張令偉，連四清，王 晨

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多項(xiàng)式的問題特征對(duì)合并同類項(xiàng)遷移的影響

張令偉1，連四清1，王 晨2

（1．首都師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，北京 100048；2．北京市第八中學(xué)，北京 100032）

多項(xiàng)式的合并同類項(xiàng)測(cè)試結(jié)果表明：正負(fù)號(hào)個(gè)數(shù)與字母?jìng)€(gè)數(shù)對(duì)合并同類項(xiàng)的遷移成績(jī)都有極其顯著的影響，同類項(xiàng)間距離影響不顯著；正負(fù)號(hào)個(gè)數(shù)與字母?jìng)€(gè)數(shù)對(duì)合并同類項(xiàng)的交互效應(yīng)極其顯著．對(duì)能否完成合并同類項(xiàng)遷移的分析結(jié)果表明：正負(fù)號(hào)個(gè)數(shù)的變化與字母?jìng)€(gè)數(shù)的多少對(duì)是否能在合并同類項(xiàng)中進(jìn)行遷移有影響，而同類項(xiàng)間距離影響較?。?/p>

遷移；工作記憶；認(rèn)知負(fù)荷

1 問題提出

通過比較源問題獲得靶問題解決方法或途徑，是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)和方法的基本心理機(jī)制，甚至被認(rèn)為是解決新問題的唯一方法[1]．已有研究對(duì)源問題和靶問題的表面內(nèi)容的相似程度（如，對(duì)源問題和靶問題有不同事件情節(jié)、不同事件類型和不同對(duì)象對(duì)應(yīng)[2~4]的相似）對(duì)原理（源問題和靶問題在原理相同情況與原理不同情況[5]下的相似）的理解、領(lǐng)悟和運(yùn)用做了較為深入的實(shí)驗(yàn)研究．然而大部分研究主要關(guān)注樣例（即源問題與靶問題）的相似程度對(duì)遷移的影響，而且研究采用的測(cè)試材料主要是概率計(jì)算和代數(shù)應(yīng)用題．采用的概率計(jì)算和代數(shù)應(yīng)用題的表征形式多數(shù)是文字信息．

數(shù)學(xué)信息有文字、符號(hào)和圖形3種表征形式，不同的數(shù)學(xué)問題在表征形式上具有較為明顯的差異．如，多數(shù)情況下，概率計(jì)算、代數(shù)應(yīng)用題為文字表征，文字信息在抽取數(shù)學(xué)關(guān)系時(shí)易受到無關(guān)信息的干擾，因而對(duì)其問題信息的認(rèn)知具有較大認(rèn)知負(fù)荷，從而影響源問題解決途徑或方法的遷移．

自從提出樣例設(shè)計(jì)要堅(jiān)持減輕學(xué)生的工作記憶負(fù)擔(dān)或認(rèn)知負(fù)荷，研究者就逐漸開始關(guān)注單個(gè)樣例設(shè)計(jì)中文字、符號(hào)、圖形等多種信息源設(shè)計(jì)的合理性．在樣例學(xué)習(xí)過程中，如果多重信息源的教學(xué)材料設(shè)計(jì)的不合理，將會(huì)分散學(xué)生的注意力從而增加認(rèn)知負(fù)荷，產(chǎn)生“分散注意效應(yīng)”，影響學(xué)生通過樣例獲得表征該領(lǐng)域知識(shí)的基本概念和圖式[6]．其中，文本和圖解的信息整合是一種視覺因素的整合，整合材料的視聽表征可能提高問題解決的成績(jī)和促進(jìn)問題解決的遷移．Sweller[7]通過一系列實(shí)驗(yàn)說明了這一假設(shè)．結(jié)果發(fā)現(xiàn)：視聽信息的整合促進(jìn)了問題解決遷移的成績(jī)[8]．通過Sweller的一系列實(shí)驗(yàn)表明圖形和符號(hào)表征的信息對(duì)遷移有影響．

