江蘇省淮安市金湖縣金南中學(xué) 楊兆忠

“用一元二次方程解決問題”第1課時教學(xué)設(shè)想

江蘇省淮安市金湖縣金南中學(xué) 楊兆忠

本文以蘇科版初中數(shù)學(xué)九年級上冊第一章第4節(jié)“用一元二次方程解決問題”的第1課時為例從教材分析與學(xué)情分析，教學(xué)目標分析，教法與學(xué)法，教學(xué)過程等幾個方面闡述教學(xué)設(shè)想。

一、教材分析與學(xué)情分析

一元二次方程是中學(xué)數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容，在初中數(shù)學(xué)中占有重要地位，其中一元二次方程的實際應(yīng)用在初中數(shù)學(xué)應(yīng)用問題中極具代表性，它是一元一次方程應(yīng)用的延續(xù)，又是二次函數(shù)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，同時也是研究現(xiàn)實世界數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律的重要模型。

從宏觀來看，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了一元一次方程、二元一次方程組以及分式方程等知識，感受了方程模型的作用和價值，已經(jīng)積累了一些用方程解決問題的經(jīng)驗；從微觀而言，學(xué)生已經(jīng)學(xué)過一元二次方程的解法，為本節(jié)課的學(xué)習(xí)做好了鋪墊。本章第4節(jié)第一課時在教材中起著承上啟下的作用，直接影響學(xué)生后續(xù)的學(xué)習(xí)效果。本節(jié)課筆者將以實際問題為載體，借助有一定挑戰(zhàn)性和思考性的現(xiàn)實問題情境，通過學(xué)生的自主探索研究，抽象出一元二次方程。在解決數(shù)學(xué)內(nèi)部問題的過程中，幫助學(xué)生感悟數(shù)學(xué)模型的簡明及其使用的廣泛性，從而“由內(nèi)而外”體現(xiàn)數(shù)學(xué)模型應(yīng)用價值的過程。

對初中學(xué)生來說，由于缺乏一定的社會生活經(jīng)歷，收集信息處理信息的能力較弱，因此將實際問題提煉為數(shù)學(xué)模型是我們設(shè)計教學(xué)方案時不容忽視的地方。

二、教學(xué)目標分析

數(shù)學(xué)課程標準（2011版）P28頁“第⒈方程與方程組”要求中明確了：第⑴點能根據(jù)具體問題中的數(shù)量關(guān)系列出方程，體會方程是刻畫現(xiàn)實世界數(shù)量關(guān)系的有效模型；第⑺點理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解數(shù)字系數(shù)的一元二次方程；第⑻點會用一元二次方程根的判別式判別方程是否有實根和兩個實根是否相等；第⑽點能根據(jù)具體問題中的實際意義，檢驗方程的解是否合理。結(jié)合課標具體要求和初三學(xué)生的認知特點，筆者確定了如下教學(xué)目標：

1.知識與技能：根據(jù)具體問題中的數(shù)量關(guān)系列出一元二次方程解應(yīng)用題、并能根據(jù)具體問題的實際意義，討論方程的根，檢驗結(jié)果的合理性；

2.過程與方法：經(jīng)歷和體驗用一元二次方程解決實際問題的過程，體會一元二次方程是刻畫現(xiàn)實世界數(shù)量關(guān)系的有效模型，進一步提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力；

3.情感、態(tài)度與價值觀：積極參與數(shù)學(xué)活動、感受成功的快樂、認識數(shù)學(xué)具有應(yīng)用廣泛的特點，體會數(shù)學(xué)的價值；敢于發(fā)表自己的想法，能獨立思考、合作交流。

重點：掌握建立一元二次方程的有效模型解決實際問題的過程.學(xué)會用列一元二次方程的方法解決有關(guān)圖形面積問題。

難點：如何找出圖形面積問題中的等量關(guān)系、根的檢驗。

三、教法與學(xué)法

教師引導(dǎo)，學(xué)生動手操作、自主探索、合作交流，充分發(fā)揮學(xué)生的主體地位。課堂中，教師通過提供適當?shù)膯栴}情境促使學(xué)生的反思，引起學(xué)生必要的認知沖突，從而讓學(xué)生最終通過其主動的思辨建構(gòu)起新的的認知結(jié)構(gòu)。

四、教學(xué)流程

（一）課堂結(jié)構(gòu)

情境引入→合作探究→新知建構(gòu)→練習(xí)鞏固→小結(jié)提升。

（二）教學(xué)簡要過程

1.情境引入

一個矩形的長為3cm，寬為2cm。

（1）該矩形的周長為_______cm，面積為_____cm2。

（2）若該矩形的長為3cm，周長為10cm，則它的寬為_____ cm。

（3）若該矩形的周長為10cm，則它的長一定是3cm，寬一定是2cm嗎？為什么？

矩形中長、寬與周長滿足：__________________。

（4）矩形的周長為10cm，設(shè)該矩形的長為xcm，則寬為______cm。

設(shè)計意圖：通過問題串對矩形長、寬和周長關(guān)系進行辨析，為正確表示出矩形的各邊降低難度，從而為順利找到長×寬=面積這一相等關(guān)系列出方程做好保障。心理學(xué)研究表明，當外部刺激喚起主體的情感活動時，就更容易成為注意的中心，由此我選擇問題串作為情境引入，以此提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣。

