)時(shí)精密軌道產(chǎn)品(IGU-P)的軌道精度已達(dá)到厘米級(jí)，但其鐘差外推精度僅為3 ns左右，嚴(yán)重影響IGU產(chǎn)品在實(shí)時(shí)精密導(dǎo)航定位中的應(yīng)用。因此，GPS衛(wèi)星鐘差實(shí)時(shí)精密確定與中短期高精度預(yù)報(bào)已成為高精度實(shí)時(shí)導(dǎo)航應(yīng)用中的關(guān)鍵技術(shù)之一[1-3]。

GPS衛(wèi)星鐘差的預(yù)報(bào)精度與衛(wèi)星原子鐘的頻率穩(wěn)定度緊密相關(guān)，而不同類型衛(wèi)星鐘的頻率穩(wěn)定度也存在較大差異。研究表明，衛(wèi)星鐘原子頻標(biāo)的頻率主要存在5種獨(dú)立的隨機(jī)噪聲：調(diào)相白噪聲、調(diào)相閃變?cè)肼?、調(diào)頻白噪聲、調(diào)頻閃變?cè)肼暫驼{(diào)頻隨機(jī)游走噪聲[4-7]。這些噪聲會(huì)對(duì)鐘頻標(biāo)輸出信號(hào)的相位和頻率產(chǎn)生影響，引起頻率的隨機(jī)變化，從而導(dǎo)致衛(wèi)星鐘差難以準(zhǔn)確預(yù)報(bào)。截至2016年4月1日，GPS星座中共出現(xiàn)過(guò)BLOCK I、II、IIA、IIR、IIR-M與IIF等6種型號(hào)的衛(wèi)星，主要搭載銫原子鐘(Cs)與銣原子鐘(Rb)。相較于Cs鐘，Rb鐘的短期穩(wěn)定度相對(duì)較高。在GPS衛(wèi)星鐘差預(yù)報(bào)中，通?；诰芏ㄜ壍玫降男l(wèi)星鐘差數(shù)據(jù)，采用線性模型、二次多項(xiàng)式或灰色模型等進(jìn)行鐘差擬合與預(yù)報(bào)，在衛(wèi)星鐘頻率穩(wěn)定度較高的情況下，能夠獲得較好的鐘差預(yù)報(bào)結(jié)果[8-10]。由于部分GPS衛(wèi)星使用年限較長(zhǎng)，原子鐘頻率穩(wěn)定度較差，鐘差預(yù)報(bào)精度相對(duì)較差。

GPS衛(wèi)星鐘差預(yù)報(bào)精度除與衛(wèi)星鐘本身的頻率穩(wěn)定度有關(guān)外，還需考慮外部環(huán)境的影響。衛(wèi)星鐘受在軌運(yùn)行的溫度與空間環(huán)境等因素的影響，原子頻標(biāo)的頻率呈現(xiàn)周期性變化。為了提高預(yù)報(bào)精度，通常在線性模型或二次多項(xiàng)式預(yù)報(bào)模型中增加周期項(xiàng)[11-16]。在早期發(fā)布的IGU預(yù)報(bào)鐘差產(chǎn)品中，GPS IIA衛(wèi)星的Cs鐘和IIR衛(wèi)星的Rb鐘都采用附加約12 h周期項(xiàng)的線性模型，II/IIA衛(wèi)星的Rb鐘則采用附加約12 h周期項(xiàng)的二次多項(xiàng)式模型來(lái)預(yù)報(bào)鐘差[17]。部分Cs鐘和穩(wěn)定度較差的Rb鐘的鐘差預(yù)報(bào)精度較差，與廣播星歷的鐘差精度相當(dāng)。為了提高IGU產(chǎn)品的精度，IGS將這些衛(wèi)星排除在外，總體預(yù)報(bào)精度從2～4 ns提高到1 ns[18]，但這種排除策略將引起可用衛(wèi)星數(shù)量的減少而影響用戶的定位。

目前所采用的衛(wèi)星鐘差預(yù)報(bào)方法，通常是對(duì)精確估計(jì)的衛(wèi)星鐘差數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合建模，然后利用所建立的模型來(lái)預(yù)報(bào)后續(xù)時(shí)刻的衛(wèi)星鐘差。本文提出一種基于衛(wèi)星鐘差變化率序列的鐘差建模與預(yù)報(bào)新方法，采用附加周期項(xiàng)的線性模型或多項(xiàng)式模型對(duì)衛(wèi)星鐘的鐘差變化率進(jìn)行擬合，建立鐘差的預(yù)報(bào)模型并預(yù)報(bào)后續(xù)時(shí)刻的衛(wèi)星鐘差。最后使用當(dāng)前GPS星座的衛(wèi)星鐘差數(shù)據(jù)為試驗(yàn)對(duì)象，驗(yàn)證與分析該方法的有效性與可行性。

