王楊杰，郭 言，薛 郁，2，呂連忠，2

(1.廣西大學(xué)物理科學(xué)與工程技術(shù)學(xué)院， 廣西南寧530004；2.廣西大學(xué)相對論天體物理重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 廣西南寧530004)

基于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的長程相互作用系統(tǒng)的特性研究

王楊杰1，郭 言1，薛 郁1，2，呂連忠1，2

(1.廣西大學(xué)物理科學(xué)與工程技術(shù)學(xué)院， 廣西南寧530004；2.廣西大學(xué)相對論天體物理重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 廣西南寧530004)

文中基于Newman-Watts (NW)小世界復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型，提出復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上具有長程相互作用的XY轉(zhuǎn)子模型。通過對復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上XY轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的序參量M和溫度T的數(shù)值計算，研究系統(tǒng)在不同的轉(zhuǎn)子平均能量U下具有的熱力學(xué)行為，發(fā)現(xiàn)在小世界復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上的長程相互作用系統(tǒng)呈現(xiàn)二級相變；通過計算系統(tǒng)動量的自關(guān)聯(lián)函數(shù)，結(jié)果顯示系統(tǒng)在不同相具有不同相關(guān)特性；通過對系統(tǒng)最大Lyapunov 指數(shù)的計算，結(jié)果表明在小世界復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上的長程相互作用XY轉(zhuǎn)子系統(tǒng)呈現(xiàn)出混沌特性。

小世界網(wǎng)絡(luò);長程相互作用;最大Lyapunov 指數(shù);混沌

0 引 言

與短程相互作用系統(tǒng)相比，長程相互作用系統(tǒng)的統(tǒng)計規(guī)律和特性的研究還不夠透徹，而且長程相互作用系統(tǒng)的統(tǒng)計規(guī)律和特性不同于短程相互作用系統(tǒng)[1]。微正則系綜的短程相互作用系統(tǒng)從任意初始條件出發(fā)都會演化到熱力學(xué)平衡態(tài)，粒子的分布函數(shù)可以由玻爾磁曼—吉布斯(BG)統(tǒng)計力學(xué)給出，熱力學(xué)平衡態(tài)與能量、動量、角動量等守恒量有關(guān)，與初始條件無關(guān)。然而，大量的理論和數(shù)值模擬研究表明長程相互作用系統(tǒng)不會演化到熱力學(xué)平衡態(tài)，而是陷入準(zhǔn)靜態(tài)(QSS)，其粒子的分布函數(shù)不遵從麥克斯韋—玻爾磁曼分布(WB)，而且明顯與初始條件有關(guān)[2-5]。近年來，關(guān)于長程相互作用系統(tǒng)的研究日益增多，而且長程相互作用涉及等離子物理、天體物理[6]、流體力學(xué)[7]等許多領(lǐng)域，大量研究所得出的一系列有趣的特性和物理現(xiàn)象越來越引起人們的極大關(guān)注。Hertel等[8]最早發(fā)現(xiàn)長程相互作用系統(tǒng)的各種統(tǒng)計系綜的不等價性，在微正則系綜中呈現(xiàn)負(fù)的熱容量。Antoni等[9]在1995年提出所謂的哈密頓平均場XY模型(HMF模型)，研究在單位圓上通過長程力相互作用的N個運(yùn)動粒子的熱力學(xué)和動力學(xué)行為，結(jié)果發(fā)現(xiàn)該模型在臨界點(diǎn)Uc=(E/N)c=0.75呈現(xiàn)從成簇相到均勻相的二級相變。Barre等[10]在研究無限長程Blume-Emery-Griffiths模型的微正則系綜和正則系綜的不等價性時發(fā)現(xiàn)兩者相圖不同，微正則系綜在相變區(qū)域呈現(xiàn)負(fù)的熱容量和溫度跳變，而正則系綜始終是正的熱容量。Benetti等[2]在研究長程相互作用系統(tǒng)的熱力學(xué)和動力學(xué)特性時發(fā)現(xiàn)長程相互作用系統(tǒng)具有遍歷性破缺。對于長程相互作用系統(tǒng)的混沌特性，Campa等[11]、Mirirello等[12]和Pluchuino等[13]分別進(jìn)行了研究，發(fā)現(xiàn)在長程作用力作用下完全耦合的粒子系統(tǒng)呈現(xiàn)連續(xù)相變，在臨界點(diǎn)附近最大Lyapunov 指數(shù)顯著地出現(xiàn)一個最大值。近年來，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)引起人們的極大地關(guān)注，提出了Watts-Strogatz (WS)小世界模型[14]、Newman-Watts(NW)小世界模型[15]、自由標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)模型等典型的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型。最近，在隨機(jī)圖上有關(guān)HMF模型的研究表明，在熱力學(xué)極限條件下，隨連接密度的變化，系統(tǒng)呈現(xiàn)全局磁化的二級相變[16]。Nigris等[17]研究了WS小世界復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)度的作用，在系統(tǒng)Hamiltonian量的相互作用項(xiàng)中引入平均度，提出了復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的長程相互作用系統(tǒng)的HMF模型，并應(yīng)用辛算法[18]數(shù)值研究了在WS小世界網(wǎng)絡(luò)上長程相互作用系統(tǒng)的動力學(xué)和熱力學(xué)特性。Pekalski 等[19-21]對小世界網(wǎng)絡(luò)XY模型的研究證明序參量M的平均場存在轉(zhuǎn)變點(diǎn)，其臨界能量與網(wǎng)絡(luò)參數(shù)有關(guān)。然而，WS小世界復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的隨機(jī)重連過程有可能影響網(wǎng)絡(luò)的連通性，出現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)的孤立節(jié)點(diǎn)。因此，依據(jù)“隨機(jī)化加邊”的NW小世界網(wǎng)絡(luò)模型，我們提出“隨機(jī)化加邊”的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)XY轉(zhuǎn)子模型，以此研究N個XY轉(zhuǎn)子在復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上呈現(xiàn)的熱力學(xué)和動力學(xué)特性，通過計算這N個XY轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的最大Lyapunov 指數(shù)探討該系統(tǒng)的混沌特性。