從已有的研究可以看出，在數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)領(lǐng)域中，樣例學(xué)習(xí)和呈現(xiàn)方式的研究涉及的知識(shí)主要是概率計(jì)算、相等關(guān)系理解和代數(shù)應(yīng)用題．這些知識(shí)多以文字信息形式呈現(xiàn)，而對(duì)于多重信息源的數(shù)學(xué)知識(shí)對(duì)遷移的影響研究還比較少．?dāng)?shù)學(xué)學(xué)科領(lǐng)域的多重信息源呈現(xiàn)形式的知識(shí)對(duì)遷移影響與Sweller的實(shí)驗(yàn)結(jié)果是否一致，研究較少．代數(shù)中的多項(xiàng)式的知識(shí)呈現(xiàn)包含了文字、圖形和符號(hào)等多種信息形式．為了研究多重信息源呈現(xiàn)形式的數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)對(duì)遷移的影響，研究者以初中代數(shù)的多項(xiàng)式為實(shí)驗(yàn)材料，擬通過研究，探索多項(xiàng)式的問題特征對(duì)合并同類項(xiàng)的遷移的影響，從而為教師在多項(xiàng)式合并同類項(xiàng)教學(xué)中，選擇樣例呈現(xiàn)方式提供實(shí)驗(yàn)依據(jù)．

2 研究過程

選擇北京市某中學(xué)的初一兩個(gè)班的學(xué)生作為被試，兩個(gè)班均為普通班，共61名學(xué)生．被試在實(shí)驗(yàn)前均沒有學(xué)習(xí)過多項(xiàng)式合并同類項(xiàng)知識(shí)．

采用“4×2×2”三因素被試內(nèi)設(shè)計(jì)．這里4表示負(fù)號(hào)個(gè)數(shù)，賦值為0、1、2、3；第一個(gè)2表示同類項(xiàng)間距離，賦值為0、1；第二個(gè)2表示字母?jìng)€(gè)數(shù)，即每個(gè)單項(xiàng)式中含兩個(gè)字母與含3個(gè)字母．負(fù)號(hào)個(gè)數(shù)、同類項(xiàng)間距離和字母?jìng)€(gè)數(shù)均為被試內(nèi)變量．研究變量為遷移成績(jī)．

實(shí)驗(yàn)材料包括學(xué)習(xí)材料和測(cè)試材料．學(xué)習(xí)材料由3道合并同類項(xiàng)的例題和合并同類項(xiàng)法則組成．學(xué)習(xí)材料中的例題和法則由任課教師講授．測(cè)試材料由16道測(cè)試題組成，按多項(xiàng)式中負(fù)號(hào)個(gè)數(shù)分別為0、1、2、3個(gè)，同類項(xiàng)間距離為距離等于0或1，字母?jìng)€(gè)數(shù)為每個(gè)單項(xiàng)式中含2個(gè)字母與含3個(gè)字母編寫測(cè)試題，每一類有一道測(cè)試題．在測(cè)試材料試卷上沒有給出所學(xué)合并同類項(xiàng)的法則．為了消除題目的順序影響，測(cè)試材料采用拉丁方設(shè)計(jì)，共16套測(cè)試問卷．

首先讓任課教師講解合并同類項(xiàng)例題和法則，被試在教師指導(dǎo)下學(xué)習(xí)十分鐘學(xué)習(xí)材料，接著給被試發(fā)放測(cè)試材料，然后讀指導(dǎo)語：“根據(jù)剛才學(xué)習(xí)的3道例題和法則，解答測(cè)試卷上的16道練習(xí)題，練習(xí)題完成的時(shí)間是15分鐘．”15分鐘后統(tǒng)一收回測(cè)試卷．

按滿分6分的評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)對(duì)被試答卷進(jìn)行評(píng)分，答案完全不正確即不能遷移記0分；能找到同類項(xiàng)的記2分，能把同類項(xiàng)前面系數(shù)提出的記4分，能正確算出結(jié)果的記6分．

3 研究結(jié)果

對(duì)合并同類項(xiàng)問題解決遷移成績(jī)進(jìn)行描述性統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如表1所示．從表1可以看出：與同類項(xiàng)間距離相比較而言，正負(fù)號(hào)個(gè)數(shù)和字母?jìng)€(gè)數(shù)對(duì)合并同類項(xiàng)問題解決遷移成績(jī)有一定的影響．對(duì)于字母?jìng)€(gè)數(shù)為兩個(gè)，在同類項(xiàng)間距為0與1情況下，正負(fù)號(hào)個(gè)數(shù)的4個(gè)水平的遷移成績(jī)平均分從高到低依次是：水平1>水平3>水平2>水平4；對(duì)于字母?jìng)€(gè)數(shù)為3個(gè)，在同類項(xiàng)間距為0與1的情況下，正負(fù)號(hào)個(gè)數(shù)的4個(gè)水平的遷移成績(jī)平均分從高到低依次是：水平1>水平3>水平4>水平2．對(duì)合并同類項(xiàng)問題解決遷移成績(jī)進(jìn)行4×2×2重復(fù)測(cè)量方差分析，結(jié)果如表2所示．