1 基于鐘差變化率擬合的鐘差建模

當(dāng)前，GPS衛(wèi)星鐘差常采用線性、二次多項(xiàng)式和附加周期項(xiàng)的線性或二次多項(xiàng)式模型進(jìn)行建模與預(yù)報(bào)。對(duì)鐘差數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，附加周期項(xiàng)的二次多項(xiàng)式模型可表示為

y(t)=a0+a1(t-t0)+a2(t-t0)2+a3sin[2πω(t-t0)]+a4cos[2πω(t-t0)]

(1)

式中，y(t)為t時(shí)刻的鐘差；t0為預(yù)報(bào)鐘差的初始時(shí)刻；a0、a1與a2為多項(xiàng)式系數(shù)；a3與a4為附加周期項(xiàng)的系數(shù)；ω為周期項(xiàng)頻率，根據(jù)IGS鐘差預(yù)報(bào)策略，將周期設(shè)置為GPS衛(wèi)星的軌道周期[17]。

對(duì)式(1)求導(dǎo)，即可得到鐘差變化率的擬合模型

(2)

(3)

V=BX-W,P

(4)

根據(jù)加權(quán)最小二乘準(zhǔn)則，可得

(5)

圖1給出了基于鐘差變化率序列進(jìn)行鐘差建模估計(jì)與鐘差預(yù)報(bào)的時(shí)間關(guān)系。通過(guò)對(duì)[tn,t0]時(shí)間段內(nèi)的鐘差變化率序列進(jìn)行擬合，估計(jì)出a1、a2、a3和a4模型參數(shù)，然后根據(jù)[tj,t0]較短時(shí)間段內(nèi)的精確鐘差，估計(jì)a0參數(shù)，由此建立基于鐘差變化率擬合建模的預(yù)報(bào)模型。在鐘差預(yù)報(bào)階段，按照式(1)預(yù)報(bào)t0時(shí)刻之后軌道弧段的衛(wèi)星鐘差。本文的a0參數(shù)是直接依據(jù)用于模型擬合的IGS精密星歷中t0時(shí)刻的精密鐘差計(jì)算得到，有a0=y(t0)-a4。

圖1 鐘差建模與預(yù)報(bào)Fig.1 Clock modeling and prediction

根據(jù)式(1)與式(2)可知，基于鐘差觀測(cè)值和基于鐘差變化率觀測(cè)值這兩種建模方法的基礎(chǔ)模型是一致的，都是附加周期項(xiàng)的二次多項(xiàng)式模型。雖然基于鐘差變化率觀測(cè)值的基礎(chǔ)模型經(jīng)過(guò)求導(dǎo)后，消除了a0項(xiàng)，模型次數(shù)降低，但考慮到該擬合模型來(lái)自于基礎(chǔ)模型，而且兩者的預(yù)報(bào)模型是完全一致的，因此下文在討論基于鐘差變化率的擬合模型，仍沿用其采用的基礎(chǔ)模型來(lái)表述。

2 兩種鐘差建模方法的比較

傳統(tǒng)的基于鐘差序列的建模方法采用“一步法”原理，利用全弧段的鐘差數(shù)據(jù)整體估計(jì)ai(i=0,1,…,4)；而基于鐘差變化率序列的建模方法采用“二步法”原理，先擬合估計(jì)ai(i=1,2,…,4)參數(shù)，確定衛(wèi)星鐘差的變化趨勢(shì)，然后利用與預(yù)報(bào)時(shí)刻相近的短弧段精密鐘差估計(jì)預(yù)報(bào)鐘差的基準(zhǔn)項(xiàng)a0，建立完整的鐘差預(yù)報(bào)模型。