1 模型與方法

1.1 哈密頓平均場XY模型(HMF模型)

HMF模型是由N個相互作用自旋XY轉(zhuǎn)子組成的系統(tǒng)，其動力學(xué)由下列Hamiltonian量控制，即：

(1)

其中，角度θi表示第i自旋的指向，pi表示其共軛的角動量。在小世界復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)(SW)上，第i自旋與第j自旋通過它們之間連接發(fā)生相互作用，N個這樣的XY轉(zhuǎn)子通過節(jié)點(diǎn)之間的連接構(gòu)成不完全耦合相互作用系統(tǒng)，其Hamiltonian量為[17]：

(2)

其中，ai,j是表示在網(wǎng)絡(luò)上任意兩個不同轉(zhuǎn)子i和j之間連結(jié)矩陣，依據(jù)連接情況取值為：

(3)

通過Hamilton正則方程，可以得出如下θi和pi的動力學(xué)方程為:

(4)

其中，Vi表示自旋i的近鄰。系統(tǒng)的宏觀行為通過磁化強(qiáng)度M=(Mx,My)表示，其中，Mx=,My=。<…> 表示對所有粒子的平均，即：

(5)

M=|M| 作為序參量量度系統(tǒng)自旋角度分布存在有序的相干性，當(dāng)M=0時，系統(tǒng)處于完全無序的非相干態(tài)；當(dāng)M≠0時，系統(tǒng)存在一定程度有序結(jié)構(gòu)的相干態(tài)。在熱力學(xué)理論中，可以通過正則系綜計算系統(tǒng)的自由能，確定序參量M而得出在高溫度順磁相(|M|=0)和低溫鐵磁相(|M|≠0)之間的二級相變。

1.2 最大Lyapunov 指數(shù)

