張永超，佟麗莉，曹 婧,呂 晨

(1.哈爾濱工程大學(xué) 航天與建筑工程學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150001；2.哈爾濱師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150025)

懸臂梁不同單元類(lèi)型計(jì)算誤差分析

張永超1，佟麗莉1，曹 婧2,呂 晨1

(1.哈爾濱工程大學(xué) 航天與建筑工程學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150001；2.哈爾濱師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150025)

為了研究懸臂梁用不同單元類(lèi)型計(jì)算應(yīng)力結(jié)果與真實(shí)測(cè)量值的誤差和該誤差產(chǎn)生的影響因素。首先，用ABAQUS有限元軟件對(duì)懸臂梁結(jié)構(gòu)進(jìn)行殼單元建模和實(shí)體單元建模，分別計(jì)算出Mises應(yīng)力值，再用經(jīng)典材料力學(xué)方法計(jì)算出相同情況下懸臂梁Mises應(yīng)力值，然后用電阻應(yīng)變測(cè)試法計(jì)算出懸臂梁的真實(shí)應(yīng)力值，計(jì)算出各種應(yīng)力計(jì)算方法相對(duì)于真實(shí)測(cè)量值的誤差。最后，分別計(jì)算不同厚度懸臂梁，用殼單元和實(shí)體單元分別計(jì)算出的Mises應(yīng)力值，將實(shí)體單元計(jì)算應(yīng)力值代替真實(shí)測(cè)量應(yīng)力值，得到殼單元計(jì)算結(jié)果相對(duì)于實(shí)體單元計(jì)算結(jié)果的相對(duì)誤差。研究結(jié)果表明，懸臂梁用實(shí)體單元計(jì)算出的Mises應(yīng)力值相對(duì)于殼單元更加接近于真實(shí)測(cè)量值。隨著懸臂梁厚度的增加，殼單元計(jì)算結(jié)果的精度越來(lái)越小。對(duì)于同一厚度的懸臂梁，不同位置處殼單元計(jì)算應(yīng)力值對(duì)于真實(shí)值的相對(duì)誤差近似為一常數(shù)。

懸臂梁；殼單元；實(shí)體單元；Mises應(yīng)力；相對(duì)誤差

在實(shí)際工程中，對(duì)于薄壁結(jié)構(gòu)進(jìn)行數(shù)值模擬時(shí)，人們將薄壁結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化為殼單元進(jìn)行計(jì)算的方法被廣泛應(yīng)用到各個(gè)行業(yè)[1]。雖然這種殼單元的簡(jiǎn)化可以大大提高計(jì)算效率，但是由此帶來(lái)的計(jì)算誤差往往不能被忽視。因此很有必要對(duì)不同單元類(lèi)型數(shù)值模擬的工程問(wèn)題進(jìn)行誤差分析,以達(dá)到既能提高計(jì)算效率又能滿足工程精度的要求[2]。對(duì)于數(shù)值模擬分析中，用不同單元類(lèi)型進(jìn)行模擬，國(guó)內(nèi)外學(xué)者開(kāi)展了大量的研究工作。中南大學(xué)的張雅鑫等[3]用數(shù)值模擬的方法對(duì)泵車(chē)壁架進(jìn)行多種單元類(lèi)型的計(jì)算，得到用殼單元和實(shí)體單元對(duì)泵車(chē)壁架進(jìn)行簡(jiǎn)化計(jì)算的結(jié)果相對(duì)于真實(shí)結(jié)果偏小，并且用實(shí)體單元進(jìn)行簡(jiǎn)化的結(jié)果更接近于真實(shí)值。邱智學(xué)等[4]利用ABAQUS對(duì)一受話器播腳采用不同的殼單元類(lèi)型進(jìn)行了有限元分析和比較,并用ANSYS軟件的模擬結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)。本文分別通過(guò)殼單元，實(shí)體單元和經(jīng)典材料力學(xué)方法對(duì)懸臂梁受彎應(yīng)力進(jìn)行計(jì)算，計(jì)算結(jié)果與實(shí)際測(cè)量值進(jìn)行對(duì)比得到各種計(jì)算方法的誤差值。再用實(shí)體單元模型的計(jì)算結(jié)果代替真實(shí)測(cè)量值，通過(guò)對(duì)不同厚度的懸臂梁進(jìn)行殼單元數(shù)值模擬分析，進(jìn)一步探討了殼單元計(jì)算懸臂梁的誤差影響因素。