根據(jù)上文分析可知，兩種建模方法的數(shù)學(xué)模型是完全一致的，預(yù)報(bào)模型參數(shù)ai(i=0,1,…,4)的物理意義也相同，兩者的主要區(qū)別在于估計(jì)a0項(xiàng)所使用的鐘差數(shù)據(jù)長(zhǎng)度不一致。采用“一步法”原理，使用了整個(gè)弧段內(nèi)的數(shù)據(jù)來(lái)估計(jì)預(yù)報(bào)鐘差的基準(zhǔn)a0，而“兩步法”僅使用與預(yù)報(bào)初始時(shí)刻相近的短弧段數(shù)據(jù)來(lái)估計(jì)，由此導(dǎo)致兩種建模方法得到的a0不同，同時(shí)會(huì)引起趨勢(shì)項(xiàng)參數(shù)ai(i=1,2,…,4)出現(xiàn)微小差異。通過(guò)大量的試驗(yàn)分析，在衛(wèi)星鐘頻率穩(wěn)定度較高的情況下，兩種方法估計(jì)得到的a0差異不大，當(dāng)衛(wèi)星鐘頻率穩(wěn)定度較差時(shí)，結(jié)果差異較大。

通過(guò)比較分析，采用本文提出的基于鐘差變化率擬合的鐘差預(yù)報(bào)方法，在數(shù)據(jù)處理過(guò)程中還存在以下優(yōu)勢(shì)：

(1) 對(duì)于精密定軌的單天解或者弧段解結(jié)果，如果沒有經(jīng)過(guò)軌道綜合處理，會(huì)存在不同弧段解之間的鐘差不連續(xù)現(xiàn)象[19]，對(duì)“一步法”鐘差建模存在較大的影響，嚴(yán)重時(shí)導(dǎo)致建模失敗，但是對(duì)“兩步法”的影響只有跳變點(diǎn)附近的兩個(gè)歷元，可以通過(guò)粗差檢測(cè)來(lái)消除，不影響鐘差變化趨勢(shì)的估計(jì)。

(2) 從鐘差建模角度來(lái)看，“兩步法”通過(guò)整體估計(jì)鐘差的變化趨勢(shì)項(xiàng)，利用精密鐘差作為基準(zhǔn)，如果預(yù)報(bào)時(shí)間段內(nèi)鐘差的變化趨勢(shì)與建模時(shí)段相同，就可以獲得很高的預(yù)報(bào)精度。而采用“一步法”，雖然在建模時(shí)間段內(nèi)，鐘差建模結(jié)果是最優(yōu)的，但建模得到的鐘差基準(zhǔn)項(xiàng)受到全弧段數(shù)據(jù)的影響，與預(yù)報(bào)初始時(shí)刻的精密鐘差可能會(huì)存在一定的差異，由此會(huì)引起預(yù)報(bào)鐘差存在系統(tǒng)性的偏差。

3 基礎(chǔ)模型確定

截至2016年4月1日，GPS星座由12顆IIR衛(wèi)星、8顆IIR-M衛(wèi)星與12顆IIF衛(wèi)星組成，除2顆IIF衛(wèi)星(G8，G24)采用Cs鐘外，其余衛(wèi)星都采用Rb鐘。表1列出了GPS衛(wèi)星以及衛(wèi)星鐘的基本信息。可以看出，不同型號(hào)的GPS衛(wèi)星啟用的時(shí)間相差10～20 a，考慮到不同時(shí)期各種型號(hào)原子鐘的頻率穩(wěn)定度以及時(shí)間基準(zhǔn)的維持技術(shù)都會(huì)有所不同，因此需要根據(jù)不同型號(hào)原子鐘的鐘差變化特性，選擇合適的基礎(chǔ)模型，才能獲得較高的預(yù)報(bào)精度。

表1 GPS衛(wèi)星及衛(wèi)星鐘信息(2016年4月1日)
Tab.1 Information about GPS satellites and its clocks (1st, April, 2016)

衛(wèi)星型號(hào)衛(wèi)星號(hào)(PRN)原子鐘類型衛(wèi)星啟用時(shí)間IIR2、11、13、14、16、18、19、20、21、22、23、28Rb1997—2004IIR-M4、5、7、12、15、17、29、31Rb2005—2009IIF1、3、6、9、10、25、26、27、30、32Rb8、24Cs2010—2016

