彭 劍， 張 改， 胡 霞，謝獻(xiàn)忠

(湖南科技大學(xué) 土木工程學(xué)院，湖南 湘潭 411201)

壓電彈性梁主共振響應(yīng)的時滯加速度反饋控制

彭 劍， 張 改， 胡 霞，謝獻(xiàn)忠

(湖南科技大學(xué) 土木工程學(xué)院，湖南 湘潭 411201)

應(yīng)用時滯加速度反饋控制方法研究壓電彈性梁主共振響應(yīng)的減振控制?；贖amilton原理和時滯加速度閉環(huán)反饋控制策略，建立了壓電耦合彈性梁的非線性動力學(xué)模型。采用多尺度方法，得到了受控梁主共振響應(yīng)的一階近似解及穩(wěn)定性條件，進(jìn)而給出了響應(yīng)峰值和臨界激勵幅值的表達(dá)式，并給出算例分析。結(jié)果表明：采用時滯加速度反饋控制可以有效減振，其主共振響應(yīng)受時滯值周期性影響，合理選取控制增益和時滯值，可以避免主共振區(qū)及多值不穩(wěn)定解，提高振動控制效果。

壓電彈性梁；主共振；時滯加速度反饋；振動控制；穩(wěn)定性

端部非剛性支承彈性梁結(jié)構(gòu)在工程領(lǐng)域極為常見,如斜拉橋主梁、大型體育場館或廠房的橫梁、地下結(jié)構(gòu)樁基礎(chǔ)等。大型復(fù)雜結(jié)構(gòu)的重要性系數(shù)高，因此對其可靠性和穩(wěn)定性及計算精度要求也越高。這類結(jié)構(gòu)往往非線性的影響突出，振動與控制問題極為重要。

采用壓電材料與結(jié)構(gòu)復(fù)合而構(gòu)成的主動控制系統(tǒng)是抑制梁結(jié)構(gòu)大幅振動的有效方法，已有研究將其應(yīng)用于工程結(jié)構(gòu)的監(jiān)測、抗振和自適應(yīng)修復(fù)等[1]。同時，學(xué)者們從理論分析和實驗方法對梁結(jié)構(gòu)的非線性動力學(xué)及其振動控制進(jìn)行研究[2-3]。值得一提的是，控制系統(tǒng)中的時滯影響及其時滯反饋控制得到了廣泛關(guān)注。王在華等[4]從對當(dāng)前時滯動力學(xué)研究進(jìn)展作了系統(tǒng)的綜述。馮志宏等[5]基于加速度時滯閉環(huán)反饋控制策略，研究了壓電耦合懸臂梁的時滯反饋控制及穩(wěn)定性。陳龍祥等[6]對旋轉(zhuǎn)運動柔性梁的時滯主動控制開展了實驗研究，得到控制系統(tǒng)中的時滯也有可利用的價值。趙艷影等[7]研究了時滯非線性動力吸振器的減振機(jī)理，通過調(diào)節(jié)反饋增益系數(shù)和時滯來實現(xiàn)主系統(tǒng)的減振。李欣業(yè)等[8]研究了陀螺系統(tǒng)的受迫振動及時滯反饋控制。尚慧琳等[9]對一類轉(zhuǎn)動系統(tǒng)的復(fù)雜運動開展了時滯速度反饋控制研究。DAQAQ等[10]采用時滯加速度反饋控制研究了壓電耦合懸臂梁的非線性振動。MASOUD等[11-12]針對起重機(jī)大幅振動問題，采用狀態(tài)時滯反饋策略對其進(jìn)行控制，起到了很好的抑制效果。孫清等[13]研究了含雙時滯振動主動控制系統(tǒng)超諧共振及亞諧共振。

