李云東, 楊翊仁, 文華斌

(1.四川理工學院 理學院，四川 自貢 643000； 2．西南交通大學 力學與工程學院，成都 613001;3.四川理工學院 機械工程學院，四川 自貢 643000)

非線性彈性地基上懸臂管道的參數(shù)振動

李云東1,2, 楊翊仁2, 文華斌3

(1.四川理工學院 理學院，四川 自貢 643000； 2．西南交通大學 力學與工程學院，成都 613001;3.四川理工學院 機械工程學院，四川 自貢 643000)

首先建立了非線性彈性地基上懸臂輸流管在振蕩流作用下的運動方程，應用Galerkin方法將運動控制偏微分方程離散成常微分方程組。采用數(shù)值方法著重討論了平均流速、脈動幅值、脈動頻率和地基剪切剛度等參數(shù)對系統(tǒng)動力學行為的影響。 結(jié)果表明：以平均流速為分岔參數(shù)系統(tǒng)會出現(xiàn)擬周期運動，然后是周期運動， 接著出現(xiàn)混沌運動；以脈動幅值為分岔參數(shù)系統(tǒng)發(fā)生周期2，周期4，周期8，然后進入混沌運動；以脈動頻率為分岔參數(shù)系統(tǒng)先發(fā)生擬周期運動，然后在二階次諧波附近發(fā)生混沌運動。另外，地基剪切剛度對系統(tǒng)地周期運動和混沌有抑制作用，隨著剪切剛度增大，系統(tǒng)從混沌狀態(tài)演化到周期狀態(tài)，直至穩(wěn)態(tài)。

懸臂輸流管；彈性地基；周期運動；混沌運動

輸流管道動力學問題，一直以來是學術研究熱點問題之一，到目前為止，已得到了很多研究成果，有興趣的讀者可以參閱由著名學者PAIDOUSSIS[1]撰寫的專著。已有的文獻[2]表明懸臂輸液管道在流速足夠大的定常流作用下會發(fā)生顫振失穩(wěn)，但是如果內(nèi)流為振蕩流，即使流速較小(遠小于發(fā)生的動態(tài)失穩(wěn)臨界速度)，系統(tǒng)也有可能因參數(shù)共振而使系統(tǒng)失穩(wěn)。管內(nèi)為振蕩流的振動問題研究，目前也有一些比較好的結(jié)論。PANDA等[3]應用多尺度法研究在振蕩流作用下簡支輸液管的參數(shù)共振行。NAMACHCHIVAYA等[4-5]應用平均法研究了在振蕩流作用下簡支輸液管的次諧波共振和組合共振。金基鐸等[6]用平均法進一步分析了參數(shù)共振的共振區(qū)域，用數(shù)值方法研究了在失穩(wěn)區(qū)域的動力學現(xiàn)象。WANG[7]用數(shù)值方法研究了平均流速較大的情況下脈動內(nèi)流作用下鉸支管的動力學行為。以上都是簡支輸液管的動力學分析，對于懸臂輸液管脈動內(nèi)流得分析相對來說較少。PAIDOUSSIS等[8]應用Bolotin 方法和Floquet理論研究了懸臂輸液管在脈動內(nèi)流下的參數(shù)共振和組合共振區(qū)域失穩(wěn)邊界。SEMIER等[9]基于范式理論和中心流形理論研究了懸臂輸液管在脈動內(nèi)流作用下，平均流速接近與臨界流速時系統(tǒng)的穩(wěn)定性及動力學現(xiàn)象。唐冶等[10]研究了非線性彈性支撐懸臂輸液管在參數(shù)激勵和外激勵聯(lián)合作用下的非線性動力學行為。張紫龍等[11]基于Galerkin法研究了在基礎激勵作用下非線性彈性地基上懸臂管道的非線性動力學行為。蒲育等[12]研究了Winkler-Pasternak彈性地基上功能梯度梁的自由振動。

本文首先建立了非線性彈性地基上脈動內(nèi)流懸臂管道的動力學方程，使用Galerkin方法 對控制方程進行離散，采用數(shù)值方法研究了參數(shù)激勵作用下非線性彈性地基上懸臂輸流管道的動力學行為。 著重討論了平均流速、脈動幅值、脈動頻率及地基剪切剛度對動力學特性的影響。