對(duì)于IIR與IIR-M衛(wèi)星，IGS采用附加周期項(xiàng)的線性模型對(duì)鐘差進(jìn)行建模與預(yù)報(bào)[17]，因此本文仍沿用附加周期項(xiàng)的線性模型作為基礎(chǔ)模型。對(duì)于最新型號(hào)的IIF衛(wèi)星，IGS沒有給出具體的預(yù)報(bào)模型，本文將通過(guò)試驗(yàn)分析鐘差變化率的變化特性，確定合理的基礎(chǔ)模型。IIF衛(wèi)星存在Rb鐘與Cs鐘兩種原子鐘，分別采用線性模型、二次多項(xiàng)式、附加周期項(xiàng)的線性模型與附加周期項(xiàng)的二次多項(xiàng)式共4種基礎(chǔ)模型對(duì)兩種原子鐘的鐘差變化率進(jìn)行擬合，如圖2所示?？梢钥闯?，IIF衛(wèi)星Rb鐘的鐘差變化率序列具有明顯的周期變化特性，并存在趨勢(shì)項(xiàng)變化，因此采用附加周期項(xiàng)的二次多項(xiàng)式作為基礎(chǔ)模型；而Cs鐘的周期性并不明顯。圖3統(tǒng)計(jì)了Rb鐘與Cs鐘在4種模型下鐘差變化率擬合誤差的均方根值(RMS)。可以看出，對(duì)于搭載Rb鐘的IIF衛(wèi)星(G01與G30)，附加周期項(xiàng)的二次多項(xiàng)式模型擬合誤差明顯最?。粚?duì)于搭載Cs鐘的G08與G24衛(wèi)星，4種模型的擬合誤差都基本相當(dāng)，但附加周期項(xiàng)的二次多項(xiàng)式模型相對(duì)較小。因此對(duì)于IIF衛(wèi)星的鐘差，無(wú)論是Rb鐘還是Cs鐘，本文將統(tǒng)一采用附加周期項(xiàng)的二次多項(xiàng)式模型作為基礎(chǔ)模型，進(jìn)行擬合建模并預(yù)報(bào)。

圖2 衛(wèi)星鐘差變化率及其擬合結(jié)果Fig.2 Clock offset rates and their fitting results

4 試驗(yàn)結(jié)果與分析

IGS發(fā)布的精密軌道與鐘差產(chǎn)品包括超快速星歷(IGU)、快速星歷(IGR)與最終精密星歷(IGS)。最終精密星歷的精度最高，但其發(fā)布存在12～18 d的時(shí)間延遲，其30 s的鐘差產(chǎn)品精度可達(dá)0.075 ns(3σ)?？焖傩菤v的精度次之，鐘差精度為0.075 ns(2σ)，存在17～41 h的發(fā)布時(shí)延。超快速星歷包括觀測(cè)部分(IGU-O)與預(yù)測(cè)部分(IGU-P)，觀測(cè)部分存在3～9 h的發(fā)布時(shí)延，預(yù)測(cè)部分可以實(shí)時(shí)使用[21]。IGU-O的鐘差通過(guò)對(duì)多個(gè)IGS數(shù)據(jù)分析中心估計(jì)鐘差的綜合加權(quán)得到，精度為0.15 ns；IGU-P的鐘差基于多個(gè)IGS數(shù)據(jù)分析中心估計(jì)的鐘差經(jīng)過(guò)復(fù)雜的綜合加權(quán)外推得到，并非某種單一預(yù)報(bào)模型的預(yù)報(bào)結(jié)果，其鐘差精度為3 ns左右[22]。

圖3 衛(wèi)星鐘差變化率擬合的精度統(tǒng)計(jì)Fig.3 Accuracy statistics of clock offset rate fitting

以2016年4月1—9日IGR鐘差產(chǎn)品為試驗(yàn)對(duì)象，分別采用本文提出的基于鐘差變化率擬合的預(yù)報(bào)方法(方案1)以及傳統(tǒng)的基于鐘差擬合的預(yù)報(bào)方法(方案2)對(duì)3 d的IGR鐘差進(jìn)行擬合建模，并向后預(yù)報(bào)1 d的衛(wèi)星鐘差，與IGR鐘差比較，統(tǒng)計(jì)分析鐘差的預(yù)報(bào)精度。無(wú)論是基于鐘差擬合還是鐘差變化率擬合，兩種方案下的基礎(chǔ)模型都相同，對(duì)于IIR與IIR-M衛(wèi)星，都采用附加周期項(xiàng)的線性模型；對(duì)于IIF衛(wèi)星，則采用附加周期項(xiàng)的二次多項(xiàng)式模型。此外，試驗(yàn)中將同時(shí)列出IGU預(yù)報(bào)鐘差(IGU-P)的精度，作為鐘差預(yù)報(bào)精度的參照。

