鄔麗云，王然，魏明強(qiáng)，康彤

(中國傳媒大學(xué) 理工學(xué)部，北京 100024)

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一種新的求解帶有非線性導(dǎo)體的麥克斯韋方程的有限元算法

鄔麗云，王然，魏明強(qiáng)，康彤

(中國傳媒大學(xué) 理工學(xué)部，北京 100024)

本文引入U(xiǎn)=?tA，令電場(chǎng)E分解成E=-U-▽?duì)諛?gòu)造了一種新的基于勢(shì)的有限元算法，用此算法求解了一類帶指數(shù)的非線性導(dǎo)體的Maxwell方程，導(dǎo)體的非線性項(xiàng)為指數(shù)形式：σ(x，|E|)=|E|α-2，(0<α<1)。算法首先利用差分對(duì)時(shí)間進(jìn)行離散，然后分兩步循環(huán)求解U和φ，并給出收斂性和誤差，最后通過兩個(gè)數(shù)值實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了算法的可行性和有效性。

麥克斯韋方程；非線性導(dǎo)體；有限元算法

1 新的基于勢(shì)的有限元求解非線性導(dǎo)體的模型

(1)

其中H為磁場(chǎng)強(qiáng)度，E為電場(chǎng)強(qiáng)度，ε是電導(dǎo)率，μ是磁導(dǎo)率。在工程背景下，可作進(jìn)一步的如下假設(shè)：ε和μ在內(nèi)是分片的正的常函數(shù)，且存在常數(shù)εmin，εmax和μmax，使得滿足0<εmin<ε<εmax和0<μmin<μ<μmax。

為了方便起見，我們給出方程(1)的齊次邊界條件：

(2)

和初始條件：

H(x，0)=H0(x) in

(3)

為了把公式(1)轉(zhuǎn)化成公式A-φ，我們引入矢量勢(shì)A，其定義如下：

μH=▽×A

(4)

我們記U=?tA，則電場(chǎng)可以表示成

E=-U-▽?duì)?/p>

(5)

(6)

其中函數(shù)(U0，φ0)滿足分解E0=-U0-▽?duì)?，其中U0是散度自由。對(duì)公式(4)的兩邊同時(shí)取旋度，考慮規(guī)范約束，那么A(x，0)=A0(x)可以通過以下的初始值問題給出：

(7)

2 時(shí)間離散變分格式

為了簡(jiǎn)便起見，首先引入一些常用符號(hào)。令L2()表示在中的平方可積函數(shù)空間，其對(duì)應(yīng)的內(nèi)積和范數(shù)是：

(u，v)：=∫u(x)v(x)dx和‖u‖：

用粗體表示向量值函數(shù)空間，即L2()：(L2())3。定義Hilbert空間Hm()：={vL2()：DζvL2()，|ζ|≤m}，其范數(shù)為

其中，m是非負(fù)整數(shù)，ζ表示非負(fù)三重指數(shù)。

令

((P，φ)，(Q，ψ))v：=(P，Q)H1()+(▽?duì)?，▽?duì)?L2()

記V的對(duì)偶空間為V*。

最后，我們引入下列將在后面用到的引理。

接下來，我們給出式(6)時(shí)間離散變分格式。設(shè)N是一個(gè)正整數(shù)，將區(qū)間[0，T]等分為N份，其節(jié)點(diǎn)ti=iτ(i=0，1，2，…，N)，其中τ=T/N。令

(8)

定理2.1 變分問題(8)對(duì)于每個(gè)i=1，2，3，…，N都有唯一解(Ui，Ai，φi)。

3 全離散格式

設(shè)是τh是上的正則四面體剖分，尺寸為h。定義

(9)

(10)

下面的定理給出誤差分析結(jié)果。

那么有

(11)

其中C是不依賴于時(shí)間步長τ和網(wǎng)格尺寸h的正常數(shù)。

4 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

(12)

手動(dòng)離散時(shí)間，在每個(gè)時(shí)間間隔我們分兩步求解。

第二步：利用上一步的結(jié)果Ui，φi，求解Ai：

得到解后，求誤差

實(shí)驗(yàn)1：我們選取空間上為線性的真解：

圖1 空間線性的理論解相對(duì)于不同的非線性參數(shù)所得的收斂曲線

實(shí)驗(yàn)2：取空間為非線性函數(shù)

圖2 非線性參數(shù)α=0.35時(shí)，取不同的網(wǎng)格粗細(xì)的收斂對(duì)比曲線

圖2的數(shù)據(jù)可以明顯的看到，當(dāng)τ比較大時(shí)，誤差隨著τ的變化比較明顯，但是當(dāng)τ減小到一定程度時(shí)，誤差將趨于常數(shù)，而該常數(shù)值的大小與h有關(guān)，這與誤差估計(jì)的理論結(jié)果相符。

5 總結(jié)

我們引出了U=?tA求解非線性渦流問題的A-φ有限元方法，通過時(shí)間上做差分，空間上用有限元的算法設(shè)計(jì)，給出了其收斂性和誤差估計(jì)，最后對(duì)通過兩個(gè)數(shù)值實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了算法的收斂效果。

[1]S Durand，M Slodicka.Fully discrete finite element method for Maxwell’s equations with nonlinear conductivity[J].IMA J Numer Anal，31(2011)：1713-1733.

[2]T Kang，T Chen，H Zhang，K I Kim.Fully discrete A-φ finite element method for Maxwell’s equations with nonlinear conductivity[J].Numer Meth Part D E，30(2014)：2083-2108.

[3]Susanne C Brenner，L Ridgway Scott.The Mathematical Theory of Finite Element Methods，Second Edition[M].NY：Springer，2007，60-62.

[4]胡建偉，湯懷民.微分方程數(shù)值方法(第二版)[M].北京：科學(xué)出版社，2011，247-248.

(責(zé)任編輯：宋金寶，昝小娜)

A New Finite Element Scheme for Maxwell’s Equations with a Power-law Nonlinear Conductivity

WU Li-yun，WANG Ran，WEI Ming-qiang，KANG Tong

(Science School，Communication University of China，Beijing 100024，China)

In this paper we use U=?tA and decompose the electric field E to -U-▽?duì)?A new finite element scheme for Maxwell’s equations with a power-law nonlinear conductivity is built.The domain consists of some subdomainscoccupied by a nonlinear material with the electric conductivity which is supposed to be a monotone function of the power-law form |E|α-2，(0<α<1)).For each time step，we use difference scheme U and φ would be solved sequentially.We present some numerical experiments to verify the theoretical schemes.

Maxwell’s equations；nonlinear conductivity；finite element scheme

2016-07-01

鄔麗云(1977- )，女(漢族)，山西人，中國傳媒大學(xué)博士研究生、副教授，E-mail：wuliyun@cuc.edu.cn.

O212.4

A

1673-4793(2016)06-0023-06