最大Lyapunov 指數(shù)可以刻畫系統(tǒng)的混沌行為，如果最大 Lyapunov 指數(shù)是正的，系統(tǒng)呈現(xiàn)較強(qiáng)的混沌行為，滿足各態(tài)歷經(jīng)假設(shè)，系統(tǒng)快速地混合；相反較緩慢地混合，呈現(xiàn)反常熱統(tǒng)計行為。而對于長程相互作用系統(tǒng)，從不同的初始條件出發(fā)，如果違反廣義的維理?xiàng)l件就激發(fā)參數(shù)共振，導(dǎo)致混沌和各態(tài)歷經(jīng)破缺[5]。為了研究復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上N個不完全耦合的XY轉(zhuǎn)子的系統(tǒng)的混沌特性，對方程(4)利用速度Verlet 算法來計算最大Lyapunov 指數(shù)。最大 Lyapunov 指數(shù)的表達(dá)式為：

(6)

(7)

(8)

基于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)NW小世界模型[15]及其拓?fù)涮匦?，?gòu)建下列“隨機(jī)化加邊”的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)XY轉(zhuǎn)子模型，以確定系統(tǒng)的連接矩陣ai,j。

①構(gòu)建初始網(wǎng)絡(luò):N個不同的節(jié)點(diǎn)圍成一個環(huán)，每個節(jié)點(diǎn)與自身最近鄰的節(jié)點(diǎn)相連。

②隨機(jī)加邊: 以概率pr隨機(jī)選取兩個不同的節(jié)點(diǎn)并加邊連結(jié)，而任意兩個不同的節(jié)點(diǎn)至多加一條邊。

2 模擬和分析

2.1 隨機(jī)加邊對系統(tǒng)熱力學(xué)行為的影響

利用辛算法[18]，通過數(shù)值計算不同隨機(jī)加邊概率下的磁化強(qiáng)度M(序參量)和溫度T=2/N(取自然單位)，以研究系統(tǒng)的熱力學(xué)行為。選擇“水袋”初始條件：θi=0?i和pi取均勻隨機(jī)分布，時間步長Δt=0.01或0.05,可以保證能量守恒量的相對精度在10-10以上，在數(shù)值模擬過程，對每一時刻的計算結(jié)果進(jìn)行統(tǒng)計，通過50樣本求平均得到了熱力學(xué)量磁化強(qiáng)度M和溫度T。在小世界網(wǎng)絡(luò)模型中，N分別取為100和1 000個節(jié)點(diǎn)，隨機(jī)加邊概率pr分別取0.01、0.1、0.5、0.9時計算溫度T和磁化強(qiáng)度M，研究隨機(jī)加邊對系統(tǒng)熱力學(xué)行為的影響。當(dāng)N=100時的最近鄰耦合網(wǎng)絡(luò)，隨機(jī)加邊概率pr分別取0.01、0.1、0.5、0.9，對應(yīng)網(wǎng)絡(luò)的平均度≈6、23、75、98，其平均聚類系數(shù)≈0.25、0.23、0.76、0.99；當(dāng)N=1 000，隨機(jī)加邊概率pr分別取0.01、0.1、0.5、0.9，系統(tǒng)的平均度≈24、193、751、989，平均聚類系數(shù)≈ 0.035、0.19、0.75、0.99，依據(jù)文獻(xiàn)[15],Newman-Watts(NW)小世界模型在小隨機(jī)加邊概率時，網(wǎng)絡(luò)呈現(xiàn)小世界的特性，在大隨機(jī)加邊概率時，網(wǎng)絡(luò)的平均聚類系數(shù)較大，與規(guī)則網(wǎng)絡(luò)特性一致，其熱力學(xué)行為應(yīng)該與文獻(xiàn)[9]的結(jié)果一致。圖1是在不同隨機(jī)加邊概率的情況下系統(tǒng)節(jié)點(diǎn)N為100和1 000時磁化強(qiáng)度M作隨系統(tǒng)平均能量U變化。從圖中可以看出在隨機(jī)加邊概率大于0.1時，序參量磁化強(qiáng)度M呈現(xiàn)鐵磁—順磁的二級相變。對比圖2中溫度T隨平均能量的變化圖可以看出，對于節(jié)點(diǎn)N=100的系統(tǒng)，當(dāng)隨機(jī)加邊概率pr=0.9時，其臨界點(diǎn)Uc≈0.62，當(dāng)pr=0.5時，其臨界點(diǎn)Uc≈0.45，當(dāng)pr=0.1時，其臨界點(diǎn)Uc≈0.2，而對于節(jié)點(diǎn)N=1 000的系統(tǒng)，當(dāng)隨機(jī)加邊概率pr=0.9時，其臨界點(diǎn)Uc≈0.7，當(dāng)pr=0.5時，其臨界點(diǎn)Uc≈0.5，當(dāng)pr=0.1時，其臨界點(diǎn)Uc≈0.28。在系統(tǒng)粒子平均能量UUc時，系統(tǒng)呈現(xiàn)無序的狀態(tài)，粒子間的相互作用減弱，自由運(yùn)動增強(qiáng)。這表明，當(dāng)隨機(jī)加邊概率較小時，加邊連接的節(jié)點(diǎn)數(shù)少，系統(tǒng)的相互作用勢能較小，在系統(tǒng)粒子平均能量較小時，就發(fā)生相變，而當(dāng)隨機(jī)加邊概率較大時，連接的節(jié)點(diǎn)數(shù)就較多，系統(tǒng)的相互作用勢能較大，在系統(tǒng)粒子平均能量較大時才發(fā)生相變。該研究結(jié)果與長程相互作用完全耦合的HMF模型的結(jié)果不同[9]，在不完全耦合時，隨著轉(zhuǎn)子平均能量減少，系統(tǒng)也會呈現(xiàn)從均勻相到成簇相的二級相變，但隨機(jī)加邊概率減少，臨界點(diǎn)也減小甚至不發(fā)生相變。Nigris等[17]的WS小世界網(wǎng)絡(luò)HMF模型的結(jié)果是網(wǎng)絡(luò)參數(shù)γc=1.5時系統(tǒng)發(fā)生二級相變。