1 輸液管運動微分方程

考慮如圖1所示的非線性彈性地基上輸液管道,U為管內(nèi)流體。管道采用Bernoulli-Euler梁模型來描述,y(x,t)是管道的中心線橫向位移,x為沿管道長度方向的位置坐標，kG,C,k1,k2分別表示剪切剛度，黏性阻力，等效線性剛度和等效非線性剛度。非線性彈性地基上非穩(wěn)態(tài)流懸臂輸液管為

圖1 非線性彈性地基上輸液管道示意圖Fig.1 Schematic of cantilevered pipe conveying fluid rested on nonlinear elastic foundation

(1)

式中：EI為管道抗彎剛度，E*為黏彈性系數(shù)，M和m分別為單位長度上流體質(zhì)量和管質(zhì)量。

地基支承力：

(2)

引入無量參數(shù)：

(3)

控制方程式(1)的無量綱形式為

(4)

無量綱化的脈動速度表達式：

u=u0(1+μsinωτ)

(5)

把式(5)代入式(4)式得：

κ2η3=0

(6)

無量綱邊界條件為：

η(0,t)=0,η′(0,t)=0,

η″(0,t)=0,η?(0,t)=0

(7)

在這里， 應用迦遼金法來離散方程式(5)，以無阻力懸臂梁模態(tài)函數(shù)φr(ξ)作為基函數(shù)，

這樣，管的振動響應表示為

(8)

把式(8)代入式(6) ，然后在[0，1]區(qū)間上對方程兩邊進行積分，利用模態(tài)函數(shù)的正交性，可得離散后的常微分方程組

(9)

i=1,2

(10)

求解此方程組，可得系統(tǒng)的動力學響應。

2 數(shù)值計算和分析

圖2 流速的分岔圖Fig.2 Bifurcation diagram of flow velocity

圖3 不同流速下相圖和龐加萊映射圖Fig.3 The phase diagram and Poincare maps diagram with different flow velocity

首先，考察地基kG=0.0時， 脈動速度幅值和頻率分別為μ=0.4,ω=5.0，以平均流速u0為分岔參數(shù)的系統(tǒng)的響應分岔圖，如圖2所示。從分岔圖可以看到，當流速u0<5.385時，系統(tǒng)不會發(fā)生失穩(wěn)，位移幅值收斂于零。當5.3856.096后，從數(shù)值計算可以看，系統(tǒng)發(fā)散了。

圖4 展示了亞臨界速度下即取流速為u0=5.6，并且脈動激振頻率取為二階頻率的2倍，即ω=2ω2，系統(tǒng)隨脈動幅值變換的分岔圖。當 0≤μ≤0.006時， 系統(tǒng)位移幅值為零，系統(tǒng)每有出現(xiàn)失穩(wěn)。當0.006≤μ≤0.274，隨著脈動幅值增加，系統(tǒng)位移幅值也增加，當脈動幅值到達μ=0.212，系統(tǒng)位移幅值有跳躍現(xiàn)象。 當脈動幅值在這個過程中，由圖5(a)～(f)在各脈動幅值時的相圖和Poincare映射圖可判斷，系統(tǒng)發(fā)生了周期2，周期4，周期8等倍周期分岔。當脈動幅值在0.274<μ≤0.339時，由圖5(g)和(h)可判斷系統(tǒng)發(fā)生了混沌運動。當μ>0.339后，系統(tǒng)發(fā)散。最后，在此參數(shù)選擇下，系統(tǒng)將發(fā)生由倍周期到混沌的運動。

圖4 脈動幅值的分岔圖Fig.4 The bifurcation diagram of fluctuation amplitude

圖5 不同脈動幅值的相圖和龐加萊映射圖Fig.5 The phase diagram and Poincare maps diagram with different fluctuation amplitude

