江西省宜春市澡溪學(xué)校 鄭 瑤

芻議初中數(shù)學(xué)解題思路

江西省宜春市澡溪學(xué)校 鄭 瑤

初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師除了需要做好基礎(chǔ)知識(shí)教授外，提高學(xué)生解題能力是其最重要的任務(wù)之一，這是因?yàn)閿?shù)學(xué)是一門綜合運(yùn)用性較強(qiáng)的課程，這就需要學(xué)生有良好的解題能力。然而從筆者多年初中數(shù)學(xué)教學(xué)工作情況來看，現(xiàn)階段學(xué)生解題能力現(xiàn)狀不容樂觀，這既有題型難度上升的影響，又有知識(shí)掌握不扎實(shí)的原因，但究其根本是受到學(xué)生普遍缺乏一些常用且有效的初中數(shù)學(xué)解題思路所致，針對(duì)這一情況，廣大教師應(yīng)當(dāng)在教學(xué)過程中結(jié)合相應(yīng)例題將解題思路傳授給學(xué)生，從而為切實(shí)有效地提高他們的解題能力奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

一、構(gòu)造解題思路

根據(jù)筆者對(duì)相關(guān)文獻(xiàn)的研究以及結(jié)合自身實(shí)踐來看，構(gòu)造解題思路主要指在充分分析問題基礎(chǔ)上，通過對(duì)其構(gòu)造出諸如等價(jià)命題、函數(shù)或不等式的方法來將該問題予以解決。目前構(gòu)造解題思路廣泛地應(yīng)用在初中數(shù)學(xué)幾何與代數(shù)等題型之中，并且相比于常規(guī)方法具有解題效率高、計(jì)算量少以及結(jié)果準(zhǔn)確性高等多方面優(yōu)點(diǎn)。

二、待定系數(shù)解題思路

從實(shí)際教學(xué)工作來看，待定系數(shù)是一種較為特殊的解題思路，其主要是通過為問題設(shè)立出未知數(shù)，隨后通過題中所提供條件將未知數(shù)方程解出便能將答案求出。待定系數(shù)解題思路通常主要應(yīng)用在函數(shù)題型之中，并且其在應(yīng)用中具有三方面解題步驟：第一，在有效分析題目問題基礎(chǔ)上，為其設(shè)出一個(gè)待定字母系數(shù)關(guān)系式的未知數(shù)；第二，進(jìn)一步分析題目所提供的已知條件，建立起含待定字母的未知數(shù)方程或方程組；第三，根據(jù)題目已知條件或隱含的各種等量關(guān)系將該方程解出，隨后將所設(shè)未知數(shù)求解即可。

例2 某超市推出一批童裝，它的成本價(jià)是60元一件。為了確保不虧本以及獲取相應(yīng)利潤(rùn)，超市規(guī)定這批童裝折后售價(jià)要高于成本價(jià)，但單件利潤(rùn)又不能超過45%，之后通過一段時(shí)間售賣后可知，童裝售價(jià)a（元）和銷售量b（件）這二者恰好可以構(gòu)成一次函數(shù)：b=ka+c。另外，當(dāng)售價(jià)是75元時(shí)，賣了45件；而當(dāng)售價(jià)是65元時(shí)，賣了55件。那么請(qǐng)問：①售價(jià)a（元）和銷售量b（件）構(gòu)成的一次函數(shù)：b=ka+c具體是什么？②超市童裝銷售利潤(rùn)為W，那么它和售價(jià)a二者構(gòu)成一個(gè)怎樣的關(guān)系式？另外，如果超市想在該批童裝銷售上獲取最大利潤(rùn)，那么單件售價(jià)應(yīng)該定多少？且最大利潤(rùn)是多少？

解題思路：本題目表述較長(zhǎng)，提供了不少信息，對(duì)此學(xué)生應(yīng)充分抓住題中重點(diǎn)以及已知條件。針對(duì)問題①，學(xué)生只需抓住題目中所提供當(dāng)售價(jià)是75元時(shí)，賣了45件；而當(dāng)售價(jià)是65元時(shí)，賣了55件這些已知條件便能夠?qū)⒌仁街械膋與c解出。問題②關(guān)于超市童裝銷售利潤(rùn)W關(guān)系式構(gòu)建上，學(xué)生只需把握利潤(rùn)=（售價(jià)-成本價(jià)）×銷售量這一等量關(guān)系，隨后分別將相對(duì)應(yīng)的數(shù)字或未知數(shù)代入其中便能將銷售利潤(rùn)W的關(guān)系式構(gòu)建出來。其次在確定出銷售利潤(rùn)W關(guān)的系式后，學(xué)生可以對(duì)其進(jìn)一步整理，隨后根據(jù)其圖像便能夠?qū)⒆畲罄麧?rùn)與售價(jià)解出。

解：① 由題可知，童裝售價(jià)a（元）和銷售量b（件）這二者恰好可以構(gòu)成一次函數(shù)：b=ka+c，并且當(dāng)售價(jià)是75元時(shí)，賣了45件；而當(dāng)售價(jià)是65元時(shí)，賣了55件。

將該方程組解出可得k=-1，c=120。

則童裝售價(jià)a（元）和銷售量b（件）這二者構(gòu)成的一次函數(shù)是b=-a+120。

②根據(jù)利潤(rùn)=（售價(jià)-成本價(jià)）×銷售量這一等量關(guān)系，超市童裝成本價(jià)為60元，且銷售量b的函數(shù)為-a+120，

則W=（售價(jià)-成本價(jià)）×銷售量=（a-60）（-a+120）=-a2+180a-7200

所以超市童裝銷售利潤(rùn)和售價(jià)關(guān)系式為W=-a2+180a-7200。

又因?yàn)閃=-a2+180a-7200，

將其整理變?yōu)閃=-(a-90)2+900，

由此可知超市童裝銷售利潤(rùn)W是一個(gè)開口向下的一元二次函數(shù)。

根據(jù)拋物線性質(zhì)，當(dāng)售價(jià)a小于90元時(shí)，超市童裝銷售利潤(rùn)W會(huì)隨著售價(jià)上升而增加。

又因?yàn)槌幸?guī)定售價(jià)不能低于成本價(jià)，且利潤(rùn)不能超過45%，

所以該批童裝售價(jià)范圍是60≤a≤87B

因此超市要想獲取童裝銷售最大利潤(rùn)，其售價(jià)a應(yīng)該是87元。

則超市童裝銷售利潤(rùn)W=-(a-90)2+900=-(87-90)2+900=891（元）。

答：①童裝售價(jià)a（元）和銷售量b（件）這二者可以構(gòu)成的一次函數(shù)是b=-a+120。②超市童裝銷售利潤(rùn)和售價(jià)關(guān)系式是W=-a2+180a-7200；當(dāng)該童裝售價(jià)是87元時(shí)，超市最大利潤(rùn)為891元。