(a)N=100

(b)N=1 000

圖1 不同隨機(jī)加邊概率下的磁化強(qiáng)度M作為總能量U的函數(shù)圖
Fig.1 MagnetizationMas the function of the total energyUunder different random additional link probabilities

圖2是溫度T和平均能量U的關(guān)系圖,在隨機(jī)加邊概率較大時，圖中曲線變化趨勢與Antoni等[9]HMF模型的結(jié)果相一致，在臨界點(diǎn)Uc處熱容量發(fā)生較大的變化，臨界點(diǎn)隨pr的增大而增大。由于采用自然單位，在數(shù)值上溫度T是平均動能的兩倍，故平均動能與溫度T在不同平均能量U下的變化趨勢相同。從圖中可以看出，較小的隨機(jī)加邊概率使得勢能V減小，由于總能量U是守恒量，而且隨機(jī)加邊概率對動能沒有影響，但系統(tǒng)的動能相比勢能大得多，系統(tǒng)更容易變得無序。在隨機(jī)加邊概率較大時，使得勢能V增大，系統(tǒng)的動能相比則變小，系統(tǒng)趨于有序的趨勢。這與序參量磁化強(qiáng)度M的變化趨勢相對應(yīng)的。

(a)N=100

(b)N=1 000

圖2 不同隨機(jī)加邊概率下溫度
Fig.2 Temperature under different random additional link probabilities

在二級相變臨界點(diǎn)Uc處出現(xiàn)的漲落最大，其相關(guān)性最強(qiáng)，相關(guān)長度趨于無窮。動量自相關(guān)函數(shù)Cp(τ)定義為：

(9)

為了研究系統(tǒng)的動力學(xué)特性，定義如下的動量自相關(guān)函數(shù)Cp(τ)：

(10)

圖3 在隨機(jī)加邊概率pr=0.9時，系統(tǒng)動量的自關(guān)聯(lián)函數(shù)Cp(t)Fig.3 Autocorrelation function Cp(t) when the random additional link probability pr=0.9

