趙元博， 齊 輝， 丁曉浩， 趙棟棟

(哈爾濱工程大學(xué) 航天與建筑工程學(xué)院，哈爾濱 150001)

SH波作用下地表軟覆蓋層中淺埋圓孔的動(dòng)力分析

趙元博， 齊 輝， 丁曉浩， 趙棟棟

(哈爾濱工程大學(xué) 航天與建筑工程學(xué)院，哈爾濱 150001)

利用復(fù)變函數(shù)法和波函數(shù)展開法對地表軟覆蓋層中淺埋圓形孔洞在穩(wěn)態(tài)SH波作用下的動(dòng)應(yīng)力集中問題進(jìn)行了研究并給出了解析解。根據(jù)SH波散射時(shí)的衰減特性，采用了大圓弧假定的方法，即利用一個(gè)半徑很大的圓來近似表示地表覆蓋層的直線邊界，將半空間覆蓋層直線邊界問題轉(zhuǎn)化為曲面邊界問題。首先根據(jù)Helmholtz定理預(yù)先給出了待求波函數(shù)的一般形式解，再根據(jù)邊界條件并利用復(fù)數(shù)Fourier-Hankel級(jí)數(shù)展開的方式把所求問題轉(zhuǎn)化為求解波函數(shù)中未知系數(shù)的無窮線性代數(shù)方程組問題，對該無窮代數(shù)方程組截取有限項(xiàng)求得該問題的數(shù)值結(jié)果。通過算例分析了SH波垂直入射時(shí)，覆蓋層和半空間介質(zhì)的波數(shù)差異、覆蓋層厚度的變化、圓孔埋置深度等因素對地表軟覆蓋層中淺埋圓形孔洞周邊動(dòng)應(yīng)力集中系數(shù)的影響。

地表軟覆蓋層；圓形孔洞；SH波散射；大圓弧假設(shè)；動(dòng)應(yīng)力集中

隨著經(jīng)濟(jì)社會(huì)的發(fā)展和城市建設(shè)的加快，城市中的地下工程越來越多，地下工程的抗震安全性對國民經(jīng)濟(jì)和社會(huì)的正常運(yùn)轉(zhuǎn)有著極為重要的作用，特別是自1995年日本阪神地震后，地下結(jié)構(gòu)的抗震研究越來越受到人們的重視[1-2]。

在地下結(jié)構(gòu)抗震研究中，波動(dòng)方法是一種重要的理論研究方法[1-2]。20世紀(jì)70年代，PAO等[3]在專著中詳細(xì)介紹了利用波函數(shù)展開法對不同形狀的物體在穩(wěn)態(tài)和瞬態(tài)應(yīng)力荷載下的動(dòng)應(yīng)力集中現(xiàn)象的研究結(jié)果。此后，LEE等[4-5]將其應(yīng)用到半空間問題，對圓形隧道的平面SH波散射問題進(jìn)行了研究。劉殿魁等[6]將解決靜態(tài)應(yīng)力集中問題的復(fù)變函數(shù)方法拓展到動(dòng)態(tài)領(lǐng)域。目前對半空間內(nèi)各種缺陷及其界面問題的研究已取得很多成果[7-8]，此處不再一一列舉。但是在實(shí)際工程中，由于土層的分層以及每層的厚度、剛度等特性都是千變?nèi)f化的，因此傳統(tǒng)的半空間模型并不能完全反映實(shí)際問題。對帶有覆蓋層的半空間問題，由于波在覆蓋層中會(huì)發(fā)生多次的反射和折射，且存在著波形轉(zhuǎn)換以及覆蓋層中產(chǎn)生面波等問題，散射波場很難構(gòu)造，一直是比較棘手的問題。LEE等[9]采用大圓弧假定的方法給出了半空間中單個(gè)圓形孔洞對P波和SV波散射的解析解，將傳統(tǒng)的直邊界問題轉(zhuǎn)為曲線邊界問題，從而使問題得以簡化。齊輝等[10-11]在此基礎(chǔ)上研究了地表覆蓋層的存在對半空間內(nèi)單、多個(gè)圓孔、圓夾雜受平面SH波作用時(shí)的散射和動(dòng)應(yīng)力集中系數(shù)的影響，結(jié)果都表明，地表覆蓋層的存在對半空間內(nèi)的圓形缺陷在SH波作用下的散射和動(dòng)應(yīng)力集中問題都有很大的影響，在實(shí)際工程中必須予以重視。