2.合作探究

問題1一根長22cm的鐵絲。

（1）能否圍成面積是30cm2的矩形？

（2）能否圍成面積是32cm2的矩形？并說明理由。

通過一根22cm的鐵絲演示抽象出數(shù)學(xué)模型，找到相等關(guān)系列求方程，檢驗根的實際意義并回答問題。1.實物演示后，學(xué)生自己獨立思考，找尋等量關(guān)系：長+寬=1/2周長、長×寬=面積；2.如何設(shè)未知數(shù)，列方程；3.怎樣解方程?方程的解是否都符合實際意義?

設(shè)計意圖：通過實物演示直觀得出22cm與矩形周長的關(guān)系、從而降低矩形已知一邊表示另一邊的難度，審清題意后，抓準問題中的數(shù)量關(guān)系，找出相等關(guān)系，再設(shè)未知數(shù)和列方程，有利于理清思路，降低列方程解應(yīng)用題的難度，從而發(fā)展學(xué)生思維能力。

3.新知建構(gòu)

例1 如圖所示學(xué)校準備在圖書館后面的場地上建一個面積為12m2的矩形自行車棚,一邊利用圖書館的后墻,并利用已有總長為10m的鐵圍欄，（1）請你來設(shè)計,如何搭建較合適？（2）如果圖書館后墻可利用長度為5m，那么應(yīng)如何搭建才合適?

設(shè)計意圖：這一問題源于校園生活，學(xué)生熟悉但未必深入研究。本題中實則是上題的變式，各邊關(guān)系滿足：2寬+1長=總長，對這個問題的理解與處理非常關(guān)鍵。請學(xué)生獨立審題，并設(shè)計問題：長怎樣表示?相等關(guān)系是什么?方程的根是否都符合題意?對第2問中可利用長度的理解源于學(xué)生生活，體現(xiàn)對實際問題的感受。在層層遞進的問題串下幫助學(xué)生理清數(shù)量之間的關(guān)系，突破難點，建立數(shù)學(xué)模型。得到方程：x（10－2x）=12解方程,并引導(dǎo)到學(xué)生檢驗方程的解是否符合實際意義：當x=2時，10－2x=10－2×2=6＞5，無意義。經(jīng)歷審、設(shè)、列、解、驗、答六環(huán)節(jié)，培養(yǎng)學(xué)生規(guī)范的答題格式，以及嚴謹客觀的良好思維品質(zhì)。

4.練習(xí)鞏固

（1）如圖，有長為24m的籬笆，一面利用墻（墻的最大可用長度為15m），圍成中間隔有一道籬笆的長方形花圃。是否可以圍成面積為45m2的花圃，若可以圍成，此時AB的長是多少m？

（2）縣實驗中學(xué)為美化校園，準備在長32m，寬20m的長方形場地上修筑若干條一樣寬的道路，余下部分作草坪，并請全校學(xué)生參與設(shè)計?，F(xiàn)選取了幾位同學(xué)設(shè)計的方案（圖紙如下）：

①甲同學(xué)方案如圖，已知設(shè)計草坪的總面積為540m2，道路的寬為多少？

②乙同學(xué)方案如圖，已知設(shè)計草坪的總面積為540m2,道路的寬為多少？

③丙同學(xué)方案如圖,已知設(shè)計草坪的總面積為540m2。道路的寬為多少？

⑷其他方案

第1題針對例題再次展開變式研究，第2題注重通過平移、拆分重組等方法找不同方案下新矩形的長和寬（這是解決問題的關(guān)鍵）。初三學(xué)生已經(jīng)有較強的知識遷移能力，通過變式練習(xí)，類比例題的解題思想方法進而幫助學(xué)生加深對新知的理解，提高解決此類問題的能力。

5.小結(jié)提升

學(xué)而不思則罔，最后引導(dǎo)學(xué)生回顧收獲與交流感悟，幫助形成知識體系。

（1）通常用一元二次方程解決實際問題要經(jīng)歷怎樣的過程？

（2）用一元二次方程解決實際問題的關(guān)鍵是什么？

6.作業(yè)：(略)

建構(gòu)主義認為，教學(xué)方法的核心是強調(diào)學(xué)習(xí)者是一個主動的積極的知識構(gòu)建者。本節(jié)內(nèi)容的教學(xué)設(shè)想，從審題、到找等量關(guān)系、列方程、解方程、檢驗等一系列活動都從學(xué)生實際出發(fā)，借助適當?shù)膯栴}情景或?qū)嵗偈箤W(xué)生反思，引起學(xué)生的認知沖突，從而讓學(xué)生最終通過主動的思考建構(gòu)起新的認知結(jié)構(gòu)。