圖6 脈動頻率的分岔圖Fig.6 The bifurcation diagram of fluctuation frequency

圖6 展示了位移隨脈動頻率變化的分岔圖，其參數(shù)選擇為：u0=5.6,μ=0.3，其它參數(shù)選擇不變。從分岔圖可以看出，當0<ω<5.0時，系統(tǒng)主要表現(xiàn)為擬周期運動，這個區(qū)域主要是系的主共振和超諧波共振區(qū)域，系統(tǒng)隨頻率的增加，擬周期運動的幅值減小，最后消失；當區(qū)域20.0<ω<35.5時，系統(tǒng)為二階振型的1/2次諧波共振區(qū)域，系統(tǒng)首先是周期運動，周期1，周期2，周期4運動，然后系統(tǒng)進入混沌運動，經(jīng)過一個相對較寬的區(qū)域，系統(tǒng)又出現(xiàn)周期運動，由周期4，周期2，周期1，總的來說，在這個區(qū)域系統(tǒng)是由周期運動到混沌運動，然后又是退化到周期運動。另外，需要說明的是，在由穩(wěn)態(tài)到周期運動，或者由周期運動到穩(wěn)態(tài)過程中，從分岔圖看出系統(tǒng)有跳躍現(xiàn)象。在其它區(qū)域內(nèi)，系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)。 圖7展示了在ω=0.8和ω=28.0兩個區(qū)域內(nèi)典型的相圖和Poincare映射圖，由此可以證明其運動行為。

在以上的分析中，彈性地基參數(shù)kG=0.0，下面我們將對這個參數(shù)對系統(tǒng)的位移幅值影響進行研究。圖8展示了地基剪切力對系統(tǒng)位移的影響，選取參數(shù)為：u0=5.6,μ=0.3,ω=28.0。從圖8可以看出，地基剪切力對系統(tǒng)的動力學行為有很大的影響。在本參數(shù)條件下， 當0≤kG≤0.93時，系統(tǒng)表現(xiàn)為混沌運動；當0≤kG≤1.17時，系統(tǒng)為多周期運動；當1.15≤kG≤1.46時，系統(tǒng)再次表現(xiàn)為混沌運動。當1.46≤kG≤11.32，系統(tǒng)有多周期運動，周期8，周期4，周期2運動，最后穩(wěn)態(tài)運動。因此，地基剪切剛度對參數(shù)激振作用下輸流管-地基系統(tǒng)的混沌運動和概周期運動有很好的抑制作用，這結(jié)論與文獻[11]的結(jié)論是一致的?；谄脑?，在這里略去相圖和Ponicare映射圖。

圖7 不同脈動頻率的相圖和龐加萊映射圖Fig.7 The phase diagram and Poincare maps diagram with different fluctuation frequency

圖8 地基剪切力的分岔圖Fig.8 The bifurcation diagram of foundation shear force

3 結(jié) 論

本文給出了非線性彈性基上懸臂輸液管在周期振蕩流作用下的非線性運動方程，采用數(shù)值方法研究了在不同參數(shù)下的非線性動力學響應，揭示了系統(tǒng)豐富的動力學現(xiàn)象。

(1)系統(tǒng)以流速u0為分岔參數(shù)時，系統(tǒng)會首先出現(xiàn)擬周期運動，然后是周期運動， 接著出現(xiàn)混沌運動，最后系統(tǒng)發(fā)散。

(2)系統(tǒng)以脈動幅值μ為分岔參，并且設脈動頻率ω為二階頻率ω2的二倍，即二階次諧波共振，發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)由周期2，周期4，周期8，然后進入混沌運動，最后發(fā)散。 周期運動過程中有跳躍現(xiàn)象。

(3)系統(tǒng)以脈動頻率ω為分岔參數(shù)， 在本文選擇的參數(shù)值下，系統(tǒng)首先出現(xiàn)一階振型主共振和超諧波共振，會導致系統(tǒng)出現(xiàn)擬周期運動，而在二階振型的次諧波共振會導致系統(tǒng)發(fā)生混沌運動。

(4)地基剪切力是對的動力學行為是有影響的。當剪切剛度足夠大時，系統(tǒng)可能一直處于穩(wěn)態(tài)。

[1] PAIDOUSSIS M P. Fluid-structure interactions: slender structures and axial flow [M]. London: Academic Press, 1998.

[2] LI G, PAIDOUSSIS M P. Stability, double degeneracy and chaos in cantilevered pipes conveying fluid [J]. International Journal of Non-linear Mechanics, 1994, 29(1): 83-107.

[3] PANDA L, KAR R. Nonlinear dynamics of a pipe conveying pulsating fluid with combination, principal parametric and internal resonances [J]. Journal of Sound and Vibration, 2008, 309(3): 375-406.

[4] NAMACHCHIVAYA N S. Non-linear dynamics of supported pipe conveying pulsating fluid—I. Subharmonic resonance [J]. International Journal of Non-linear Mechanics, 1989, 24(3): 185-196.