1 計(jì)算過(guò)程及方法

1.1 懸臂梁結(jié)構(gòu)尺寸和實(shí)驗(yàn)方案

1.1.1懸臂梁結(jié)構(gòu)尺寸

試驗(yàn)用懸臂梁結(jié)構(gòu)如圖1，截面尺寸分別為30 mm×30 mm、23 mm×23 mm的薄壁懸臂梁模型的幾何參數(shù)，及施加的載荷如表1。材料為202不銹鋼，材料的彈性模量2.3×105MPa、密度7 850 kg/m3、泊松比0.29、屈服強(qiáng)度≥345 MPa、抗拉強(qiáng)度490～630 MPa。

表1 懸臂梁模型幾何參數(shù)

懸臂梁號(hào)H/mmh/mm懸臂梁長(zhǎng)度l/mm端部載荷F/N懸臂梁一3028.41000100懸臂梁二2322100040

1.1.2實(shí)驗(yàn)方案

測(cè)試點(diǎn)分布如圖2，在距離固定端尺寸分別為30，60，100，200，...，900 mm等共計(jì)選取11個(gè)測(cè)試點(diǎn)，應(yīng)變片貼在懸臂梁受拉面對(duì)稱(chēng)中心線上。

應(yīng)變片粘貼之前要將粘貼表面磨光并擦拭干凈，保證應(yīng)變片不會(huì)在測(cè)量過(guò)程中發(fā)生脫落的現(xiàn)象，擠出應(yīng)變片下的氣泡和過(guò)量膠水，貼好的應(yīng)變片要保證膠層均勾、位置準(zhǔn)確、無(wú)氣泡和整潔干凈。應(yīng)變片貼片前后以及接線前后都要使用萬(wàn)用表進(jìn)行檢測(cè)，確保線路連接正確，避免虛接、損壞等問(wèn)題。

1.2 ABAQUS計(jì)算過(guò)程

1.2.1實(shí)體單元

材料參數(shù)：彈性模量為203 000 MPa;密度為7 850kg/m3;泊松比為0.29。

邊界條件為固支：U1=U2=U3=UR1=UR2=UR3=0

載荷為Y方向集中力：FY=-100 N

網(wǎng)格：網(wǎng)格尺寸2 mm；網(wǎng)格形狀為六面體結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格；單元類(lèi)型C3D8R八結(jié)點(diǎn)線性六面體單元。

1.2.2殼單元

材料參數(shù)：彈性模量203 000 MPa;密度7 850kg/m3;泊松比0.29;殼厚度0.8 mm。

邊界條件為固支：U1=U2=U3=UR1=UR2=UR3=0

載荷為Y方向集中力：FY=-100 N

網(wǎng)格：網(wǎng)格尺寸2 mm；網(wǎng)格形狀六面體結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格；單元類(lèi)型S4R四結(jié)點(diǎn)曲面薄殼或厚殼。

1.2.3材料力學(xué)計(jì)算方法

實(shí)際工程中，懸臂梁發(fā)生橫力彎曲較為常見(jiàn)，橫力彎曲不僅有正應(yīng)力，而且還有切應(yīng)力，由于切應(yīng)力的作用，橫截面才會(huì)發(fā)生翹曲，平面假設(shè)不成立。但是經(jīng)過(guò)理論分析證明，對(duì)于跨度與橫截面高度之比大于5的細(xì)長(zhǎng)梁，可以簡(jiǎn)化成不考慮橫力彎曲的形式，材料力學(xué)公式仍然適用。

取懸臂梁上表面中心線上一點(diǎn)作為研究對(duì)象

根據(jù)材料力學(xué)中第四強(qiáng)度理論(形狀改變比能理論)：

(1)

通過(guò)平面應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)力圓分析法得到下式：

(2)

σy=σz=0,再根據(jù)切應(yīng)力互等定理：τyz=τzy=τxz=τzx=0

得：

(3)

又σmax=σx

(4)

所以得：

(5)

2 計(jì)算結(jié)果和分析

2.1懸臂梁1結(jié)果分析

根據(jù)懸臂梁1有限元實(shí)體單元和有限元?dú)卧Ｐ陀?jì)算結(jié)果，最大Mises應(yīng)力分別為136.8、130.9 MPa,均靠近懸臂梁固定端。

在有限元模型中找出與實(shí)測(cè)點(diǎn)相同位置的Mises應(yīng)力，得到實(shí)體單元計(jì)算值、殼單元計(jì)算值、材料力學(xué)計(jì)算值，以及實(shí)體單元計(jì)算值、殼單元計(jì)算值、材料力學(xué)計(jì)算值分別對(duì)實(shí)驗(yàn)值相對(duì)誤差，相對(duì)誤差絕對(duì)值平均值如表2所示，計(jì)算值和實(shí)驗(yàn)值的對(duì)比曲線如圖3。