本文以軸力作用下的耦合彈性梁結(jié)構(gòu)為研究對象，推導(dǎo)出壓電耦合彈性梁的非線性動力學(xué)方程，并結(jié)合壓電傳感器與作動器的輸出方程，建立了壓電耦合彈性梁的動力學(xué)模型。同時基于時滯加速度反饋控制技術(shù)，研究了系統(tǒng)主共振響應(yīng)的減振控制。

1 振動控制方程

軸力作用下彈性支座梁與壓電作動器和傳感器共同構(gòu)成閉環(huán)反饋控制系統(tǒng)如圖1所示，其中懸臂梁為Euler-Bernoulli梁，梁不可伸長且忽略其扭轉(zhuǎn)和剪切變形，假設(shè)壓電材料理想地埋入梁內(nèi)，不考慮壓電材料的質(zhì)量及剛度影響。

圖1 時滯反饋激勵梁控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖Fig.1A schematic of a beam with delayed feedback actuation

基于Hamilton原理，考慮軸力彈性支座和壓電激勵作用，得到受控梁的非線性動力學(xué)方程[14-15]：

(1)

邊界條件為：

v(0,t)=0,v′(0,t)=0,v″(l,t)=0,

EIv?(l,t)+kv(l,t)=0

(2)

式中:m,c分別為梁的線密度、阻尼,E為梁的彈性模量,p為軸向作用力,k為彈性剛度系數(shù),I為截面慣性矩,l為梁的長度。q(x,t)=?2M/?x2是由壓電作動器產(chǎn)生的分布荷載，M為壓電材料產(chǎn)生的應(yīng)力生成關(guān)于整個結(jié)構(gòu)中性軸的力矩，其表達(dá)式為：

[H(x-x1)-H(x-x2)]

其中，b為壓電材料寬度，d為壓電材料中截面距梁結(jié)構(gòu)中截面距離，d31為壓電材料的電荷壓電常數(shù)，Ea為壓電材料的彈性模量，Va(t)為外加控制電壓，2ta為壓電作動器的厚度，x1，x2分別為作動器固定在梁上的位置坐標(biāo)。

運用Galerkin方法對其位移函數(shù)v(x,t)進(jìn)行展開：

(3)

式中:φn(x)為振型函數(shù)，表達(dá)式表示為,

n=1,2,…,∞

(4)

(5)

本文考慮壓電激勵的驅(qū)動電壓采用加速度時滯反饋策略，記為如下形式：

(6)

(7)

則受迫振動下單模態(tài)梁的響應(yīng)方程為：

(8)

式中:fn為外激勵幅值，Ω為外激勵頻率。

2 主共振響應(yīng)分析

本節(jié)采用多尺度法求解單模態(tài)梁的主共振解，調(diào)整阻尼，非線性及外激勵項的系數(shù)：

μn=Ο(ε),Γnnnn=Ο(ε),kann=Ο(ε),

fn=Ο(ε),Ω=ω0+εσ,σ=Ο(1)

(9)

2.1 主共振近似解析解

設(shè)式(8)的攝動解形式為：

qn(t)=qn0(T0,T1)+εqn1(T0,T1)+…,

Tj=εjt,j=0,1

(10)

將式(10)代入式(8)，令兩端的ε0和ε1的系數(shù)相等，得到：

(11)

fncos(ω0T0+σT1)

(12)

式(11)的通解可以寫為：

qn0=An(T1)exp(iω0T0)+

(13)

(14)

式中:cc代表前面各項的共軛復(fù)數(shù)。消去式(14)中的久期項，可得：

(15)

令：

(16)

式中:an和βn是T1的實函數(shù)。分離實虛部，得到:

(17)

式中:γn=σT1-βn。則可得壓電彈性梁主共振的幅頻響應(yīng)方程：

(18)

相應(yīng)地，壓電彈性梁位移v(x,t)的一階近似解為：

v(x,t)=ancos(Ωt-γn)φn(x)+Ο(ε)

(19)

同時，根據(jù)幅頻響應(yīng)方程式(18)可得主共振最大幅值的表達(dá)式：

(20)

