張中府，咸會遠(yuǎn)，李漢林，王愛芳，劉 芬

(山東大學(xué)(威海)，山東 威海 264209)

基于旋轉(zhuǎn)液體特性實驗的激光雙次反射法測重力加速度

張中府，咸會遠(yuǎn)，李漢林，王愛芳，劉 芬*

(山東大學(xué)(威海)，山東 威海 264209)

旋轉(zhuǎn)液體特性實驗是大學(xué)物理實驗中典型的綜合實驗項目，本文利用激光束在旋轉(zhuǎn)液體表面的雙次反射時的特性，確定了測量重力加速度的新方法。通過對比實驗發(fā)現(xiàn)，本設(shè)計減少了原有單次激光反射測量重力加速度時的物理量數(shù)目，并有效提高了測量結(jié)果的精確度。

旋轉(zhuǎn)液體特性；反射激光法

旋轉(zhuǎn)液體現(xiàn)象以其直觀性、生動性激發(fā)學(xué)生實驗興趣,是一個既古老又現(xiàn)代的實驗項目。早在力學(xué)創(chuàng)建之初，就有牛頓的水桶實驗。直至現(xiàn)今，在國外的一些研究性物理實驗中，對旋轉(zhuǎn)液體拋物面形狀的研究仍然是廣泛而重要的課題之一。本實驗應(yīng)用激光技術(shù)測量旋轉(zhuǎn)液體的液面形狀，并根據(jù)液體的旋轉(zhuǎn)速度和激光反射位置等物理量，獲得本地的重力加速度。目前在使用激光測重力加速度實驗中發(fā)現(xiàn)當(dāng)液體的轉(zhuǎn)動頻率較小時，激光入射和反射光束夾角θ滿足關(guān)系式tanθ∝1/T2(T為液體旋轉(zhuǎn)周期)[1-2],而當(dāng)水桶旋轉(zhuǎn)周期超過某一臨界值時，上述關(guān)系式不再成立。本文就是以此為出發(fā)點進(jìn)一步對這個臨界點頻率及其超過這個頻率后的光束路徑進(jìn)行了詳細(xì)討論。

1 實驗原理

1.1 基本原理

圖1和圖2為旋轉(zhuǎn)液體的軸截面圖，液體跟隨一個半徑為R、繞其中心軸Oy旋轉(zhuǎn)的圓桶一起以角速度ω旋轉(zhuǎn)。圖1中水平虛線為液體未旋轉(zhuǎn)時的靜止液面高度h0?？紤]位于液面上的一個質(zhì)元，當(dāng)其處于平衡時，有Ncosθ=mg，Nsinθ=mxω2，其中θ為液面上該處的切線與x軸方向的夾角，由于表面張力相對其它力小得多，故可忽略。由此得：

(1)

圖1 旋轉(zhuǎn)液體液面上的一個質(zhì)元的受力分析示意圖

圖2 激光束被一次反射時光路示意圖

積分后得到(縱向剖面的)液體上表面的坐標(biāo)(x,y)滿足方程：

(2)其中，y0為x=0處的y值。設(shè)液面在x=x0處的高度y不隨時間改變，液體在未旋轉(zhuǎn)時液面高度為h0，則點(x0，h0)在方程(1)所示的拋物線上。所以

因液體的體積不隨角速度變化，所以有

(4)

聯(lián)立等式(3)和(4)可求得:

(5)

(6)

1.2 臨界圓頻率

當(dāng)水桶轉(zhuǎn)速逐漸增大時，液體上表面的彎曲度逐漸增大，當(dāng)光線豎直入射時，如圖3所示，入射光在拋物面可發(fā)生雙次反射現(xiàn)象。與圖2情況不同，此時關(guān)系式tanθ∝1/T2不再成立。而雙次反射現(xiàn)象發(fā)生的臨界點頻率就是當(dāng)一次反射光束恰好經(jīng)過另一邊的最高液面時(即圖4)，所對應(yīng)的旋轉(zhuǎn)圓頻率。

由圖4可知，當(dāng)x=R時，y達(dá)到最大值，即B點：

(7)

y1=h0

(8)

由幾何關(guān)系知：

(9)

(10)