表2表明，對(duì)于實(shí)體單元模型，各測(cè)試點(diǎn)對(duì)于實(shí)驗(yàn)值的應(yīng)力相對(duì)誤差都在10%以?xún)?nèi)，平均相對(duì)誤差為4.824%，小于5%，滿足工程要求；對(duì)于殼模型，各測(cè)試點(diǎn)相對(duì)于實(shí)驗(yàn)值的應(yīng)力相對(duì)誤差都在20%以?xún)?nèi)，平均相對(duì)誤差為9.088%，小于10%，和實(shí)際測(cè)量值誤差較大；對(duì)于材料力學(xué)計(jì)算方法所得出的結(jié)果，各測(cè)試點(diǎn)相對(duì)于實(shí)驗(yàn)值的應(yīng)力平均相對(duì)誤差為26.879%，與真實(shí)值的誤差最大?？梢?jiàn)，用有限元軟件做懸臂梁受彎構(gòu)件所得的彎曲應(yīng)力比用材料力學(xué)計(jì)算方法做懸臂梁受彎構(gòu)件所得的彎曲應(yīng)力更為準(zhǔn)確。有限元實(shí)體單元比殼單元更適合懸臂梁的應(yīng)力計(jì)算。

表2 懸臂梁1的不同計(jì)算方法計(jì)算值及相對(duì)誤差

表3 懸臂梁2各種計(jì)算方法計(jì)算值及相對(duì)誤差

2.2懸臂梁2結(jié)果分析

根據(jù)懸臂梁2的有限元實(shí)體單元和有限元?dú)卧Ｐ陀?jì)算結(jié)果，最大Mises應(yīng)力分別為147.3、119.3 MPa,均靠近懸臂梁固定端。

在有限元模型中找出與實(shí)測(cè)點(diǎn)相同位置的Mises應(yīng)力，得到實(shí)體單元計(jì)算值、殼單元計(jì)算值、材料力學(xué)計(jì)算值，以及實(shí)體單元計(jì)算值、殼單元計(jì)算值、材料力學(xué)計(jì)算值分別對(duì)實(shí)驗(yàn)值相對(duì)誤差，相對(duì)誤差絕對(duì)值平均值如表4所示，計(jì)算值和實(shí)驗(yàn)值的對(duì)比曲線如圖4。

表3表明，對(duì)于實(shí)體單元模型，各測(cè)試點(diǎn)對(duì)于實(shí)驗(yàn)值的應(yīng)力平均相對(duì)誤差為4.337%，小于5%，滿足工程要求；對(duì)于殼單元模型，各測(cè)試點(diǎn)相對(duì)于實(shí)驗(yàn)值的應(yīng)力相對(duì)誤差都在20%以?xún)?nèi)，平均相對(duì)誤差為6.869%，小于10%，和實(shí)際測(cè)量值誤差較大；對(duì)于材料力學(xué)計(jì)算方法所得出的結(jié)果，各測(cè)試點(diǎn)相對(duì)于實(shí)驗(yàn)值的應(yīng)力平均相對(duì)誤差為22.786%，與真實(shí)值的誤差最大?？梢?jiàn)，用有限元軟件做懸臂梁受彎構(gòu)件所得的彎曲應(yīng)力比用材料力學(xué)計(jì)算方法做懸臂梁受彎構(gòu)件所得的彎曲應(yīng)力更為準(zhǔn)確。有限元實(shí)體單元比殼單元更適合懸臂梁的應(yīng)力計(jì)算。驗(yàn)證了對(duì)懸臂梁1計(jì)算所得的結(jié)論。

2.3不同壁厚懸臂梁計(jì)算結(jié)果分析

為探究殼單元計(jì)算懸臂梁受彎應(yīng)力與真實(shí)值的相對(duì)誤差的影響因素，設(shè)置長(zhǎng)度為1 000 mm，厚度T分別為0.2、0.4、0.6、0.8、1.0、1.2、1.4、1.6、1.8、2.0 mm的懸臂梁，截面如圖5所示。

根據(jù)以上討論，用實(shí)體單元應(yīng)力計(jì)算結(jié)果與實(shí)際測(cè)量值誤差不到5%，所以可以用實(shí)體單元的應(yīng)力計(jì)算結(jié)果代替實(shí)際測(cè)量值。分別用殼單元和實(shí)體單元計(jì)算不同厚度懸臂梁，距固定端200、400、600、800 mm處的Mises應(yīng)力值，得到表4。