進(jìn)一步，可得到：

(21)

fL=2ω0μe(2ω0μe/3Γnnnn)1/2

(22)

2.2 周期解的穩(wěn)定性

本小節(jié)主要通過式(17)來確定周期解的穩(wěn)定性，設(shè)：

an=an0+an1,γn=γn0+γn1

(23)

其特征方程為：

(25)

周期解的穩(wěn)定性依賴于式(21)特征方程的特征值，因此根據(jù)穩(wěn)定性理論有：當(dāng)υn>0,ρn>0時周期解穩(wěn)定，反之不穩(wěn)定。

3 數(shù)值分析與討論

本節(jié)對受控梁第一階模態(tài)的主共振響應(yīng)進(jìn)行數(shù)值分析，討論其與控制增益和時滯量之間的關(guān)系。梁和壓電激勵器的幾何尺寸和材料特性參數(shù)如下。梁：l=99.62×10-2m，A=15.36×10-4m2，E=34.5 GPa，I=9.866 2×10-8m4，k=6.872×104N/m，p=2.574×10-1kN，m=4.4 kg/m；壓電激勵器：d31=-270×10-12m/V,Ea=108 GPa,b=0.2×10-2m,2ta=0.04×10-2m,d=0.5×10-2m,x1=12×10-2m,x2=18×10-2m,x3=80×10-2m。

給定f1=0.005,μ1=0.02,圖2為控制增益k=-2時時滯影響下壓電耦合彈性梁第一階模態(tài)主共振響應(yīng)的幅頻曲線。從中可以看出，當(dāng)τ=π/4時，其響應(yīng)幅值較τ=π/30顯著減小，然而當(dāng)τ=π時，幅值急劇增大，當(dāng)τ=5π/4時，幅值又得到抑制，且曲線有多值區(qū)域，共振區(qū)發(fā)生偏移。

值得提出的是，圖3給出的響應(yīng)幅值峰值曲線恰好證明了這一點，當(dāng)時滯τ∈(kπ,kπ+π/2),k=0,1,…時，幅值隨時滯t增大而減小，而當(dāng)時滯值τ∈(kπ+π/2,kπ+π)時，響應(yīng)幅值隨時滯增大而增大，且幅值的變化率在一段區(qū)間內(nèi)顯著高于時滯值變化率。

圖2 不同時滯值時受控梁第一模態(tài)主共振響應(yīng)幅頻曲線Fig.2 The amplitude-frequency curves of the first mode (n=1) primary resonance response of beam with time delay

圖3 不同時滯值時受控梁第一模態(tài)主共振臨界激勵和響應(yīng)峰值曲線Fig.3 The curves of the critical excitation and the peak amplitude of the primary resonance response of beam with time delay

圖3中同時給出了臨界激勵值曲線。該曲線與幅值峰值曲線均呈現(xiàn)出周期性，此處周期T=2π。給定控制增益和時滯值，當(dāng)外激勵幅值fnfL時，an有三個解，則可能出現(xiàn)多值和跳躍現(xiàn)象。臨界激勵值與時滯量、阻尼及材料參數(shù)有關(guān)。

圖4為當(dāng)時滯τ=π/30時，不同控制增益影響下，壓電耦合梁第一模態(tài)主共振響應(yīng)幅頻曲線?？梢钥闯觯?dāng)k=0，即無控狀態(tài)下，幅值較大。當(dāng)采取時滯加速度反饋控制后，幅值得到明顯抑制，且控制效果與k值正相關(guān)。同時可以發(fā)現(xiàn)，隨著k值的不同，共振區(qū)發(fā)生明顯偏移。