表1 初中一年級(jí)合并同類項(xiàng)遷移成績(jī)表

注：表中1、2、3、4分別表示正負(fù)號(hào)的水平1、水平2、水平3、水平4，也就是對(duì)應(yīng)多項(xiàng)式中分別含有負(fù)號(hào)個(gè)數(shù)為0、1、2、3；1、2分別表示同類項(xiàng)間距為0、1；1、2分別表示多項(xiàng)式中每個(gè)單項(xiàng)式含有字母?jìng)€(gè)數(shù)為2、3

表2 初中一年級(jí)合并同類項(xiàng)遷移成績(jī)方差統(tǒng)計(jì)表

表2數(shù)據(jù)表明：正負(fù)號(hào)個(gè)數(shù)的主效應(yīng)極其顯著（=207.566，=0.000），這說明正負(fù)號(hào)個(gè)數(shù)因素對(duì)遷移成績(jī)影響極其顯著；正負(fù)號(hào)個(gè)數(shù)的4個(gè)水平的遷移成績(jī)平均分從高到低依次是：水平1（5.520?5）>水平3（4.582?0）>水平2（2.147?5）>水平4（2.114?8）；水平2與水平4對(duì)遷移成績(jī)影響沒有顯著差異（=0.052，=0.821）．同類項(xiàng)間距離的主效應(yīng)不顯著（=1.267，=0.265>0.05），這說明同類項(xiàng)間距離因素對(duì)遷移成績(jī)影響不顯著．字母?jìng)€(gè)數(shù)的主效應(yīng)極其顯著（=20.747，=0.000），這說明字母?jìng)€(gè)數(shù)因素對(duì)遷移成績(jī)影響極其顯著．正負(fù)號(hào)個(gè)數(shù)×同類項(xiàng)間距離交互效應(yīng)不顯著（=0.013，=0.911>0.05），這說明正負(fù)號(hào)個(gè)數(shù)主效應(yīng)不存在同類項(xiàng)間距離差異．正負(fù)號(hào)個(gè)數(shù)×字母?jìng)€(gè)數(shù)交互效應(yīng)極其顯著（=54.055，=0.000），這說明正負(fù)號(hào)個(gè)數(shù)主效應(yīng)存在字母?jìng)€(gè)數(shù)差異．同類項(xiàng)間距離×字母?jìng)€(gè)數(shù)交互效應(yīng)不顯著（=0.010，=0.919>0.05），這說明同類項(xiàng)間距離主效應(yīng)不存在字母?jìng)€(gè)數(shù)上的差異．正負(fù)號(hào)個(gè)數(shù)×同類項(xiàng)間距離×字母?jìng)€(gè)數(shù)三因素交互作用不顯著（=0.295，=0.589>0.05），這說明正負(fù)號(hào)個(gè)數(shù)×同類項(xiàng)間距離交互效應(yīng)不存在字母?jìng)€(gè)數(shù)差異．

進(jìn)一步對(duì)正負(fù)號(hào)個(gè)數(shù)因素在字母?jìng)€(gè)數(shù)的兩個(gè)水平上做簡(jiǎn)單效應(yīng)檢驗(yàn)，結(jié)果顯示：在字母?jìng)€(gè)數(shù)為2水平上=301.014，=0.000<0.05；在字母?jìng)€(gè)數(shù)為3水平上=38.718，=0.000<0.05．這說明對(duì)于字母?jìng)€(gè)數(shù)為2與字母?jìng)€(gè)數(shù)為3來說，正負(fù)號(hào)個(gè)數(shù)因素對(duì)合并同類項(xiàng)問題解決的遷移成績(jī)都有極其顯著的影響．字母?jìng)€(gè)數(shù)為2與字母?jìng)€(gè)數(shù)為3相比較而言，正負(fù)號(hào)個(gè)數(shù)因素對(duì)遷移成績(jī)的影響不一致；在字母?jìng)€(gè)數(shù)為2的水平上，正負(fù)號(hào)個(gè)數(shù)的4個(gè)水平的遷移成績(jī)平均分從高到低依次是：水平1（5.697?0）>水平3（4.926?9）>水平2（1.2259）>水平4（0.819?7），在字母?jìng)€(gè)數(shù)為3的水平上，正負(fù)號(hào)個(gè)數(shù)的4個(gè)水平的遷移成績(jī)平均分從高到低依次是：水平1（5.344?3）>水平3（4.237?7）>水平4（3.409?8）>水平2（3.065?6）．正負(fù)號(hào)個(gè)數(shù)×字母?jìng)€(gè)數(shù)交互作用如圖1所示．