其中，P=(p1,p2,…,pN)為N個動量矢量，<·>表示系綜的平均，σp(τ)和σp(0)分別表示τ時刻和0時刻的標(biāo)準(zhǔn)差。圖3是系統(tǒng)轉(zhuǎn)子平均能量U=0.57、0.61和0.72，節(jié)點(diǎn)數(shù)N=1 000和隨機(jī)加邊概率pr=0.9時的動量自關(guān)聯(lián)函數(shù)Cp(t)。圖中顯示，對于隨機(jī)加邊概率pr=0.9的長程相互作用系統(tǒng)，在臨界點(diǎn)Uc≈0.7發(fā)生相變前后的相關(guān)性是不一樣的，在相變后(UUc)，系統(tǒng)平均動能的增加，使得平均動量較長時間內(nèi)具有較高的相關(guān)性，但在t=104后衰減趨近于0。

2.2 隨機(jī)加邊概率對最大Lyapunov指數(shù)的影響

通過計算不同隨機(jī)加邊概率下系統(tǒng)的最大Lyapunov 指數(shù)可了解系統(tǒng)的混沌特性。在區(qū)間(0,1)上的隨機(jī)取值作為δθi和δpi的初始值，并選擇步長Δt=0.01，討論在小世界網(wǎng)絡(luò)XY模型中隨機(jī)加邊概率對最大Lyapunov 指數(shù)的影響。圖3(a)和圖3(b)分別是N=100和N=1 000時，系統(tǒng)的最大Lyapunov 指數(shù)隨粒子平均能量U的變化。從圖可以看出，當(dāng)節(jié)點(diǎn)數(shù)N=100，隨機(jī)加邊概率pr=0.9時，在平均能量U≈0.62處，最大Lyapunov 指數(shù)有一個最大值,而N=1 000時，在平均能量U≈0.7處，最大Lyapunov 指數(shù)有一個最大值。這與Latora等[22]發(fā)現(xiàn)在長程作用力作用下，完全耦合的系統(tǒng)在臨界點(diǎn)附近，其最大Lyapunov 指數(shù)顯著地呈現(xiàn)一個最大值是一致的。類似地，當(dāng)節(jié)點(diǎn)數(shù)N=100和N=1 000，隨機(jī)加邊概率pr=0.5時，在長程作用力作用下，系統(tǒng)的最大Lyapunov 指數(shù)在臨界點(diǎn)附近出現(xiàn)一個最大值。圖4(a)和圖4(b)分別是節(jié)點(diǎn)數(shù)N=100和N=1 000，隨機(jī)加邊概率取pr=0.9，0.5和0.1時，系統(tǒng)的標(biāo)準(zhǔn)差隨平均能量的變化。從圖可以看到，在隨機(jī)加邊概率為pr=0.9和0.5時，在臨界點(diǎn)附近，系統(tǒng)動能的漲落呈現(xiàn)一個峰值，動能的漲落最大。這表明，在臨界點(diǎn)附近，由于系統(tǒng)動能較大的漲落，系統(tǒng)呈現(xiàn)較強(qiáng)的混沌特性，而在系統(tǒng)粒子平均能量UUc時，系統(tǒng)呈現(xiàn)無序的狀態(tài)，自由運(yùn)動增強(qiáng)，最大Lyapunov 指數(shù)依然有較大的值，系統(tǒng)具有強(qiáng)混沌的動力學(xué)行為。而且從圖3(a)和圖3(b)還可以看出，如果隨機(jī)加邊概率較小時，加邊連接的節(jié)點(diǎn)數(shù)少，系統(tǒng)的相互作用勢能較小，但隨粒子平均能量增加，其最大Lyapunov 指數(shù)呈減少的趨勢，而當(dāng)隨機(jī)加邊概率較大時，連接的節(jié)點(diǎn)數(shù)就較多，系統(tǒng)的相互作用勢能較大，但隨粒子平均能量增加，粒子自由運(yùn)動增強(qiáng)，其最大Lyapunov 指數(shù)增加到最大值，然后減少，隨機(jī)加邊概率pr越大，最大Lyapunov 指數(shù)的最大值就越大。