代入(9)式可得到臨界圓頻率

圖3 激光束發(fā)生雙次反射示意圖

圖4 激光束在臨界頻率旋轉(zhuǎn)時的光路示意圖

1.3 雙次反射法

由以上推導(dǎo)過程可知，在臨界頻率前后，激光光路滿足的物理規(guī)律不同。當(dāng)頻率小時，入射激光束只能發(fā)生一次反射，而當(dāng)頻率足夠大時，其兩次反射點會在拋物面上找到，從而會發(fā)生第二次反射。而由于液面是一個拋物面，且激光是豎直入射，根據(jù)費馬原理，出射光會豎直射出。根據(jù)計算，會發(fā)現(xiàn)其反射后與反射前的兩條豎直直線的距離恰好與重力加速度有關(guān)，所以本設(shè)計就利用了這一特點。設(shè)第一次反射后打到了拋物面上的點(L，yL)處，則由幾何關(guān)系知

(11)

又由(3)，(5)知X=L時

(12)

聯(lián)立(8)-(12)得

(13)

故在坐標(biāo)紙上光點走過的距離

(14)

圖5 測量旋轉(zhuǎn)液體實驗中雙次反射光點位置

2 實驗裝置

RL-1型旋轉(zhuǎn)液體特性實驗儀器的主要構(gòu)成如圖6所示。

3 實驗數(shù)據(jù)

3.1 臨界角頻率

圖6 RL-1型旋轉(zhuǎn)液體特性實驗儀

實驗中各物理參數(shù)值見表1。

表1 實驗中各物理參數(shù)值

已知威海本地的重力加速度g=9.792 m/s2

(1)計算不確定度Utan2θ

結(jié)合表1中的結(jié)果可得，Utan2θ=0.014和相對不確定度Etan2θ=0.25%。

(2)計算tanθ的不確定度

(3)計算臨界角頻率ω的不確定度

本實驗的實驗誤差主要是源于實驗者以及電機頻率不穩(wěn)。

3.2 運用雙次反射法求重力加速度

運用雙次反射法實驗測量結(jié)果見表2。

表2 雙次反射法實驗測量結(jié)果

圖7 雙次反射法所測L～ω-4實驗結(jié)果

另外需要注意的是，實驗中水量最好大于杯容量的二分之一,但也不可太多，以防旋轉(zhuǎn)頻率增大時溢出。因為如果水量過少，當(dāng)轉(zhuǎn)速足夠高時，在杯底的中心部位會形成一處沒有水的區(qū)域，從而不能構(gòu)成完整的拋物面(見圖8所示)，此時雙次反射法將不適用。

圖8 水量過少時光束反射示意圖(虛線為理想情況，實線為實際情況)

4 結(jié) 論

本文理論推導(dǎo)了旋轉(zhuǎn)液體實驗中用激光豎直射入拋物面時發(fā)生雙次反射的物理條件，分析了光束豎直射出時,重力加速度的計算公式并且用實驗進(jìn)行了驗證。數(shù)據(jù)處理結(jié)果顯示本方法測量過程更加簡潔，測量的重力加速度值準(zhǔn)確度高，因此對提升物理實驗教學(xué)效果有實際意義。

[1] 王愛芳，楊田林.普通物理實驗[M].青島:中國海洋大學(xué)出版社,2007:79-81

[2] 王愛芳,劉芬.RL-1型旋轉(zhuǎn)液體特性研究實驗的改進(jìn)方法[J].大學(xué)物理實驗,2013,26,3.

Measuring the Acceleration of Gravity with Double Reflected Laser Beam Method Based on Rotating Liquid

ZHANG Zhong-fu,XIAN Hui-yuan,LI Han-lin,WANG Ai-fang,LIU Fen

(Shandong University (Weihai),Shandong Weihai 264209)

Rotating liquid research is one of typical comprehensive experimental project in collage physics experiments.In this paper,we propose one new method to measure the acceleration of gravity by using one double reflected laser beam.This design reduces the number of necessary physical quantities parameters and improves the accuracy of the experiment too.The reason is that as the liquid rotating at a high speed,the liquid parabola is more stable than a low rotating speed one.

characteristics of a rotating liquid；laser reflective method

2016-06-30

1007-2934(2016)06-0046-04

O 351.2；O 435.1

A

10.14139/j.cnki.cn22-1228.2016.006.012

*通訊聯(lián)系人