注：在圖1中C1表示多項(xiàng)式中每個(gè)單項(xiàng)式含有字母?jìng)€(gè)數(shù)為2，C2表示多項(xiàng)式中每個(gè)單項(xiàng)式含有字母?jìng)€(gè)數(shù)為3

4 分析與討論

實(shí)驗(yàn)的基本設(shè)想是：正負(fù)號(hào)個(gè)數(shù)對(duì)合并同類項(xiàng)遷移成績(jī)有影響，正負(fù)號(hào)的個(gè)數(shù)不同對(duì)遷移成績(jī)的影響不同；同類項(xiàng)間距離對(duì)合并同類項(xiàng)遷移成績(jī)有影響，不同的同類項(xiàng)間距離對(duì)遷移成績(jī)有不同影響；字母?jìng)€(gè)數(shù)對(duì)合并同類項(xiàng)遷移成績(jī)也有影響，且不同的字母?jìng)€(gè)數(shù)對(duì)遷移成績(jī)也會(huì)有不同的影響．

4.1 正負(fù)號(hào)個(gè)數(shù)對(duì)合并同類項(xiàng)遷移的影響

結(jié)果表明正負(fù)號(hào)個(gè)數(shù)的主效應(yīng)極其顯著，這說明正負(fù)號(hào)個(gè)數(shù)因素對(duì)合并同類項(xiàng)遷移成績(jī)影響極其顯著．這一結(jié)果與預(yù)期基本一致．結(jié)果說明，不同的正負(fù)號(hào)個(gè)數(shù)影響合并同類項(xiàng)的問題解決．其原因一方面可能是：學(xué)生先前的負(fù)數(shù)概念和正負(fù)數(shù)的加減運(yùn)算法則不熟悉，導(dǎo)致合并同類項(xiàng)的步驟和結(jié)果錯(cuò)誤，這是由于負(fù)數(shù)參與的運(yùn)算（減法）要比正數(shù)的加法運(yùn)算復(fù)雜的多，相對(duì)于減法運(yùn)算來說，個(gè)體在計(jì)算加法運(yùn)算時(shí)更傾向于使用提取策略[8]，而負(fù)數(shù)的負(fù)號(hào)具有符號(hào)和減法運(yùn)算兩個(gè)作用；另一方面可能是：在每個(gè)多項(xiàng)式中含有的4個(gè)單項(xiàng)式的系數(shù)正負(fù)情況中，除第一項(xiàng)系數(shù)均是正數(shù)外，其余三項(xiàng)系數(shù)的正負(fù)情況復(fù)雜（+++、++-、+-+、+--、-++、-+-、--+、---），在學(xué)生判斷哪些單項(xiàng)式為同類項(xiàng)過程中，正負(fù)號(hào)個(gè)數(shù)干擾了這種判斷．正負(fù)號(hào)個(gè)數(shù)的4個(gè)水平的遷移成績(jī)平均分從高到低依次是：水平1>水平3>水平2>水平4；水平2與水平4對(duì)合并同類項(xiàng)的遷移成績(jī)影響沒有顯著差異．這與長(zhǎng)度效應(yīng)理論基本一致，長(zhǎng)度效應(yīng)理論認(rèn)為問題解決的信息越多，問題解決的長(zhǎng)度越長(zhǎng)，越容易引起錯(cuò)誤[9]．在正負(fù)號(hào)個(gè)數(shù)的4個(gè)水平下的16道測(cè)題中，4個(gè)單項(xiàng)式系數(shù)分別為四正、三正一負(fù)、兩正兩負(fù)、一正三負(fù)，4個(gè)正數(shù)合并同類項(xiàng)沒有給學(xué)生增加正負(fù)符號(hào)的認(rèn)知負(fù)荷，因此4個(gè)正數(shù)合并同類項(xiàng)遷移成績(jī)最好；相對(duì)于系數(shù)為4個(gè)正數(shù)而言，系數(shù)為兩正兩負(fù)的多項(xiàng)式增加了學(xué)生的工作記憶負(fù)荷，因此遷移成績(jī)低于系數(shù)為4個(gè)正數(shù)的遷移成績(jī)；而系數(shù)為三正一負(fù)和一正三負(fù)的問題長(zhǎng)度幾乎一樣，都比系數(shù)為兩正兩負(fù)的問題的長(zhǎng)度長(zhǎng)，導(dǎo)致學(xué)生在判斷哪些項(xiàng)是同類項(xiàng)以及合并同類項(xiàng)過程中，工作記憶負(fù)荷增加，因此遷移成績(jī)最低．