表4 不同厚度懸臂梁在不同位置殼單元相對(duì)實(shí)體單元誤差表 單位：%

根據(jù)上表所得數(shù)據(jù)，得到距固定端相同位置處，不同厚度的懸臂梁用殼單元計(jì)算應(yīng)力值相對(duì)于用實(shí)體單元計(jì)算應(yīng)力值的誤差曲線，如圖6所示。同時(shí)也得到了，同一厚度，距固定端不同位置處的懸臂梁用殼單元計(jì)算應(yīng)力值相對(duì)于用實(shí)體單元計(jì)算應(yīng)力值的誤差曲線，如圖7所示。

由表4、圖6和圖7可知，不同厚度的懸臂梁，用殼單元計(jì)算應(yīng)力結(jié)果相對(duì)于實(shí)體單元計(jì)算應(yīng)力結(jié)果的誤差是不同的。隨著懸臂梁厚度的增加，誤差值也隨之增大。這是因?yàn)殡S著壁厚的增加，模型不能忽略截面法線方向的正應(yīng)力，就不能再用殼單元來(lái)近似計(jì)算，也就是說(shuō)殼單元更加適用于薄壁模型。

對(duì)于同一厚度的懸臂梁，用殼單元數(shù)值模擬的應(yīng)力值相對(duì)于用實(shí)體單元數(shù)值模擬應(yīng)力值的相對(duì)誤差，在距固定端不同位置處近似為一常數(shù)。

3 結(jié)論

1)用不同單元類(lèi)型對(duì)懸臂梁進(jìn)行數(shù)值模擬分析，應(yīng)力計(jì)算結(jié)果精度是不一樣的。用殼單元和實(shí)體單元對(duì)懸臂梁進(jìn)行數(shù)值模擬的結(jié)果相對(duì)于真值偏小，其中殼單元的誤差較大，結(jié)果精度低；實(shí)體單元誤差小于5%，結(jié)果精度高，滿足工程要求。

2)懸臂梁壁厚對(duì)用殼單元數(shù)值模擬懸臂梁受彎應(yīng)力的精度有影響，隨著懸臂梁厚度的增加，計(jì)算精度隨之降低。

3)對(duì)于同一厚度的懸臂梁，用殼單元數(shù)值模擬的應(yīng)力值相對(duì)于用實(shí)體單元數(shù)值模擬應(yīng)力值的相對(duì)誤差，在距固定端不同位置處近似為一常數(shù)。

[1]CAE應(yīng)用聯(lián)盟 張建偉.ABAQUS 6.12有限元分析從入門(mén)到精通[M].北京：機(jī)械工業(yè)出版社, 2015.

[2]高廣軍, 田紅旗, 姚 松.有限元三維實(shí)體單元與殼單元的組合建模問(wèn)題研究[J].中國(guó)鐵道科學(xué), 2002, 23(4):52-54.

[3]張雅鑫.泵車(chē)臂架有限元多種單元計(jì)算的比較研究[D].長(zhǎng)沙：中南大學(xué), 2014.

[4]邱智學(xué), 黃菊花, 謝世坤,等.ABAQUS殼單元在有限元分析中的應(yīng)用研究[J].模具技術(shù), 2003(5):9-11.

[5]林 芳, 鄂大辛, 張敬文.單元類(lèi)型對(duì)有限元計(jì)算彎管截面畸變及壁厚變化的影響[J].精密成形工程, 2012(3):10-13.

(責(zé)任編輯 李軍)

Calculation error analysis of cantilever beam of different element types

ZHANG Yongchao1,TONG Lili1,CAO Jing2,LV Chen1

( 1． College of Aerospace and Civil Engineering，Harbin Engineering University，Heilongjiang Harbin 150001，China; 2． College of Mathematical Sciences，Harbin Normal University，Heilongjiang Harbin 150025，China)

To study the error of calculated stress results and real measurement values of the cantilever beam with different element types and the its influencing factors, firstly, ABAQUS finite element software was used to model the shell element and solid element, and the stress value of Mises was calculated. Then the classical mechanics of materials method was used to calculate the same cantilever beam under Mises and the resistance strain test method was used to calculate real cantilever stress values. Finally, the shell element and the solid element of different thickness of the cantilever beam were used to calculate the Mises stress value. The results show that the Mises stress value calculated by the solid element is more close to the true value than the shell element. With the increase of the thickness of the cantilever beam, the accuracy of the calculation results of the shell element is getting smaller and smaller. For the same thickness of the cantilever beam, the relative error of the calculated stress value of the shell element at different position of the shell element is a constant.

Cantilever beam; shell element; solid element; Mises stress; relative error

1673-9469(2016)04-0005-05

10.3969/j.issn.1673-9469.2016.04.002

2016-08-01

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(S2014GAT013)

張永超(1993-)，男，安徽滁州，碩士，從事先進(jìn)復(fù)合材料與智能結(jié)構(gòu)的研究。

TG333.17

A