[5] NAMCHCHIVAYA N S, TIEN W. Non-linear dynamics of supported pipe conveying pulsating fluid—II. Combination resonance [J]. International Journal of Non-linear Mechanics, 1989, 24(3): 197-208.

[6] 金基鐸, 楊曉東, 尹峰. 兩端鉸支輸流管道在脈動內(nèi)流作用下的穩(wěn)定性和參數(shù)共振 [J]. 航空學報, 2003, 24(4): 317-322. JIN Jiduo, YANG Xiaodong, YIN Feng. Stability and parametric resonances of a pinned-pinned pipe conveying pulsating fluid[J]. Acta Aeronautica et Astronautica Sinica, 2003, 24(4): 317-322.

[7] WANG L. A further study on the non-linear dynamics of simply supported pipes conveying pulsating fluid [J]. International Journal of Non-linear Mechanics, 2009, 44(1): 115-121.

[8] PAIDOUSSIS M P, SUNDARARARA C. Parametric and combination resonances of a pipe conveying pulsating fluid [J]. Journal of Applied Mechanics, 1975, 42(4): 780-784. [9] SEMIER C, PAIDOUSSIS M P. Nonlinear analysis of the parametric resonances of a planar fluid-conveying cantilevered pipe [J]. Journal of Fluids and Structures, 1996, 10(7): 787-825.

[10] 唐冶, 方勃, 張業(yè)偉. 非線性彈簧支承懸臂輸液管道的分岔與混沌分析 [J]. 振動與沖擊, 2011, 30(8): 269-274. TANG Ye, FANG Bo, ZHANG Yewei. Bifurcation and chaos analysis of cantilever pipeline conveying fluid with nonlinear spring support[J].Journal of Vibration and Shock, 2011,30(8):269-274.

[11] 張紫龍, 唐敏, 倪樵. 非線性彈性地基上懸臂輸流管的受迫振動 [J]. 振動與沖擊, 2013, 32(10): 17-21. ZHANG Zilong, TANG Min, NI Qiao. Forced vibration of a cantilever fluid-conveying pipe on nonlinear elastic foundation[J]. Journal of Vibration and Shock,2013,32(10):17-21.

[12] 蒲育，滕兆春. Winkler-Pasternak彈性地基FGM梁自由振動二維彈性解[J].振動與沖擊,2015,34(20):74-79. PU Yu, TENG Zhaochun. Two-dimensional elasticity solutions for free vibration of FGM beams resting on Winkler-Pasternak elastic foundations[J].Journal of Vibration and Shock,2015,34(20):74-79.

Parametric vibration of a cantilevered pipe conveying pulsating fluid on a nonlinear elastic foundation

LI Yundong1, 2, YANG Yiren2, WEN Huabin3

(1. School of Science, Sichuan University of Science & Engineering, Zigong 643000, China;2. School of Mechanics and Engineering, Southwest Jiaotong University, Chengdu 610031, China;3. College of Mechanical Engineering, Sichuan University of Science & Engineering, Zigong 643000, China)

The motion equation of a cantilevered pipe conveying pulsating fluid on a nonlinear el-astic foundation was constructed, and was discretized into ordinary differential equations by the Galerkin method. The effect of parameters including mean flow velocity, fluctuation amplitude, fluctuation frequency and shear stiffness on the nonlinear behavior of the system was investigated by a numerical method. The results show that the system can present quasi periodic motion, periodic motion, and chaotic motion if the mean flow velocity is used as the bifurcation parameter; the system presents the period-2, period-4, period-8, and chaotic motion if the fluctuation amplitude is used as the bifurcation parameter; the system firstly shows quasi-periodic motion, then chaotic motion nearby second sub harmonic if the fluctuation frequency is used as bifurcation parameter. Furthermore, foundation shear stiffness can suppress the period motion and chaotic motion of the system. With shear stiffness increasing, chaos state of the system gradually changes into periodic motion until a stable state is obtained.

cantilevered pipe conveying fluid; elastic foundation; period motion; chaotic motion

四川省科技廳(2013TD004);四川理工學院?；?2015KY02)

2015-08-19 修改稿收到日期：2015-11-24

李云東 男，博士生，1979年生

楊翊仁 男，教授，1959年生

O322

A

10.13465/j.cnki.jvs.2016.24.003