文獻(xiàn)[10]和文獻(xiàn)[11]的研究中，各種缺陷都存在于半空間中，而目前在我國的地下工程施工中，對淺埋結(jié)構(gòu)大量采用先直接開挖后回填的方式，很多時(shí)候回填土的壓實(shí)處理往往不夠嚴(yán)謹(jǐn)，因此會(huì)在地表形成一個(gè)含有孔洞等介質(zhì)的軟弱土層。本文在前人的基礎(chǔ)上，利用大圓弧假定的方法對地表軟覆蓋層中單個(gè)圓形孔洞在SH波作用下的動(dòng)應(yīng)力集中問題進(jìn)行了研究。

1 理論分析

1.1 問題模型

(1)

圖1 模型示意圖Fig.1 Schematic diagram of the model

1.2 控制方程

本文研究的是出平面剪切運(yùn)動(dòng)的SH波的散射問題。在直角坐標(biāo)系中，在X-Y平面內(nèi)，SH波產(chǎn)生的位移場可以表示為W(X,Y,t)，該位移場與Z軸無關(guān)，且垂直于X-Y平面。對于穩(wěn)態(tài)問題，位移場W(X,Y,t)需要滿足以下Helmholtz方程：

(2)

直角坐標(biāo)系下的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系為：

(3)

(4)

在復(fù)平面內(nèi)，式(2)～(4)可以表示為：

(5)

(6)

(7)

在復(fù)平面極坐標(biāo)系下，式(6)、(7)可以表示為：

(8)

(9)

1.3 入射波場及應(yīng)力

(10)

(11)

(12)

1.4 散射波場及應(yīng)力

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

式中：?=z2+i(RD+h2)

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

式中：⊕=z1-i(RD+h2)

(28)

(29)

(30)

(31)

(32)

(33)

式中：⊙=z2+i(RD+h2)

1.5 連接條件

(34a)

(34b)

(34c)

(34d)

將入射波和各個(gè)散射波的波場與徑向應(yīng)力表達(dá)式代入上式，并將已知量挪到等號(hào)右邊，未知量挪到等號(hào)左邊，可得：

(35)

其中：

η1=-W0exp[ik1Re(z1e-iα0)]

?=z1-i(RD+h2)

*=z2+i(RD+h2)

(36)

i,j=1,2,3,4，當(dāng)i=1,2,4時(shí)，k=1；當(dāng)i=4時(shí)，k=2。

這樣就可求出系數(shù)An、Bn、Cn、Dn將其代入位移和應(yīng)力的表達(dá)式中，截取有限項(xiàng)，便可得到所求的各種未知量了。

1.6 動(dòng)應(yīng)力集中系數(shù)(DSCF)

#=z2+i(RD+h2)

2 算例分析

為了便于分析，定義如下參數(shù)組合：G*=G1/G2，ρ*=ρ2/ρ1，k*=k2/k1，各量之間關(guān)系為：k*k*=ρ*G*。當(dāng)k*>1時(shí)，表明區(qū)域Ⅰ比區(qū)域Ⅱ“硬”，即入射波由“硬”半空間入射，而此時(shí)孔洞位于“軟”的地表覆蓋層中。本文中所有的k*均大于1，所有的ρ*均取0.8。由于在本算例中所有結(jié)果均為無量綱結(jié)果，因此假定孔洞的半徑r=1。

圖2給出了在SH波垂直入射時(shí)，G*=k*=ρ*=1，k1=0.1，h1為1.5r和12r時(shí)圓孔邊的動(dòng)應(yīng)力集中系數(shù)。由于G*=k*=ρ*=1，此時(shí)區(qū)域Ⅰ和區(qū)域Ⅱ的參數(shù)相同，因此覆蓋層下邊界TD不存在，區(qū)域Ⅰ和區(qū)域Ⅱ融為一體，問題退化為半空間均勻介質(zhì)中單個(gè)圓孔對SH波的散射問題。數(shù)值結(jié)果表明，當(dāng)Rd≥120r時(shí)，DSCF的結(jié)果與文獻(xiàn)[12]中圖6的結(jié)果完全一致，這也驗(yàn)證了大圓弧假設(shè)方法的合理性。

圖3～圖5給出了當(dāng)α0=90°，ρ*=0.8 ，h1=1.5r，h2=1.5r，k*=1.3、1.4、1.5、1.6時(shí)，而k1分別為0.5、1、1.5時(shí)，圓孔邊的DSCF，此時(shí)G*分別為2.112 5、2.45、2.812 5、3.2。

