山東省棗莊學(xué)院 孫 瑞

幾類求解變系數(shù)微分方程的方法

山東省棗莊學(xué)院 孫 瑞

本文主要是將二階變系數(shù)線性微分方程的常系數(shù)化解法，推廣到三階變系數(shù)線性微分方程的解法，并將這些方法應(yīng)用到高階變系數(shù)線性微分方程的解法中，從而能夠解決實(shí)際應(yīng)用中的一些問(wèn)題。

變系數(shù)微分方程；常系數(shù)化法；變量代換；降階法

在一般的系數(shù)激勵(lì)振動(dòng)、波導(dǎo)傳輸理論以及其他實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題中，常會(huì)遇到一些高階變系數(shù)微分方程，如，它們的求解沒(méi)有一般的方法。本文是通過(guò)二階變系數(shù)線性微分方程的常系數(shù)化解法，推廣到三階變系數(shù)線性微分方程，并在求解高階變系數(shù)線性微分方程過(guò)程中應(yīng)用這些方法，進(jìn)而得到求解的一般方法，從而解決實(shí)際應(yīng)用中的一些問(wèn)題。

（2）式即為常系數(shù)微分方程，未知函數(shù)是自變量為t的函數(shù)當(dāng)方程（1）中無(wú)x的項(xiàng)，即，令，則可化為一階微分方程，該方程為變量分離方程，亦可求解。這里主要采用自變量代換，將歐拉方程化為常系數(shù)線性微分方程。

下面分別用自變量代換、因變量代換、降階法進(jìn)行求解。

1.自變量代換

對(duì)二階變系數(shù)線性微分方程

可以用變量代換的方法求解。

由定理1得如下推論：

推論1：三階變系數(shù)線性微分方程：

當(dāng)滿足

解：依據(jù)推論1，滿足如下條件：

推論2：對(duì)于高階變系數(shù)線性微分方程

2.因變量代換

3.降階法

推論5：設(shè)方程（4）對(duì)應(yīng)的齊次方程

例4 將三階變系數(shù)線性微分方程

綜上所述，自變量代換和因變量代換的計(jì)算較為簡(jiǎn)單，所以這種求解方法適用于所有類型的變系數(shù)微分方程，并且不同的代換方法得到的方程也不同。降階法一般適用于低階方程，但由于要求齊次方程的特解，計(jì)算比較麻煩，只有當(dāng)題目已經(jīng)告訴我們齊次方程的特解時(shí)我們才采用此種方法。對(duì)于高階變系數(shù)線性微分方程，逐階降階比較繁瑣，所以一般不采用降階法。

我們可以采用變量變換法對(duì)特殊類型的變系數(shù)微分方程進(jìn)行相應(yīng)的處理，將其化為變系數(shù)線性微分方程，再根據(jù)具體的方程選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蠼狻?/p>

[1]陳惠汝，劉紅超.二階變系數(shù)線性微分方程的變量代換解法[J].湖北：高等函授學(xué)報(bào)，2008（21）：21-22.

[2]崔寧，李軍紅.變系數(shù)微分方程的常系數(shù)化方法研究[J].河北：河北建筑工程學(xué)院學(xué)報(bào)，2007（25）：118-119.

[3]王高雄，周之銘.常微分方程[M].北京：高等教育出版社，1983.

[4]蔡燧林.常微分方程（第二版）[M].武漢：武漢大學(xué)出版社，2003：125.

[5]阮航宇，陳一新.尋找變系數(shù)非線性方程精確解的新方法[J].物理學(xué)報(bào)，2002（2）：177-180.

運(yùn)動(dòng)會(huì)第三項(xiàng)是短跑比賽。在短跑比賽中，小貓每分鐘跑213米，小貓3分鐘能跑多少米？ 列式：213×3。

學(xué)生嘗試用豎式計(jì)算，并說(shuō)一說(shuō)計(jì)算方法。

【設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生將出現(xiàn)的所有方法進(jìn)行聯(lián)系，進(jìn)一步明確豎式計(jì)算形式與點(diǎn)子圖、列表、口算的形式算理是相通的，明確每一步計(jì)算的意義，理解算理。在理解算理的基礎(chǔ)上，掌握算法?！?/p>

6.課堂小結(jié)

今天這節(jié)數(shù)學(xué)課，大家通過(guò)自己的努力，你有什么收獲？還有什么疑問(wèn)嗎？

【設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)回顧所學(xué)知識(shí)，談收獲，學(xué)生在獲得數(shù)學(xué)知識(shí)的同時(shí)，提升梳理、概括知識(shí)的能力，不僅實(shí)現(xiàn)了知識(shí)的系統(tǒng)小結(jié)，而且進(jìn)一步體會(huì)用兩位數(shù)乘一位數(shù)的算理，提升算法?！?/p>

四、教學(xué)反思

《螞蟻?zhàn)霾佟?是北師大版數(shù)學(xué)三年級(jí)上冊(cè)第六單元乘法的起始課，根據(jù)“螞蟻?zhàn)霾佟边@一主題圖，我設(shè)計(jì)了“森林運(yùn)動(dòng)會(huì)”這一情境，將兩位數(shù)乘一位數(shù)、三位數(shù)乘一位數(shù)以及練習(xí)巧妙地融入到情境當(dāng)中去，使該情境貫穿課堂始終，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和積極性。

首先，在輕松愉悅的課堂氛圍中，通過(guò)對(duì)乘法算式以及數(shù)位相關(guān)知識(shí)的復(fù)習(xí)，幫助學(xué)生將舊知識(shí)進(jìn)行遷移，為理解算理埋下伏筆，培養(yǎng)學(xué)生的知識(shí)遷移能力。另外，從“螞蟻?zhàn)霾佟边@一主題圖很自然地抽象出點(diǎn)子圖，讓學(xué)生在點(diǎn)子圖上圈一圈，并用算式記錄自己的思考過(guò)程和結(jié)果，并在表格中試一試。借助點(diǎn)子圖和表格回顧乘法口算的算理和算法，為引入乘法的豎式筆算打下基礎(chǔ)。

其次，我為學(xué)生創(chuàng)設(shè)開(kāi)闊的、自由的學(xué)習(xí)時(shí)空，讓學(xué)生自己探索乘法豎式的計(jì)算方法，理解豎式每一步的算理。我引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)豎式計(jì)算形式與點(diǎn)子圖、列表、口算的形式算理是相通的，都是把12分成10和2，再分別與4相乘，最后把積相加，幫助學(xué)生理解用豎式計(jì)算乘法的算理。

在理解算理的基礎(chǔ)上，學(xué)習(xí)和掌握豎式計(jì)算的算法。以理馭法，讓孩子們?cè)诮涣鞯倪^(guò)程中，互相幫助，取長(zhǎng)補(bǔ)短，加深對(duì)算法的掌握。