4.1 鐘差預(yù)報(bào)精度統(tǒng)計(jì)

使用4月1—3日3 d的IGR鐘差產(chǎn)品，分別采用方案1和方案2進(jìn)行建模，預(yù)報(bào)4月4日的鐘差，以該天IGR的鐘差為參考，計(jì)算預(yù)報(bào)鐘差的精度；依此類推，分別預(yù)報(bào)4月5—9日的鐘差。圖4給出了4月4—9日兩種預(yù)報(bào)方案下每顆GPS衛(wèi)星的鐘差預(yù)報(bào)精度(RMS)，同時(shí)列出了IGU預(yù)報(bào)鐘差的精度，期間內(nèi)IGU沒有給出G08衛(wèi)星鐘差預(yù)報(bào)結(jié)果。可以看出：

(1) GPS星座中60%以上的衛(wèi)星為IIR與IIR-M衛(wèi)星，對(duì)于IIR與IIR-M衛(wèi)星的Rb鐘，在大多數(shù)情況下特別是在衛(wèi)星鐘差穩(wěn)定度較差時(shí)，方案1的鐘差預(yù)報(bào)精度優(yōu)于方案2，且優(yōu)于IGU預(yù)報(bào)鐘差。

(2) 少數(shù)IIR與IIR-M衛(wèi)星的預(yù)報(bào)誤差較大，如G28，這是由擬合建模期間和預(yù)報(bào)期間衛(wèi)星鐘差的變化趨勢(shì)不一致引起的。在此情況下，兩種方法都無(wú)法準(zhǔn)確預(yù)報(bào)。

(3) 對(duì)于IIF衛(wèi)星的Rb鐘(G01、G03、G06、G09、G10、G25、G26、G27、G30與G32)，因?yàn)樾l(wèi)星鐘穩(wěn)定度較高，方案1的鐘差預(yù)報(bào)精度與方案2相當(dāng)，但兩種方案的鐘差預(yù)報(bào)精度都明顯優(yōu)于IGU預(yù)報(bào)鐘差。

(4) 對(duì)于IIF衛(wèi)星的Cs鐘(G08與G24)，由于短期穩(wěn)定度較差，預(yù)報(bào)精度整體較差，方案1的預(yù)報(bào)鐘差精度略優(yōu)于方案2，大多數(shù)時(shí)候也優(yōu)于IGU預(yù)報(bào)鐘差。

(5) 存在少量幾例情況，方案1的預(yù)報(bào)精度略低于方案2，主要是由基準(zhǔn)項(xiàng)a0不精確引起的，即用于擬合的精密鐘差存在一定的誤差。

表2統(tǒng)計(jì)了4月4—9日兩種預(yù)報(bào)方案下各種型號(hào)衛(wèi)星鐘預(yù)報(bào)時(shí)長(zhǎng)分別為3、6、12以及24 h的鐘差預(yù)報(bào)精度，作為對(duì)比，同時(shí)也列出了IGU預(yù)報(bào)鐘差的精度，其中“IIR Rb”表示IIR衛(wèi)星搭載的Rb鐘，類似的，“IIR-M Rb”、“IIF Rb”與“IIF Cs”分別表示IIR-M、IIF衛(wèi)星搭載的Rb鐘或Cs鐘，“all”表示對(duì)所有衛(wèi)星的鐘差預(yù)報(bào)精度進(jìn)行統(tǒng)計(jì)。從表2可以明顯發(fā)現(xiàn)：

(1) 對(duì)于各種型號(hào)的衛(wèi)星鐘，本文提出的基于鐘差變化率擬合的預(yù)報(bào)方法(方案1)相比于基于鐘差擬合的預(yù)報(bào)方法(方案2)，其鐘差預(yù)報(bào)精度都有不同程度的提高，但隨著預(yù)報(bào)時(shí)長(zhǎng)增大，鐘差預(yù)報(bào)精度的提高幅度有所降低。如對(duì)于IIR衛(wèi)星的Rb鐘，預(yù)報(bào)時(shí)長(zhǎng)為3、6、12與24 h對(duì)應(yīng)的精度提高幅度分別為79.2%、70.6%、56.2%與40.3%。