圖2 ρ*=G*=k*=1時(shí)圓孔邊動(dòng)應(yīng)力集中系數(shù)Fig.2 DSCF around circular cavity(ρ*=G*=k*=1)

圖3 k1=0.5時(shí)圓孔邊動(dòng)應(yīng)力集中系數(shù)Fig.3 DSCF around circular cavity(k1=0.5)

圖4 k1=1時(shí)圓孔邊動(dòng)應(yīng)力集中系數(shù)Fig.4 DSCF around circular cavity(k1=1)

圖5 k1=1.5時(shí)圓孔邊動(dòng)應(yīng)力集中系數(shù)Fig.5 DSCF around circular cavity(k1=1.5)

從圖3可以看出，當(dāng)k1=0.5時(shí)，即入射波在低頻段入射時(shí)，DSCF的形狀近似為橢圓形，隨著k*的增，DSCF隨之減小，且減小是線性的。當(dāng)k*以0.1為增量增加時(shí)，MAX DSCF不斷減小，每次約縮小0.18，當(dāng)k*=1.6時(shí)，MAX DSCF已經(jīng)略小于1，但其所在位置(角度)則沒有變化，都是在195°和345°兩處。

在圖4中，k1=1，此時(shí)SH波在中頻段入射。與圖3不同，此時(shí)DSCF的圖形變?yōu)楹巍ｋS著k*的不斷增大，DSCF不是一直減小而是不斷增大，但變化不是線性的，從k*=1.3到k*=1.5，增量是不斷變大的，但從k*=1.5到k*=1.6，增量卻突然減小。隨著k*的不斷增大，MAX DSCF所在位置(角度)也持續(xù)做小幅變化，從大約15°和165°逐漸上移為大約20°和160°。

在圖5中，k1=1.5， SH波在中高頻段入射，此時(shí)圖形比較復(fù)雜，變化的規(guī)律性較差。雖然DSCF的形狀也是蝴蝶形，但和圖4不同，圖5中四個(gè)象限內(nèi)每一部分的大小都基本相當(dāng)。當(dāng)k*從1.3增大到1.5時(shí)，DSCF是在不斷減小的，其中k*為1.4和1.5時(shí)DSCF非常相近，當(dāng)k*為1.6時(shí)，DSCF又突然變大。而MAX DSCF所在位置(角度)卻隨著k*的增大逐漸從一二象限變?yōu)槿南笙蕖?/p>

圖6給出了當(dāng)SH波在不同頻率入射時(shí)，MAX DSCF隨k*的變化關(guān)系。k1=0.5時(shí)，MAX DSCF隨著k*的增大先增加后減小，整個(gè)變化是均勻光滑的，最大值發(fā)生在k*=1.18時(shí)，而后基本以相同的斜率緩慢下降；當(dāng)k1=1時(shí)，MAX DSCF先隨著k*的增大緩慢減小，在k*=1.32時(shí)達(dá)到極小值，而后隨著k*的增大而逐漸增加，當(dāng)k*=1.54時(shí)達(dá)到極大值，此后繼續(xù)隨k*的增大而逐漸減??；k1=1.5時(shí)，當(dāng)k*<1.15時(shí)，MAX DSCF與k1=1時(shí)的情況基本重合，此后曲線繼續(xù)下降，并在k*=1.34至k*=1.56之間形成了一個(gè)極小值區(qū)間，此后曲線逐漸增大并在k*=1.75達(dá)到極大值，而后又逐漸下降。

圖6 圓孔邊動(dòng)應(yīng)力集中系數(shù)最大值隨k*的變化Fig.6 Variation of MAX DSCF around circular cavity with k*

圖7給出了當(dāng)k*確定時(shí)，MAX DSCF隨k1的變化關(guān)系。當(dāng)k1在0.3附近時(shí)，MAX DSCF達(dá)到最大值，在此之前以線性方式急劇增大，而此后則隨著k1的增大而近乎直線的下降，并在k1=1.0附近達(dá)到極小值，此后隨著k1的增加而呈現(xiàn)出震蕩下降的趨勢。整體而言，入射波在低頻段入射時(shí)的MAX DSCF要大于高頻段入射時(shí)的情況，k*越大則MAX DSCF達(dá)到最大值時(shí)的入射頻率越小，且MAX DSCF 的最大值也越大，而入射波在中高頻段時(shí)，MAX DSCF以劇烈震蕩的方式逐漸降低。

