王 東，梁曉青，金少華，張艷敏

（1.河北工業(yè)大學(xué) 廊坊分校，河北 廊坊 065000；2.河北工業(yè)大學(xué) 理學(xué)院，天津 300401）

非齊次樹上關(guān)于隨機(jī)和的一類隨機(jī)逼近定理

王 東1，梁曉青2，金少華2，張艷敏2

（1.河北工業(yè)大學(xué) 廊坊分校，河北 廊坊 065000；2.河北工業(yè)大學(xué) 理學(xué)院，天津 300401）

樹指標(biāo)隨機(jī)過程已成為近年來發(fā)展起來的概率論的研究方向之一．強(qiáng)極限定理一直是國(guó)際概率論界研究的中心課題之一．通過構(gòu)造適當(dāng)?shù)姆秦?fù)鞅，將Doob鞅收斂定理應(yīng)用于幾乎處處收斂的研究．利用條件母函數(shù)和尾概率母函數(shù)的工具，給出了非齊次樹上關(guān)于隨機(jī)和的一類隨機(jī)逼近定理．

非齊次樹；鞅；母函數(shù)；強(qiáng)極限定理

樹指標(biāo)隨機(jī)過程已成為近年來發(fā)展起來的概率論的研究方向之一．強(qiáng)極限定理一直是國(guó)際概率論界研究的中心課題之一．楊衛(wèi)國(guó)[1]研究了齊次樹圖上馬爾可夫鏈的強(qiáng)極限定理及具有幾乎處處收斂性質(zhì)的Shannon-McMillan定理．文獻(xiàn)[2]研究了一類非齊次樹上的Shannon-Mcmillan定理．本文通過構(gòu)造適當(dāng)?shù)姆秦?fù)鞅，將Doob鞅收斂定理應(yīng)用于幾乎處處收斂的研究．利用條件母函數(shù)和尾概率母函數(shù)的工具，給出了非齊次樹上關(guān)于隨機(jī)和的一類隨機(jī)逼近定理．

設(shè)T是一個(gè)具有根頂點(diǎn)o的無限樹， Nn,n1 是一列正整數(shù)集，如果第n n0 層上的每個(gè)頂點(diǎn)均與第n+1層上的Nn+1個(gè)頂點(diǎn)相鄰，則稱T為廣義Bethe樹或廣義Cayley樹．特別地，若對(duì)非負(fù)整數(shù)集N，用模m的同余關(guān)系對(duì)其分類得到模m的剩余類

是S上一概率分布，

是定義在S2上的隨機(jī)矩陣，如果，有

并且

由上述定義可知，樹T上的非齊次馬爾可夫鏈的聯(lián)合密度函數(shù)為

則稱h PQ為P相對(duì)于Q的樣本散度．

引理1 設(shè)P和Q如前定義，則有

由式 (7)和式 (8)可推出

定義條件母函數(shù)和尾概率條件母函數(shù)如下：

設(shè)0＜s＜1，將式 (26)兩邊同除以ln s，并由不等式及母函數(shù)的性質(zhì)

在式 (22)中令s=1，由式 (7)，式 (9)和式 (23)，有

定理2和定理3的證明與定理1類似．

[1]Yang Weiguo，Liu Wen．The asymptotic equipartition property for mth-order nonhomo geneous Markov information sources[J]．IEEE Trans Inform Theory，2004（50）：3326-3330．

[2]金少華，霍艷，張會(huì)鵬，等．一類非齊次樹上的Shannon-Mcmillan定理 [J]．?dāng)?shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2009，39（14）：137-140．

[責(zé)任編輯 楊 屹]

A class of random approximation theorems for random sums on a non-homogenous tree

WANG Dong1，LIANG Xiaoqing2，JIN Shaohua2，ZHANG Yanm in2

(1.Langfang Branch,Hebei University of Technology,Hebei Langfang 065000,China;2.School of Sciences,Hebei University of Technology,Tianjin 300401,China)

In recent years,tree indexed stochastic process has become one of the research directions for studying in the probability theory.The strong limit theorem has been one of the central issues of the international probability theory.In this paper,through constructing a non-negative martingale and applies Doob's martingale convergence theorem to the research of a.e.convergence,a class of random approximation theorems for random sums on a non-homogenous tree are obtained by using the tools of the conditional generating functions and the tailed-probability generating function.

non-homogeneous trees;martingale;generating function;strong limit theorem

O211.4

A

1007-2373(2015)05-0050-06

10.14081/j.cnki.hgdxb.2015.05.008

2015-04-09

河北省高等教育科學(xué)技術(shù)研究重點(diǎn)項(xiàng)目（ZD2014051）；河北省高等教育科學(xué)技術(shù)研究青年基金項(xiàng)目（QN2016176）

王東（1979-），男（漢族），講師．