(2) 相比于IGU產(chǎn)品，對(duì)于IIR-M衛(wèi)星的Rb鐘，方案1的3 h鐘差預(yù)報(bào)精度與IGU基本相當(dāng)，下降2.8%，對(duì)于其余衛(wèi)星鐘，方案1的預(yù)報(bào)鐘差精度都有不同程度的提高。與相較于方案2的精度提高幅度變化不同，對(duì)于IIR衛(wèi)星Rb鐘，方案1相較于IGU的鐘差預(yù)報(bào)精度隨著預(yù)報(bào)時(shí)長(zhǎng)增大而逐漸下降，3、6、12與24 h對(duì)應(yīng)的精度提高幅度分別為35.7%、32.9%、24.3%與19.3%。但對(duì)于其他型號(hào)衛(wèi)星鐘，方案1的精度提高幅度隨著預(yù)報(bào)時(shí)間增長(zhǎng)逐漸提高，如對(duì)于IIF衛(wèi)星的Rb鐘，方案1對(duì)3、6、12與24 h鐘差預(yù)報(bào)的精度提高幅度分別為40.0%、54.4%、67.3%與72.5%。

(3) 本文提出的新方法，對(duì)IIF衛(wèi)星Rb鐘的鐘差預(yù)報(bào)精度最優(yōu)，3、6、12與24 h的鐘差預(yù)報(bào)精度分別可達(dá)0.21、0.26、0.35與0.61 ns，相比于IGU預(yù)報(bào)鐘差，其精度提高幅度也較大。其原因在于，IIF衛(wèi)星Rb鐘的鐘差變化率具有較為明顯的周期性趨勢(shì)，本文采用附加周期項(xiàng)的多項(xiàng)式模型對(duì)鐘差變化率進(jìn)行擬合，能夠很好地反映出鐘差變化的趨勢(shì)，從而實(shí)現(xiàn)更為準(zhǔn)確的預(yù)報(bào)。對(duì)于IIF衛(wèi)星的Cs鐘，本文方法3、6、12與24 h的鐘差預(yù)報(bào)精度相對(duì)較低，分別為1.17、1.50、2.05與2.45 ns，相比于IGU的提高幅度也相對(duì)較小。原因在于Cs鐘的短期穩(wěn)定度較差，雖然采用本文方法對(duì)鐘差預(yù)報(bào)精度有一定的提高，仍然無(wú)法達(dá)到Rb鐘的預(yù)報(bào)精度。

圖4 衛(wèi)星鐘差的1 d預(yù)報(bào)精度Fig.4 Accuracy statistics of the clock prediction for one day

表2 鐘差預(yù)報(bào)的精度統(tǒng)計(jì)Tab.2 Accuracy statistics of the clock prediction

(4) 總的來(lái)說(shuō)，本文提出的方法3、6、12與24 h的鐘差預(yù)報(bào)精度分別可達(dá)0.43、0.58、0.90與1.47 ns，方案2對(duì)3、6、12與24 h的鐘差預(yù)報(bào)精度分別為1.40、1.52、1.82與2.34 ns，相比于方案2，本文方法預(yù)報(bào)精度分別可提高69.3%、61.8%、50.5%與37.2%；IGU預(yù)報(bào)鐘差3、6、12與24 h的精度分別為0.51、0.76、1.24與2.24 ns，相比于IGU預(yù)報(bào)鐘差，本文方法的預(yù)報(bào)精度分別可提高15.7%、23.7%、27.4%與34.4%，這說(shuō)明本文提出的預(yù)報(bào)方法精度要優(yōu)于目前IGS超快速星歷鐘差預(yù)報(bào)所采用的方法。

4.2 鐘差預(yù)報(bào)精度分析

相比傳統(tǒng)的基于鐘差擬合的預(yù)報(bào)方法，本文提出的基于鐘差變化率擬合的預(yù)報(bào)方法可以較大幅度地提高衛(wèi)星鐘差的中短期預(yù)報(bào)精度，其主要原因在于本文方法將鐘差擬合模型的趨勢(shì)項(xiàng)系數(shù)(a1,a2,a3,a4)與基準(zhǔn)項(xiàng)a0分為兩步計(jì)算，減小基準(zhǔn)項(xiàng)的建模誤差。

圖5給出了兩種方案下IIR Rb鐘、IIR-M Rb鐘在擬合建模期間的擬合殘差，可以看出：

(1) 方案2對(duì)鐘差進(jìn)行擬合，根據(jù)擬合殘差平方和最小準(zhǔn)則，可以獲得(a0,a1,a2,a3,a4)參數(shù)的最優(yōu)解，能夠保證鐘差擬合誤差最小，因此(a)和(b)圖中方案2的擬合誤差曲線整體在0附近，整體的偏差相對(duì)較小。