圖5給出了不同時滯τ和調(diào)諧參數(shù)σ情況下系統(tǒng)第一模態(tài)的激勵-響應(yīng)幅值曲線。從中可以看出，隨著σ值的增大，曲線實現(xiàn)了從單值到多值的轉(zhuǎn)換，且出現(xiàn)不穩(wěn)定解，同時響應(yīng)幅值增大，彎曲程度增強(qiáng)。固定相應(yīng)σ值，隨著時滯τ增大，也顯示出相同的現(xiàn)象。因此，在共振范圍內(nèi)，非線性特征隨著時滯值和調(diào)諧參數(shù)的增大表現(xiàn)更為明顯。

圖4 不同控制增益值時受控梁第一模態(tài)主共振響應(yīng)幅頻曲線Fig.4 The amplitude-frequency curves of the first mode primary resonance response of beam with control feedback gain

圖5 時滯作用下主共振響應(yīng)激勵-響應(yīng)幅值曲線Fig.5 The response-excitation amplitude curve of the primary resonance with time delay

圖6給出的發(fā)生主共振和非主共振硬激勵時，壓電耦合梁穩(wěn)態(tài)運動時的振動響應(yīng)時程曲線對比圖。對比圖中三條曲線響應(yīng)幅值，可知發(fā)生主共振時系統(tǒng)的響應(yīng)幅值顯著增大，且控制增益k=0.5時，幅值明顯大于小時滯情形。因此，時滯值對系統(tǒng)實際動力影響很大，且必須考慮主共振作用。

圖6 時程曲線對比Fig.6 The contrast of time history curves

圖7為無控和受控情形下發(fā)生主共振的頻域分析圖，可以看出，發(fā)生主共振的時的穩(wěn)態(tài)頻率沒有太大差別，但是其位移幅值有顯著變化，采用時滯反饋控制后，其幅值得到了明顯抑制。

圖7 不同時程曲線的FFT變換Fig.7 The Fast Fourier Transformation of time history curves

4 結(jié) 論

本文研究了壓電耦合彈性梁主共振的時滯反饋控制，采用時滯加速度反饋控制策略，運動多尺度方程得到主共振響應(yīng)的解析解。通過數(shù)值算例，得出結(jié)果如下：

(1)采用時滯加速度反饋控制，可以有效抑制其大幅振動，其主共振響應(yīng)受時滯值周期性影響；

(2)調(diào)整控制增益和時滯值，可以避免主共振區(qū)及多值不穩(wěn)定解；

(3)主共振硬激勵幅值明顯低于主共振幅值，因此研究主共振響應(yīng)的控制具有工程實際意義。

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Time-delayed acceleration feedback control of primary resonance of piezoelectric elastic beams

PENG Jian, ZHANG Gai, HU Xia, XIE Xianzhong

(School of Civil Engineering, Hunan University of Science and Technology, Xiangtan 411201, China)

The time-delayed acceleration feedback control method was applied to study the primary resonance response of vibration control of piezoelectric flexible beams. Based on the Hamilton principle and a closed-loop feedback control strategy with delayed acceleration, a piezoelectric coupling nonlinear dynamic model of the elastic beam were established. Utilizing the multiple scale method, the first-order approximate solution and the stability condition of the primary resonance response of controlled beam were obtained. The peak amplitude and the critical excitation amplitude were given. It is shown that using time-delayed acceleration feedback control can reduce vibration effectively, and that the primary resonance response is affected by the delay value periodically. Reasonable selection of control gain and time delay value can avoid the resonance region and improve the effect of vibration control.

piezoelectric elastic beam; primary resonance; time-delayed acceleration feedback; vibration control; stability

國家重點基礎(chǔ)研究發(fā)展計劃(973)項目(2015CB057702)；國家自然科學(xué)基金項目(11402085；11272119)；湖南省教育廳項目(14C0464); 湖南省優(yōu)秀博士論文資助項目(YB2015B035)

2015-11-26 修改稿收到日期：2016-01-25

彭劍 男，博士，碩士生導(dǎo)師，1982年11月生

O328; TB123

A

10.13465/j.cnki.jvs.2016.24.001