圖7 圓孔邊動(dòng)應(yīng)力集中系數(shù)最大值隨k1的變化Fig.7 Variation of MAX DSCF around circular cavity with k1

圖3～圖5中k1固定而k*取不同值時(shí)MAX DSCF的變化情況均在圖6～圖7中得到體現(xiàn)。綜合圖3～圖7整體來看， SH波低頻入射時(shí)的MAX DSCF要大于高頻入射時(shí)的情況。

圖8和圖9給出了當(dāng)α0=90°，ρ*=0.8 ，圓孔位于覆蓋層正中，k1分別為0.5、1、1.5，而k*分別為1.3和1.8時(shí)，MAX DSCF隨覆蓋層厚度h的增加而變化的情況。圖8中G*為2.112 5，圖9中G*為4.05。

圖8 k*=1.3時(shí)圓孔邊動(dòng)應(yīng)力集中系數(shù)最大值隨h的變化Fig.8 Variation of MAX DSCF around circular caity with h(k*=1.3)

圖9 k*=1.8時(shí)圓孔邊動(dòng)應(yīng)力集中系數(shù)最大值隨h的變化Fig.9 Variation of MAX DSCF around circular caity with h (k*=1.8)

從圖8可以看出，當(dāng)波數(shù)比k*固定時(shí)，隨著覆蓋層厚度h的增加，圓孔邊MAX DSCF呈周期性震蕩變化。MAX DSCF震蕩的周期隨入射波數(shù)k1的增加而減小，k1=0.5時(shí)的周期約是k1=1時(shí)的4倍，是k1=1.5時(shí)的6倍，此外振幅也隨k1的增加而減小。整體而言，入射波數(shù)越大，則圓孔邊MAX DSCF越小。當(dāng)k1為0.5時(shí)，圓孔邊MAX DSCF的峰值呈現(xiàn)出隨h的增加而逐漸降低的趨勢，盡管下降的趨勢較弱，但k1為1和1.5時(shí)，這種趨勢則基本上看不出來。

通過圖9可以看出，與圖8一樣，圓孔邊MAX DSCF呈周期性震蕩變化并且隨著入射波數(shù)k1的增加而減小。由于波數(shù)比k*的增大，圖9中各個(gè)曲線的震蕩周期都要比圖8中對應(yīng)的周期短，如k1=0.5時(shí)圖8中曲線的周期是圖9中對應(yīng)曲線的周期的1.4倍。但MAX DSCF的振幅卻要比圖8中的大。整體而言，圖9中各曲線的取值范圍比圖8中的要小，而且在圖9中，k1為0.5時(shí)圓孔邊MAX DSCF的峰值隨h的增加而逐漸降低的趨勢也要弱于圖8。

圖10和圖11給出了當(dāng)SH波垂直入射(α0=90°)且圓孔埋置深度固定(h1=1.5r)時(shí)，圓孔邊MAX DSCF隨覆蓋層厚度h的增加而變化的情況。兩圖中ρ*=0.8，k1取值為0.5、1、1.5。圖10中k*為1.3，G*為2.112 5，圖11中k*為1.8，G*為4.05。

圖10 k*=1.3時(shí)圓孔邊動(dòng)應(yīng)力集中系數(shù)最大值隨h的變化Fig.10 Variation of MAX DSCF around circular caity with h (k*=1.3)

圖11 k1=2.4時(shí)圓孔邊動(dòng)應(yīng)力集中系數(shù)隨h的變化Fig.11 Varation of DSCF around circular caity with h(k1=2.4)

與圖8和圖9一樣，當(dāng)參數(shù)h1固定而參數(shù)h不斷增加時(shí)，圖10和圖11中圓孔邊MAX DSCF也呈周期性震蕩變化，周期隨k1的增大而減小，但變化規(guī)律有很大不同。對比圖8和圖10可以發(fā)現(xiàn)，首先，圖10中的變化規(guī)律更明顯，無論k1取值如何，圖10中MAX DSCF都呈現(xiàn)出隨著h的增加而震蕩下降的趨勢，而圖8中僅僅k1取值為0.5時(shí)才比較明顯；其次，圖10中各曲線的振幅不但比圖8中的小，而且幅值也更穩(wěn)定，當(dāng)k1從0.5到1.5時(shí)，圖10中的幅值分別約為0.6、0.3、0.22，而圖8中則分別約為0.4～1、0.4、0.3；再次，當(dāng)k1為0.5時(shí)，圖8中的曲線每個(gè)周期中還會(huì)出現(xiàn)一個(gè)極小值，這與圖10也是不同的。同樣，對比圖9和圖11也有相同的變換。