(a)N=100

(b)N=1 000

圖4 不同N和隨機(jī)加邊概率pr下的最大Lyapunov指數(shù)
Fig.4 Largest Lyapunov exponent under differentNand different random additional link probabilities

3 結(jié) 語

本文基于小世界網(wǎng)絡(luò)NW模型研究了在復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上具有長程相互作用XY轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的熱力學(xué)和混沌特性。對于節(jié)點(diǎn)數(shù)N=100和N=1 000的系統(tǒng)，當(dāng)隨機(jī)加邊概率較大時，網(wǎng)絡(luò)具有較大的平均度和平均聚類系數(shù)，類似規(guī)則網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)呈現(xiàn)二級相變，系統(tǒng)的溫度T隨系統(tǒng)平均能量增加，序參量磁化強(qiáng)度M隨系統(tǒng)平均能量增加而減少，在大于臨界點(diǎn)后不變，而且臨界點(diǎn)隨隨機(jī)加邊概率減少而變小。當(dāng)隨機(jī)加邊概率較小時，雖然網(wǎng)絡(luò)呈現(xiàn)小世界特性，具有較小的平均聚類系數(shù)和平均度，系統(tǒng)沒有明顯呈現(xiàn)二級相變。從動量相關(guān)性分析臨界相變來看，當(dāng)有較大隨機(jī)加邊概率pr=0.1,0.5和0.9時，在小于臨界點(diǎn)區(qū)域，系統(tǒng)平均動量具有較小的相關(guān)性，在大于臨界點(diǎn)附近，系統(tǒng)平均動量具有較大的相關(guān)性。這與系統(tǒng)發(fā)生連續(xù)相變的趨勢是一致的。從系統(tǒng)的最大Lyapunov指數(shù)計算來看，在臨界點(diǎn)系統(tǒng)的最大Lyapunov指數(shù)有一個峰值(最大值)，呈現(xiàn)較強(qiáng)的混沌特性，對應(yīng)系統(tǒng)在臨界點(diǎn)附近的漲落，存在一個峰值(最大值)。對于不同節(jié)點(diǎn)數(shù)N，系統(tǒng)的最大Lyapunov指數(shù)會隨著隨機(jī)加邊概率pr的增大而增大，混沌特性增強(qiáng)。

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(責(zé)任編輯 裴潤梅)

Characteristics study of long-range interaction system based on complex network

WANG Yang-jie1， GUO Yan2， XUE Yu1,2, LV Lian-zhong1,2

(1.College of Physics Science and Engineering, Guangxi University, Nanning 530004, China;2.Guangxi Key Laboratory for the Relativistic Astrophysics，Guangxi University, Nanning 530004, China)

Based on Newman-Watts(NW)small-world network, XY rotors model with long-range interaction via randomedge-adding on complex network is constructed. Using the symplectic integration, the thermodynamic behavior of the order parameterMand the temperatureTof the XY rotorssystem under different total energy densityUare obtained. Results show the second-order phase transition from uniform phase to clustering one occurs depending on the probability of random edge-adding. The auto-correlation of momenta reveals the different correlative characteristics in the region of uniform phase and clustering one. Moreover, calculation of the largest Lyapunov exponent shows the chaotic characteristic of the long-range interaction system on the small-worldnetwork. A peak of the largest Lyapunov exponent near critical point appeared depending on the probability of random edge-adding.

small-world network; long-range interaction; largest Lyapunov exponent; chaos

2015-04-22；

2015-05-16

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11262003)；廣西大學(xué)大學(xué)生實(shí)驗(yàn)技能和科技創(chuàng)新能力訓(xùn)練基金項(xiàng)目(SYJN20130415)；廣西教育廳科研項(xiàng)目(2013ZD059)

薛 郁(1963—)男，福建福州人，廣西大學(xué)教授，博士;E-mail: yuxuegxu@gxu.edu.cn。

王楊杰，郭言，薛郁,等.基于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的長程相互作用系統(tǒng)的特性研究[J].廣西大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)，2016，41(6)：1905-1911.

10.13624/j.cnki.issn.1001-7445.2016.1905

O414.13

A

1001-7445(2016)06-1905-07