(2) 本文提出的方法(方案1)對(duì)鐘差變化率進(jìn)行擬合，根據(jù)最小二乘準(zhǔn)則可以獲得(a1,a2,a3,a4)參數(shù)基于鐘差變化率擬合殘差最小的最優(yōu)解，a0項(xiàng)根據(jù)鐘差擬合時(shí)段末尾時(shí)刻的精密鐘差計(jì)算得到，因此所得模型參數(shù)并非鐘差數(shù)據(jù)擬合的最優(yōu)解，并不能保證鐘差擬合誤差最小。

(3) 方案1與方案2的鐘差擬合誤差變化趨勢(shì)基本相同，這說(shuō)明兩種方案下鐘差擬合的趨勢(shì)項(xiàng)參數(shù)(a1,a2,a3,a4)的差異很小。兩種方案的擬合誤差存在明顯的系統(tǒng)性差異，這主要來(lái)自于a0項(xiàng)的影響。在鐘差擬合時(shí)段的末尾時(shí)刻，方案1能夠約束該時(shí)刻的鐘差擬合誤差為0，而方案2則可能存在較大的擬合誤差。

圖5 GPS衛(wèi)星鐘的鐘差擬合誤差Fig.5 The fitting residuals for GPS clocks

圖6給出了方案1與方案2在一天內(nèi)所有GPS衛(wèi)星的鐘差預(yù)報(bào)誤差曲線。可以看出，在初始時(shí)刻，方案1的預(yù)報(bào)誤差為0，一天內(nèi)預(yù)報(bào)誤差在±6 ns范圍內(nèi)；而方案2，部分衛(wèi)星初始時(shí)刻預(yù)報(bào)誤差較大，高達(dá)±4 ns，一天內(nèi)鐘差預(yù)報(bào)誤差最大可達(dá)±10 ns。兩種方案鐘差預(yù)報(bào)誤差的變化趨勢(shì)基本相同，誤差增大幅度也基本一致，這說(shuō)明兩種方案預(yù)報(bào)精度統(tǒng)計(jì)結(jié)果的差異主要來(lái)自于初始時(shí)刻的預(yù)報(bào)偏差。而初始時(shí)刻的鐘差預(yù)報(bào)誤差主要取決于a0項(xiàng)，這也驗(yàn)證了基于鐘差變化率數(shù)據(jù)采用“兩步法”建模結(jié)果更有利于提高鐘差預(yù)報(bào)的精度。

通過(guò)上述初步分析，兩種方案的預(yù)報(bào)精度差異主要取決于a0項(xiàng)。為了進(jìn)一步驗(yàn)證這個(gè)結(jié)論，設(shè)計(jì)一種新的鐘差預(yù)報(bào)方案(即方案3)：取方案1的a0項(xiàng)與方案2的趨勢(shì)項(xiàng)(a1,a2,a3,a4)組成新的預(yù)報(bào)模型。圖7給出了方案1與方案3對(duì)3與24 h的鐘差預(yù)報(bào)精度統(tǒng)計(jì)?？梢钥闯觯瑢?duì)于3與24 h預(yù)報(bào)，方案3與方案1的鐘差預(yù)報(bào)精度不存在明顯差異，相對(duì)于方案2，預(yù)報(bào)精度得到大幅提高，進(jìn)一步驗(yàn)證了本文提出的基于“兩步法”預(yù)報(bào)方法，在衛(wèi)星鐘頻率穩(wěn)定度較差的情況下，能夠更為準(zhǔn)確地進(jìn)行鐘差預(yù)報(bào)。