4.2 同類項(xiàng)間距離對(duì)合并同類項(xiàng)遷移的影響

與預(yù)期有些不同的是，對(duì)于先前沒有學(xué)習(xí)合并同類型的學(xué)生來說，同類項(xiàng)間距離的主效應(yīng)不顯著，也就是說同類項(xiàng)間距離因素對(duì)遷移成績(jī)影響不顯著．這說明同類項(xiàng)相鄰或者有間距對(duì)判斷哪些單項(xiàng)式是同類項(xiàng)以及合并同類項(xiàng)都沒有顯著影響．這與Sweller的注意分散效應(yīng)和Mayer的空間臨近效應(yīng)不太一致．注意分散效應(yīng)認(rèn)為學(xué)習(xí)者在學(xué)習(xí)過程中必須參照多元表征的信息并加以整合才能理解，所以多元表征的信息最好在空間上臨近，否則分散學(xué)生的注意而浪費(fèi)整合信息需要的認(rèn)知資源，從而無形中增加學(xué)生的外在負(fù)荷；空間臨近效應(yīng)是指意義相近的言語和圖象在空間上臨近呈現(xiàn)要比分離呈現(xiàn)效果好．與預(yù)期結(jié)果不一樣的原因可能是：在測(cè)試題的3個(gè)變量中，相對(duì)于正負(fù)號(hào)個(gè)數(shù)和字母?jìng)€(gè)數(shù)而言，同類項(xiàng)間的距離變量只有相鄰和距離為1兩種水平，變量水平的變化的判斷需要的工作記憶負(fù)荷較少，產(chǎn)生的錯(cuò)誤也相對(duì)較少．

4.3 字母?jìng)€(gè)數(shù)對(duì)合并同類項(xiàng)遷移的影響

正如假設(shè)的那樣，對(duì)于沒有經(jīng)驗(yàn)的被試來說，字母?jìng)€(gè)數(shù)的主效應(yīng)極其顯著，也就是說字母?jìng)€(gè)數(shù)因素對(duì)遷移成績(jī)影響極其顯著．這說明字母?jìng)€(gè)數(shù)因素對(duì)判斷哪些單項(xiàng)式是同類項(xiàng)以及合并同類項(xiàng)問題解決步驟和過程有影響．這與Sweller的實(shí)驗(yàn)結(jié)果基本一致．這是因?yàn)樽帜甘且环N代數(shù)符號(hào)，代數(shù)符號(hào)具有因素特性，它的儲(chǔ)存和保持需要依賴語音環(huán)記憶；而且代數(shù)符號(hào)具有更多的視覺空間特性[10~12]，更多的依賴視空間記憶[13]．這就是說每個(gè)單項(xiàng)式都承載著視聽信息，單項(xiàng)式中字母越多，單項(xiàng)式承載的信息量越大；在判斷哪些項(xiàng)是同類項(xiàng)時(shí)，需要的視聽認(rèn)知資源也越多；而且代數(shù)符號(hào)的代數(shù)運(yùn)算需要利用更多的工作記憶資源[14]．

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Effect of the Problem Characteristics of Polynomial on the Transfer of Combining Similar Items

ZHANG Ling-wei1, LIAN Si-qing1,WANG Chen2

(1. Mathematics Science Institute of Capital Normal University, Beijing 100037, China;2. Beijing No.8 High School, Beijing 100032, China)

Experimental results show that: the main effect of the number of positive and negative is extremely significant; the main effect of the number of letters is extremely significant; the main effect of the distance of similar items is not significant. In addition, the interaction between the number of positive and negative sign x number of letters is extremely significant.

transfer; working memory; cognitive load

[責(zé)任編校：陳雋]

G420

A

1004–9894（2016）03–0093–03

2016–01–06

張令偉（1976—），女，河北邢臺(tái)人，博士生，中學(xué)一級(jí)教師，主要從事數(shù)學(xué)教育與心理測(cè)量研究．