綜合圖8～圖11可以看出，當(dāng)圓孔埋置深度很淺且固定時(shí)，隨覆蓋層厚度的增加，圓孔邊MAX DSCF的變規(guī)律性要更強(qiáng)。

3 結(jié) 論

本文根據(jù)復(fù)變函數(shù)法、波函數(shù)展開法、大圓弧假設(shè)法對地表軟覆蓋層中單個(gè)圓孔在半空間中入射平面SH波作用下的動(dòng)應(yīng)力集中問題進(jìn)行了研究，將地表覆蓋層的上下邊界用半徑很大的圓弧來近似，以此構(gòu)造出散射波場，并且得到所求問題的解析解，并通過數(shù)值算例分析了SH波垂直入射時(shí)，不同的入射波數(shù)及波數(shù)比、覆蓋層厚度、圓孔埋置深度等參數(shù)對圓孔周邊動(dòng)應(yīng)力集中系數(shù)的影響。

數(shù)值算例表明：

(1)當(dāng)SH波垂直入射，隨著入射頻率的逐漸增加(入射波數(shù)k1不斷增大)，圓孔邊動(dòng)應(yīng)力集中系數(shù)最大值在低頻段(k1≈0.3～0.5)達(dá)到最大，而后不斷下降，并在中頻段之后(k1≈0.8～1)以震蕩的方式逐漸下降，而且覆蓋層與半空間相比越“軟”，達(dá)到最大值時(shí)的入射頻率越小。這說明在實(shí)際工程中要非常重視SH波低頻垂直入射，且覆蓋層比半空間“軟”的情況。

(2)隨著覆蓋層厚度的增加，無論圓孔埋置于覆蓋層正中還是將其固定于覆蓋層淺層位置，圓孔邊動(dòng)應(yīng)力集中系數(shù)的最大值都呈周期振蕩變化，且綜合而言，入射頻率越小則動(dòng)應(yīng)力集中系數(shù)最大值越大。這表明在工程應(yīng)用中要根據(jù)場地的各種參數(shù)來合理選擇埋置位置。

能夠影響地表覆蓋層中的圓形孔洞的動(dòng)應(yīng)力集中系數(shù)的參數(shù)很多，不同的參數(shù)變化會(huì)導(dǎo)致不同的結(jié)果，這說明在對淺埋地下工程的抗震分析中必須對土層間的各項(xiàng)參數(shù)進(jìn)行認(rèn)真分析，綜合考慮各種參數(shù)的影響，以便對地下結(jié)構(gòu)進(jìn)行合理的設(shè)計(jì)，從而達(dá)到理想的結(jié)果。

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Dynamic analysis for a shallow buried circular cavity impacted by SH-Wave in a soft layered half-space

ZHAO Yuanbo, QI Hui, DING Xiaohao, ZHAO Dongdong

(College of Aerospace and Civil Engineering, Harbin Engineering University, Harbin 150001, China)

The issue of dynamic stress concentration for shallow buried circular cavity in a soft layered half-space under steady SH-wave has been studied based on the complex function and wave function expansion method. An analytical solution was obtained. According to the attenuation characteristic of SH-wave scattering, using the large-arc assumption method, which was, straight boundary of the surface layer was approximated by a circle with large radius, which led to a surface boundary problem. Firstly, the general forms of unknown wave function were given based on the Helmholtz theorem. Then, according to the boundary conditions and the complex Fourier-Hankel series expansion method, the problem was transformed into the infinite linear algebraic equations of unknown coefficients in the solution of the wave function. From the finite terms, the numerical results could be obtained. Through examples, it is analyzed the influence on the distribution of dynamic stress concentration factor around the shallow buried circular cavity in a soft layered half- space when SH-Wave is normal incidence, including the wave number difference between overburden layer and half space medium in different incident frequencies, the variation on the cover thickness and the buried depth of the circular cavity.

soft surface layer; circular cavity; SH-wave scattering; large-arc assumption method; dynamic stress concentration

黑龍江自然科學(xué)基金(A201404)

2015-07-15 修改稿收到日期：2015-11-30

趙元博 男，博士生，1982年生

齊輝 男，教授，博士生導(dǎo)師，1963年生

TH212；TH213.3

A

10.13465/j.cnki.jvs.2016.24.020