圖6 所有GPS衛(wèi)星的鐘差預(yù)報(bào)誤差Fig.6 The prediction residuals for all GPS clocks

圖7 鐘差預(yù)報(bào)精度比較Fig.7 Accuracy comparisons of clock prediction

5 結(jié) 論

本文提出了一種基于鐘差變化率擬合的鐘差建模與預(yù)報(bào)方法。該方法采用附加周期項(xiàng)的線性模型與二次多項(xiàng)式模型對(duì)鐘差變化率序列進(jìn)行擬合，估計(jì)鐘差模型的趨勢(shì)項(xiàng)參數(shù)(a1,a2,a3,a4)，同時(shí)根據(jù)預(yù)報(bào)初始時(shí)刻的精密鐘差來(lái)計(jì)算a0項(xiàng)，由此建立鐘差預(yù)報(bào)模型參數(shù)(a0,a1,a2,a3,a4)，預(yù)報(bào)后續(xù)時(shí)刻的鐘差。該方法的數(shù)學(xué)模型本質(zhì)上與傳統(tǒng)的基于鐘差擬合的預(yù)報(bào)方法相同，但模型參數(shù)的建立方法與數(shù)據(jù)處理方案不同，通過(guò)減小全弧段數(shù)據(jù)擬合引起的基準(zhǔn)項(xiàng)a0的計(jì)算誤差，來(lái)提高預(yù)報(bào)時(shí)段內(nèi)的鐘差預(yù)報(bào)精度。

使用IGR鐘差產(chǎn)品，對(duì)所有GPS衛(wèi)星鐘進(jìn)行鐘差預(yù)報(bào)試驗(yàn)。結(jié)果表明：本文方法3、6、12與24 h的預(yù)報(bào)精度分別可達(dá)0.43、0.58、0.90與1.47 ns，相比于傳統(tǒng)的基于鐘差擬合的預(yù)報(bào)方法，分別提高了69.3%、61.8%、50.5%與37.2%；同時(shí)新方法的預(yù)報(bào)鐘差精度也優(yōu)于IGU產(chǎn)品中的預(yù)報(bào)鐘差，鐘差精度分別提高了15.7%、23.7%、27.4%與34.4%。因此，基于鐘差變化率擬合的鐘差預(yù)報(bào)方法，可以較大幅度提高實(shí)時(shí)鐘差的中短期預(yù)報(bào)精度。

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(責(zé)任編輯：叢樹平)

A GPS Satellite Clock Offset Prediction Method Based on Fitting Clock Offset Rates Data

WANG Fuhong1,2,XIA Boyang1,GONG Xuewen1,2

1. School of Geodesy and Geomatics, Wuhan University, Wuhan 430079, China; 2. Collaborative Innovation Center for Geospatial Technology, Wuhan 430079, China

It is proposed that a satellite atomic clock offset prediction method based on fitting and modeling clock offset rates data. This method builds quadratic model or linear model combined with periodic terms to fit the time series of clock offset rates, and computes the model coefficients of trend with the best estimation. The clock offset precisely estimated at the initial prediction epoch is directly adopted to calculate the model coefficient of constant. The clock offsets in the rapid ephemeris (IGR) provided by IGS are used as modeling data sets to perform certain experiments for different types of GPS satellite clocks. The results show that the clock prediction accuracies of the proposed method for 3, 6, 12 and 24 h achieve 0.43, 0.58, 0.90 and 1.47 ns respectively, which outperform the traditional prediction method based on fitting original clock offsets by 69.3%, 61.8%, 50.5% and 37.2%. Compared with the IGU real-time clock products provided by IGS, the prediction accuracies of the new method have improved about 15.7%, 23.7%, 27.4% and 34.4% respectively.

clock offset rates; clock offset modeling; clock offset prediction; additional periodic terms; quadratic polynomial

The National Key Research and Development Program of China (No. 2016YFB0501803); The National Natural Science Foundation of China(No. 41374035)

WANG Fuhong(1973—)，male, PhD, professor, majors in the theory and method of GNSS navigation and satellite orbit determination.

XIA Boyang

王甫紅，夏博洋，龔學(xué)文.顧及鐘差變化率的GPS衛(wèi)星鐘差預(yù)報(bào)法[J].測(cè)繪學(xué)報(bào)，2016,45(12)：1387-1395.

10.11947/j.AGCS.2016.20150480. WANG Fuhong，XIA Boyang，GONG Xuewen.A GPS Satellite Clock Offset Prediction Method Based on Fitting Clock Offset Rates Data[J]. Acta Geodaetica et Cartographica Sinica,2016,45(12):1387-1395. DOI:10.11947/j.AGCS.2016.20150480.

P228

A

1001-1595(2016)12-1387-09

國(guó)家重點(diǎn)研發(fā)計(jì)劃(2016YFB0501803)；國(guó)家自然科學(xué)基金(41374035)

2015-09-18

王甫紅(1973—)，男，博士，教授，研究方向?yàn)樾l(wèi)星導(dǎo)航定位和衛(wèi)星定軌方法。

E-mail：fhwang@sgg.whu.edu.cn

夏博洋

E-mail：357743715@qq.com

修回日期：2016-09-16